[数学]第二章微分方程模型.doc

第二章 微分方程管模型第一节 人口学模型人口问题是当今世界人类面临的五大问题的首要问题。我国是世界上人口最多的国家，由于20世纪五六十年代人口政策方面的失误，不仅造成人口总数增长过快，而且年龄结构也不合理。人口的过份增长给我国经济发展造成沉重袍袱，严重地影响经济建设。能否有效地控制人口的增长，已成为本世纪中叶我国能否达到中等发达国家以至赶上发达国家的关键。建立数学模型对人口发展过程进行描述、分析和预测，并进而研究控制人口增长的生育政策，已引起有关人口专家和官员的极大关注和兴趣。以下我们就如何建立人口数学模型作简要的介绍。一. 马尔萨斯人口增长模型对于如何预测人口的增长，早在8世纪人们就开始进行了。英国早期经济学家马尔萨斯(1766-1843)他在担任牧师期间，根据教堂100多年人口出生统计资料，他发现人口出生率是一个常数。于是在1798年发表的人口原理一书中提出了哄动于世的马尔萨斯人口模型：假设x(t)表示t时刻人口总数，r为人口增长率(常数)，其他影响人口增长的因素均不考虑。则在t到t+t这段时间内人口总数增长为两端同除以，并令，得 (1)其解为 (2)方程(1)称为马尔萨斯模型，它的解是一个以为公比的几何级数。马尔萨斯根据这个模型认为人口的增长是按几何级数增加，而物质的增长只能按算术级数增加。因此，人口必须加以控制。不幸的是马尔萨斯的这一忠告没有引起人们的足够重视。马尔萨斯模型 (1) 和 (2) 与19世纪以前欧州一些地区的人口统计数据十分吻合。据估计1961年全世界人口总数为,而在此之前的十来年间人口按年2的速率增长。因此有于是 (3)根据统计资料，在17001961年间世界人口大约每35年增加一倍。由(3)式可以算出每34.6年人口增加一倍。事实上，设在内地球上人口增加一倍，即当时，,当时，所以 由此可以看出马尔萨斯模型对于17001961年期间世界人口的增长实际情况是基本吻合的。但是未来人口的实际情况是否还吻合呢？如按公式(3)，到2510年世界人口总数将达到人(2万亿)，到2635年将达人(18万亿)，2670年将达到人(35万亿)。这显然是不可能的。原因何在？因为地球的资源总是有限的，人类生存的空间也是有限的。当人口基数不大，有足够的资源和空间来提供人类生存时，马尔萨斯的模型基本吻合。但当人口基数很大时，自然资源和环境以及其他诸因素将对人口的继续增长起阻滞作用，因而增长率将不再是常数。因此必须修改增长率。二. Logistic模型以上分析可知马尔萨斯人口模型对未来人口的预测是不对的。就其原因在于当人口总数越来越多时，人群本身对人口的增长起着阻滞的作用，这时增长率r不再是常数，而应该是x的减函数。即r=r(x)是x的减函数。一个最简单的假设是r(x)为x的线性函数： (4)这里a相当于x=0时的增长率，称为固有增长率，它与上面的马尔萨斯模型中的增长率r不同。显然对于任意的x0，增长率r(x)a。为了确定系数b的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量，称为最大人口容量，或称饱和容量。当时，增长率为零，即 由此可得 (5)a和可以根据人口统计数据或经验而确定。因子体现了对人口增长的阻滞作用。(5)式也可以解释为增长率r(x)与人口尚来实现部分(相对最大容量而言)的比例成正比,比例系数为固有增长率a。在(5)式的假设下马尔萨斯模型(2)可修改为 (6)这就是著名的Logistic模型。方程(6)是变量分离方程，可用分离变量法求得其解为 (7)由(7)式可以得出人口总数具有以下特点： (1) 当时，, 不管初值如何，人口总数趋向于极限值。(2) 当时所以x(t)是时间t的增函数。(3) 得拐点，当时曲线向上凹，当时曲线向下凹。和的曲线图形如下： 由此可以看出在人口总数达到极限值一半以前是加速生长时期，过这一点以后，生长的速率逐渐减慢，并且迟早会达到零。这是减速生长时期。上述结论是否正确？我们用Logistic模型预测地球未来的人口总数。这里必须估计a，某些生物学家估计，a的值为0029，又当人口总数为时，人口每年以2的速率增长。由 即 (近100亿)即地球能够养活的最大人口为100亿。1961年世界人口为30亿左右，还未达到极限值的一半，因此世界人口总数还将处于加速生长时期。这和1961年以后一段时期世界人口增长很快是相吻合的。本世纪初人们曾经用Logistic模型预测美国的人口。以下的表1是17901950年美国人口总数的实际统计数与预测数的对照表，从表中数字可以看出这个模型是比较准确的。其中几次人口误差较大(增加或减少)是因为在模型中没有考虑几次向美国大量移民的浪潮以及美国曾经经历四次战争这些因素。年 实际数 预测数 误 差 1790 3929000 3299000 0 01800 5308000 5336000 28000 0.51810 7240000 7228000 -12000 -0.21820 9638000 9575000 119000 1.21830 12866000 13109000 243000 1.91840 17096000 17506000 437000 2.61850 23192000 23192000 0 01860 3144000 30412000 -1031000 -3.31870 38558000 39372000 814000 2.11880 501560000 50177000 21000 0.41890 62948000 62769000 -179000 -0.31900 75955999 76870000 875000 1.21910 91972000 91972000 0 01920 105711000 107559000 1848000 1.71930 122755000 123124000 349000 0.31940 131669000 136653000 4984000 3.81950 150697000 149053000 -1644000 -1.1表1 17901950年美国人口总数三. 更精确的模型Logistic模型尽管对某些地区和某些国家的人口发展实际情况相吻合，但是还太简单。首先我们是把总数中的每一个成员看成是同等的地位，这在一般情况下是不对的。因为人群是由不同年龄阶段的成员组成的，不同年龄阶段成员的生育能力显然不同。小于育龄段和大于育龄段的成员均不会生育。如果处于这个阶段成员的人数占人口总数的比例过大或过小，显然对未来人口的发展影响很大。另外总数成员的男女比例也很关键，应该说总数增长率在较大程度上取决于女性的数目而不是男性的数目。我国有关学者为了解决我国人口迅速增长的问题，建之了不少人口数学模型。下面我们介绍其中的一个，是用偏微分方程来描述的。设F(r，t)表示t时刻一切年龄小于r岁的人口总数，并假设F(r，t)是r、t的连续可微函数。F(r，t)称为人口分布函数，显然，F(r，t)0，且对任意的t，F(r，t)是r的连续函数。以N(t)表示t时刻人口总数，表示人类所能活到的最高年龄，则有： (8)定义 (9)称为年龄密度函数，因为F(r，t)是r的递增函数，故 (10) 三者之间的关系为 (11)为了得到P(r，t)满足的方程，记M(r，t)表示单位时间按年龄死亡密度函数。则年龄在r，r+r 区间内单位时间死亡的人数为M(r，t)r，而年龄在同一区间内活着的人数为P(r，t)r。定义 (12) 称为相对死亡率函数。它是描述人口发展过程的重要参数之一，一般由统计数据得到。如果不考虑其他各种因素 (例如战争、自然灾害、车祸、人口迁徙等)，只考虑自然的生死过程，那么，由t经过到时刻，除去死去的人以外，活着的都变成了时刻年龄在区间内的人，这里，于是有上式可变为两边同除以，并令，同时注意到，从而得到 (13)这就是年龄密度函数P(r，t)所满足的方程，它是一阶偏微分方程。为了确定方程的定解条件，设t=0时的人口密度分布为 (14) 是方程(13)的初始条件，它通常由统计数据给出。方程(13)的边界条件为： (15) 表示单位时间内出生的婴儿数。称为婴儿出生率。由(13)、(14)、(15)得到 (16)这就是不考虑其他因素人口自然增长的完整的数学模型。 这个模型的求解过程比较复杂，这里只给出一种特殊情况下的结果。在社会安定的局面下和不太长的时间内，死亡率大致与时间无关，于是可以近似地假设，这时(13)的解为 (17)这个解在rt平面上有一个浅显的解释：图二中，对角线r=t将tr平面(t，r0)分为两部分，在trttror图二 以下我们介绍几个在人口学研究中常用的名词：1. 生育率和生育模式 为了预测和控制人口的发展状况，人们主要关注和可以用作控制手段的就是婴儿出生率了。下面对作进一步分析。记女性性别比函数为K(r，t)，即时刻t年龄在的女性人数为，记这些女性在单位时间内平均每人的生育数为，设育龄区间为，则 (18)再将b(r，t)定义为 (19)其中满足 (20)于是 (21) (22)从(21)式可以看出，的直接含义是时刻t单位时间内每个育龄女性的生育率。如果所有育龄女性在她育龄期所及的时刻都保持这个生育数，那来也表示平均每个女性一生的总和生育数，所以称为总和生育率(简称生育率)。或生育胎次。从(19)、(20)两式及的含义可以看出，是年龄为r的女性的生育加权因子，称为生育模式。在稳定环境下可以近似地认为它与t无关，即，表示了在哪些年龄生育率高，哪些年龄生育率低。图三给出了的示意图，表明附近生育率最高。由人口统计资料可以知道当前实际的，作理论分析时人们常采用的一种形式是借用概率论中的分布： (23)并取 这时有 (24)可以看出，提高意味着晚婚，增加n意味着晚育。这样，人口发展方程(16)和单位时间出生的婴儿数的表达式(22)就构成我们的偏微分方程人口模型。模型中死亡率，性别比函数和初始密度函数都可以由人口统计资料直接得到，或在资料的基础上估计而得，生育率和生育模式则是可以用于控制人口发展过程的两种手段。我国计划生育政策正是通过这两种手段实施的。从控制论的观点，在方程(16)描述人口系统中，可视为状态变量，视为控制变量，是分布参数系统的边界控制函数。(22)式表明控制输入中含有状态变量，形成状态反馈，即人口密度函数的增加，通过婴儿出生率又使进一步增大。方程的解(17)式中因子表明这种反馈还有相当大的滞后作用，所以一旦人口政策失误，使在一段时间内增加得过多过快，再想通过和控制手段和把人口增长的势头降下来，就很困难并且常常要相当长(几代人)的时间。2. 人口指数 上面模型中密度函数或分布函数虽然是人口发展过程最完整的描述，但是真正使用时并不方便，在人口统计中常用一些所谓人口指数来简明扼要地表示一个国家或地区的人口特征。下面是一些人口指数的定义。(1) 人口总数N(t) (25)(2) 平均年龄R(t) (26)(3) 平均寿命S(t)，它表示时刻t出生的人不论活到什么时候，死亡率都按时刻t的死亡率计算，这些人的平均存活时间。 (27)实际上是预估寿命，通常说目前平均寿命已达到多少岁，是指今年出生婴儿的预估寿命，即S(0)。根据统计资料得到当前死亡率后就可以计算出S(0)。 (4) 老年化指数W(t) 它定义为 (28) 显然，平均年龄R(t)越大，W(t)也越大，对于R(t)相同的两个国家或地区，平均寿命S(t)大的，表示健康水平高，一个人能工作的时间在一生中所占的比例大，于是老龄化指数W(t)较小。 (5) 依赖性指数(t) (29) (30)其中和分别是男性和女性有劳动能力的年龄区间，是全体人口中有劳动能力的人数，所以依赖性指数表示平均每个劳动者要供养的人数。第二节 传染病传播的数学模型很多医学工作者试图从医学的不同角度来解释传染病传播时的一种现象，这种现象就是在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。结果都不能令人满意，后来由于数学工作者的参与，用建立数学模型来对这一现象进行模拟和论证，得到了较满意的解答。一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。从而使模型逐步完善。下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。一. 最简单的模型假设：(1) 每个病人在单位时间内传染的人数是常数k；(2) 一个人得病后经久不愈，并在传染期内不会死亡。以i(t)表示t时刻的病人数，表示每个病人单位时间内传染的人数，i(0)= 表示最初时有个传染病人，则在时间内增加的病人数为 两边除以，并令0得微分方程 （2.1）其解为 这表明传染病的转播是按指数函数增加的。这结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播很快，被传染人数按指数函数增长。但由(2.1)的解可知，当t时，i(t)，这显然不符合实际情况。最多所有的人都传染上就是了。那么问题在那里呢？问题就出在于两条假设对时间较长时不合理。特别是假设(1)，每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际情况不符。因为随着时间的推移，病人越来越多，而未被传染的人数却越来越少，因而不同时期的传播情况是不同的。为了与实际情况相吻合，我们在原有的基础上修改假设建立新的模型。二. 模型的修改将人群分成两类：一类为传染病人，另一类为未被传染的人，分别用i(t)和s(t)表示t时刻这两类人的人数。i (0)= 。假设：(1) 每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比。即；(2) 一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。由以上假设可得微分方程 (2.2)这是变量分离方程，用分离变量法可求得其解为 (2.3)其图形如下图2-1所示模型 (2.2) 可以用来预报传染较快的疾病前期传染病高峰到来的时间。医学上称为传染病曲线，它表示传染病人的增加率与时间的关系，如图2-2所示。由 (2.3)式可得 （2.4)再求二阶导数，并令，可解得极大点为 (2.5)从 (2.5) 式可以看出，当传染病强度k或人口总数n增加时，都将变小，即传染病高峰来得快。这与实际情况吻合。同时，如果知道了传染率k (k由统计数据得到)，即可预报传染病高峰到来的时间，这对于预防传染病是有益处的。模型 (2.2) 的缺点是：当t时，由(2.3)式可知i(t)n，即最后人人都要得病。这显然与实际情况不符。造成这个结果的原因是假设 (2) 中假设一人得病后经久不愈，也不会死亡。为了得到与实际情况更吻合的模型，必须修改假设 (2) 。实际上不是每个人得病后都会传染别人，因为其中一部份会被隔离，还有由于医治和人的自身抵抗力会痊愈，有的人会死亡从而也就不再会传染给别人了。因此必须对模型作进一步的修改，建立新的模型。三. 模型的进一步完善从上面的分析我们看到模型 (2.2) 的假设 (2) 是不合理的。即不可能一人得病后会经久不愈，必有一部份人因医治或自身的免疫力，或是被隔离，或是死去而成为不会再继续传染给别人的第三类人。因此我们把人群分成三类：第一类由能够把疾病传染给别人的那些传染者组成的。用 I(t) 表示 t 时刻第一类人数。第二类是由并非传染者但能够得病而成为传染者的那些人组成的，用 S(t) 表示 t 时刻第二类人数。第三类包括患病后死去的人，病愈后具有长期免疫力的人，以及在得病后被隔离起来的人。用R(t) 表示 t 时刻第三类人数。假设疾病传染服从下列法则：(1) 在所考虑的时期内人口总数保持在固定水平N，即不考虑出生及其他原因引起的死亡，以及人口的迁入迁出的情况。(2) 易受传染者人数S(t)的变化率正比于第一类的人数I(t)与第二类人粉S(t)的乘积。(3) 由第一类向第三类转变的速度与第一类的人数成正比。在这三条假设情况下可得如下微分方程： (2.6)其中r、为比例常数，r为传染率，为排除率。由方程(2.6)的三个方程相加得 则 故 因此只要求出 S(t)、I(t) 即可求出 R(t) 。方程组 (2.6) 的第一个和第二个方程与 R(t) 无关。因此，由 (2.7)得 (2.8)积分得 由初始条件：当 并记 ,代入上式可确定常数 ，最后得 (2.9)下面我们讨论积分曲线 (2.9) 的性质，由(2.8)知 所以当S时，I(S) 是S的增函数，S时，I(S) 是S的减函数。又有I(0)=， 由连续函数的中间值定理及单调性知，存在唯一点，使得, 而当 时，I(S)0 。由 (2.7) 知I=0时，所以为方程组 (2.7) 的平衡点。当 时，方程(2.9)的的图形如图23。当t由变到 时，点(S(t)，I(t)沿曲线 (2.9) 移动，并沿S减少的方向移动，因为 S(t) 随时间的增加而单调减少。因此，如果小于，则 I(t) 单调减少到零，S(t) 单调减少到。所以，如果为数不多的一群传染者分散在居民中，且，则这种病会很快被消灭。如果，则随着 S(t) 减少到时，I(t) 增加，且当S=时，I(t) 达到最大值。当S(t) 时 I(t) 才开始减少。由上分析可以得出如不结论：只有当居民中的易受传染者的人数超过阈值 时传染病才会蔓延。用一般常识来检验上面的结论也是符合的。当人口拥挤，密度高，缺少应有的科学文化知识，缺乏必要的医疗条件，隔离不良而排除率低时，传染病会很快蔓延；反之，人口密度低，社会条件好，有良好的医疗条件和较好的管理而排除率高时，则传染病在有限范围内出现会很快被消灭。传染病学中的阈值定理 设，且假设同1相比是小量。并设最初传染者人数很小，则最终患病人数为2r。即是易受传染者的人数最初比阈值高多少，那么最终就会比阈值低多少。这就是有名的传染病阈值定理。生物数学家Kermack和Mekendrick在1927年首先证明了这个定理(证明从略)根据阈值定理就可以由起初易受传染者的人数来估计最终患病的人数。这定理解释了研究人员长期以来难以解释的为什么对于某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数的现象。在传染病发生的过程中，不可能准确地调查每一天或每一星期的得病人数。因为只有那些来医院就医者才能被人知道他们得了病，并把他们隔离起来防止传染。因此，统计的记录是每一天或每一星期新排除者的人数，而不是新得病的人数。所以，为了把数学模型所预示的结果同疾病的实际情况进行比较，必须解出(2.6)中的第三个方程。 因为 所以 从而有 (2.10)方程 (2.10) 虽是可分离变量的方程，但是不能用显式求解，如果传染病不严重，则R/是小量，取泰勒级数前三项有 从而 其解 其中 因此 (2.11)方程 (2.11) 在 平面上定义了一条对称钟形曲线，称为疾病传染曲线。疾病传染曲线很好地说明了实际发生的传染病的情况：每天报告的新病案的数目逐渐上升到峰值，然后又减少下来。Kermak和Mekendrick把 (2.11) 得到的值， 同取自1905年下半年至1906年上半年在印度孟买发生的瘟疫资料进行比较，他们假设 其中t按星期计，在图2-4中的实际数字(图中用“.”表示)同理论曲线非常一致。这就表明模型(2.6)是在固定居民中传染病传播的准确而可靠的数学模型。对于传染病传播的数学模型还有人用随机模型，这不是本章的内容，读者可参看有关的其他资料。本节所介绍的传染病传播的数学模型的建模方法，是实际数学建模步骤和方法的典型例子。在实际建模过程中往往都是从简单的开始得出数学模型，再和实际比较逐步修改假设和模型，最终达到完善的地步。这是值得大家仿效和学习的。 第三节 理查森的军备竞赛模型社会科学是非常复杂的问题，能否用数学模型来描述，理查森在这方面做了有益的尝试。他对两个国家(或两个军事集团)军备竞赛引起战争因素作过深入的探讨，并建立起数学模型。下面我们就这一问题作一介绍。引起两国之间爆发战争的因素很多，但是诸多因素中，军备竞赛是一个很重要的原因。如果甲国和乙国是敌对国，乙国感到甲国比他强大，乙国为了自身的安全，就会增加防御开支，扩充军备。甲国看到乙国在增加军费，扩充军备，其目的是针对自己。为了自身的安全，甲国也扩充军备。如此循环下去就会爆发战争。当然，要预言下一次战争在哪一天爆发是不可能的。相反，这只是要说明不断思索着的人们将会怎样采取行动。正如理查森所写的：“为什么这么多的国家勉勉强强地但还在不断地增加他们的军备，就好家他们无意识地被迫这样去做？我说，这是因为他们遵循着他们的一成不变的传统和他们的机械本能，也就是因为他们还没有在理智上和道义上做出足够的努力来控制这种局势。这里推导出的方程所描述的过程不能认为是不可能避免的。但是，如果允许本能和传统不受限制地起作用的活，那么就会发生这种过程。”设x(t)表示甲国的战争潜力或军备；y(t)表示乙国的战争潜力或军备。x(t)的变化率显然取决于乙方的军备y(t)以及甲国对乙国的仇恨程度。在最简单的数学模型中，我们分别用ky和g来表示这两项，其中k和g都是常数。这两项使得x增加。另一方面，军备开支对起着抑制作用。我们用x来表示这一项，其中是正的常数。同样的分析对于也适用。因此x(t)，y(t)满足下列方程组： (3.1)这模型也适用于两个军事集团。如第一次世界大战前的若干年法俄联盟和德奥匈联盟。在整个历史上，对于战争的起因，一直存在着争论。在两千多年以前，苏西迪底斯(Thucydides)主张军备引起战争。在叙述伯罗奔尼撒战争时，他写道：“真正的但未明言的战争起因，我相信是雅典势力的增长，引起斯巴达人的恐惧，迫使他们发动战争。第一次世界大战期间的英国外交大巨E.各雷 (Grey) 赞成这种观点，他写道：“每一个国家增加军备都是为了使自已感到强大和安全，但实际上却不会产生这些效果。相反，增加军备的结果，反而会引起对别国力量的敏感和一种恐惧感。欧洲军备的巨大增加，由此而引起的不安和恐惧，正是这些原因使得战争不可避免了。这就是对于世界大战起因的真正的和最后的解释。”另一方面，20世纪30年代英国议会议员L.S艾默里(Amery)则激烈地反对这种观点。当众议院里有人引述格雷先生的意见时，艾默里反驳道：“虽然我十分崇敬杰出的政治家的遗芳，但我相信这种见解是完全慌谬的。军备只是欲望和理想的冲突的象征，只是产生战争的民族主义力量的象征。世界大战之所以爆发，是由于塞尔维亚、意大利、罗马尼亚热衷于把当时属于奥地利帝国的领土并入自已的版图，而奥国政府是决不会不经一战而把这些领土轻易让人，至于法国，则一有机会，就准备致力于收复阿尔萨斯格林。世界大战的起因，就在于这些事实，就在于这些不可调解的欲望的冲突，而不在于军备本身。”方程(1)把这两种相互矛盾的理论都考虑在内了，苏西迪底斯和格雷会把g和h取得远小于k和l，而艾默里则会把k和l取得远小于g和h。现对方程(1)作些定性分析：(1) 相互和解双方裁军可达持久和平。设g=0，h=0，这时x(t)=0，y(t)=0是(1)的平衡解，也就是说如果x、y、g、h同时为零，则x(t)和y(t)将永远保持为零。这种理想的情况就是由于裁军和相互和解而达到的持久和平。自1817年以来在加拿大和美国的边境上，以及自1905年以来在挪威和瑞典的边境上，就存在这种情况。(2) 未经和解的裁军是不会持久的。假设在某一时间，x和y同时为零。这时，因此如果g和h是正数，则x和y不会保持为零。相反，两国都将重整军备。(3) 单方面裁军也不会持久。单方面裁军相应于在某一时刻令y=0，这时，这意味着，如果h和x是正数，则y不会保持为零。因此，单方面裁军决不会持久。这同历史事实是一致的。根据凡尔赛条约，德国军队削减到100,000人，这远少于它们几个邻国，而在19331936几年当中，德国竭力主张重整军备。(4) 一味强调“防御”，就会出现军备竞赛，引起战争。当方程(1)中，“防御”占优势，这种情况下就是 (3.2)(2) 式的解为： 所以，如果A为正数，则x(t)和y(t)都趋于无穷大，这可解释为爆发战争。(5) 如果方程组(1)中，则具有唯一的平衡解： 我们关心的是这个平衡解是稳定的还是不稳定的(即在实际中，双方的军备是否处于稳定状去)，为此作代换： 将此代入(1)式得： (3.3)方程(3)的的特征方程为 特征根为 由此我们看到，两个根都是实数，且不等于零。而且，当时，两个根都是负的，当时，有一个是正根。因此当时平衡解是稳定的。当时，平衡解是不稳定的。 现在的问题是怎样来估计系数、k、l、g和h。这是一个很困难的问题，特别是无法确定g和h。但对于、k和l可以作一些合理的估计。假定Y和g等于零。则 即有 因此一个国家对于其他国家没有仇恨，而其他国家又都没有军备，则就是这个国家军备减少到原来的1/2.718所需的时间。称为松驰时间。理查森估计是一个国家议会任期。对于英国来说，=0.2，因为英国议会的任期是5年。用同样的方法得到估计。 为了估计k和l，做定g=0，,于是有 当x=0时，因此，如果乙方军备保持不变()，不存在仇恨(g=0)，甲方的军备增长不受军费开支的限制(=0)，则是甲方赶上乙方所需要的时间，现在考查19331936年德国重整军备的情况。德国重整军备几乎是从零开始，大约用了三年时间赶上了它的邻国。设的减缓效应几乎被德国人的强烈仇恨g所平衡，那么对于德国来说k=0.3/年。当然k同一个国家的工业能力是成正比的。对于工业能力只有德国一半的国家来说，k=0.15，而对于工业能力是德国三倍的国家来说，k=0.9，以19091914年欧洲军备竞赛的情况来检验给出的数学模型。设甲方代表法俄联盟，乙方代表德奥匈联盟。因为这两个联盟实力大致相等，取k=l，又因每个联盟的实力大致是德国的三倍，取k=l=0.9，此外还设0.2于是 (3.4)方程(4)具有唯一的平衡解这个平衡解是不稳定的，因为这同历史事实是一致的，两个联盟终于走向战争。(6) 我们建立的数模型(1)是比较粗糙的。也有不完善的地方，因为其中假设仇恨g和h都不随时间而变化。显然，这是不正确的,仇恨g和h甚至不是时间的连续函数，因为二者可能同时大幅度地突变，但是g和h在一段较长时期相对不变还是可以的。另外数学模型(1)只考虑了双方的仇恨而没有考虑双方之间的合作或贸易的影响。国家之间的相互合作有助于减少他们之间的恐惧和怀疑，增加相互之间的了解和信任。为此，我们假设 其中u代表甲方的军备预算, 代表甲方向乙方出口货物的数量。v代表乙方的军备预算，代表乙方向甲方出口货物的数量。我们注意到，如同军备会导致更大的军备一样，一方的主动合作会引起对方的合作。因此方程组(1)仍然可以描述这种比较普遍的情况。(7) 尽管模型(1)不够完善，但它还是比较准确地描述了第一次世界大战前的欧洲军备竞赛的情况。为了说明这一点，我们把(4)式的两个方程加在一起得到 (3.5)由分析(6)知，因此 (3.6)两个联盟的军备预算见下表1 表1 军备预算(单位为百万英磅) 年份 数 量国别1909年 1910年 1911年 1912年 1913年 法 国俄 国德 国奥匈帝国48.6 50.9 57.1 63.2 74.766.7 68.5 70.7 81.8 92.063.1 62.0 62.5 68.2 95.420.8 23.4 24.6 25.5 26.9总u+v 199.2 204.8 214.9 238.7 289.0（u+v） 5.6 10.1 23.8 50.3同一时期的u+v 202.0 209.8 226.8 263.8图一表示出了u+v的年增加量同相应的两年内u+v的平均值之间的关系。用A、B、C、D四点分别表示19091910年，19101911年，19111912年，19121913年间的（u+v）,可以看出，这四个点的连线非常接近直线。 5040302010190 200 210 220 230 240 250 260 270ABCD图一 （u+v）=0.73（u+v194） (3.7)由方程(6)和(7)得 和 k=0.73这同理查森对于k的估值0.9和对于的估值0.2是很一致的。最后由(7)可以看到：如果u+v大于194百万英磅，则两个联盟的总的军事将会增加；否则，将会诚少。事实上，在1909年，两个联盟军备预算为199.2英磅，而两个联盟之间的贸易总额只有171.8百万英磅。因此，军备竞赛开始了，最终导致了第一次世界大战的爆发。由此可以看出，政治、军事异常复杂，但并非不可认识，只是过去人们在这方面作的工作比较少，认识不够深刻罢了。我们相信，随着科学技术的发展，运用各种现代科学技术手段对复杂社合科学的认江将逐渐深化。第四节 兰彻斯特作战数学模型和硫黄岛之役在第一次世界大战期间，FW兰彻斯特(Lachester)曾经指出军队的集中在现代作战中的重要性。他建立了一些可以从中得到预期的交战结果的数学模型。在这一节里我们来推导其中的两个数学模型，一个是常规部队对常规部队作战的数学模型，另一个是常规部队对游击队作战的数学模型。并推出“兰彻斯特平方定律”，这定律说的是作战部队的实力同投入战斗的战士人数的平方成正比。最后，我们把其中的一个数学模型同第二次世界大战中的硫黄岛之役作个比较，发现这个数学模型是非常精确的。一. 模型的建立假设x军和y军交战，为简单起见，我们把这两军的战斗力定义为他们的战士人数。以x(t)和y(t)分别表示x军和y军的战士人数，其中t从战斗开始起按天数计算。显然，x(t)和y(t)的变化率等于其增援率减去非战斗减员率，再减去战斗的减员率。非战斗减员率作战部队的非战斗减员率指的是由于非战斗的原因(如开小差、疾病等)的减员率。兰彻斯特建议，取作战部队的非战斗减员率同部队的人数成正比。当然，情况也并非都如此。例如，作战部队中开小差的速率往往取决于士气和其他一些无形的因素，这些因素甚至难以用语吾来描述，更谈不上把它定量化。这里，我们采取一种简易的办法，即只考虑非战斗减员率可忽数不计的那些情况。战斗减员率假设x军是正规部队，比较而言，它公开地活动，又假设这支部队的每一个成员都处于敌方y的杀伤力范围内。我们还假设：当这支正规部队遭受损失以后，敌方的火力立即集中到其余战士身上。在这些“理想的”条件下，正规军部队x的战斗减员率等于ay(t)，其中a是某个正的常数。这个常数称为部队y的战斗有效系数。如果部队x是对方y看不到的，占据着区域R的游击队，情况就不同。部队y向区域R射击，但并不知道其杀伤情况。我们肯定有理由设想：游击队的战斗减员率应当与x(t)成正比，因为x(t)越大，被敌方的子弹命中的可能性也越大。另一方面，部队x的减员率还与y(t)成正比，因为y(t)越大，x的伤亡人数也会越大。因此，游击队x的战斗减员率等于cx(t)y(t)，其中c称为敌方y的战斗有效系数。增援率作战部队的增援率是指新战士投入战斗或战士撤离战斗的速率。我们用f(t)和g(t)分别表示x军和y军的增援率。在上述假设下，现在我们能够写出正规部队对正规部队和正规部队对游击队作战的以下两个兰彻斯特数学模型。正规部队对正规部队的作战模型 (4.1)正规部队对游击队(x为游击队)的作战模型 (4.2)方程组(4.1)是线性常系数微分方程组，只要a、b、f(t)、g(t)己知，便可用显式求解。而方程组(4.2)是非线性的，很难求出显式解，一般只能用计算机求其近似数值解。现在我们考虑增援为零的情况。当两支部队都在孤军作战时，就是这种情况。这时方程(4.1)和(4.2)变为 (4.3) 4.(4)由方程组 (4.3) 有 或 两边积分得 (4.5)(4.5)式在xy平面上定义了一族双曲线，其图形如图一所示，双曲线上的箭头表示战斗力随时间而变化的方向。假如我们采用这样的的标准，即如果一支部队先消灭，则认为另一支部队胜利了。因此，如果k0，则y胜利，因为当y(t)减少到时，部队x已经被消灭。同样地，如果k0，则x胜利。说明(1) 方程(5)称为“兰彻斯特平方定规”，方程组(3)称为平方定规数学模型，因为在(4.5)式中相互对抗的部队的战斗力是以平方的形式出现的。说明(2) 要使部队y胜利，即k0。也就是要使不等式成立，可以通过增加a，即采用更先进的武器，或者通过增加最初投入战斗的战士人数来实现。但是，要注意：a增加两倍，结果也只增加两倍，而增加两倍则会使增加四倍，这就是正规战的兰彻斯特平方定律的意义。由方程(4)有 (4.6)解这个方程得 (4.7)(4.7) 式在xy平面上定义了一族抛物线。其图形如图二所示。如果M0则部队y胜利，因为当y(t)减少到时，部队x已经被消灭。同样地，如果M0，则x胜利。说明：对于一场战斗，预先确定战斗系数a、b、c和d的数值通常是不可能的。但是如果利用战役本身的资料常常可以确定a和b(或c和d)的适当数值，只要对于一场战斗确定了这些数值，那么对于其他一切在同样条件下进行的战斗，这些数值也就是已知的了。二. 硫黄岛之役第二次世界大战中最大的战役之一，是在东京以南660英里的硫黄岛进行的。美国的军队想要夺取硫黄岛作为接近日本本土的轰炸机基地，而日本人则需要这个岛作为战斗机基地，以便攻击美国派往轰炸东京和其他日本大城市的飞机。美国军队在1945年2月19日开始进攻硫黄岛，在整个一个月的战斗中，仗始终打得都很激烈，双方都遭受了严重的伤亡(见表1)，日本当局命令日本军队战斗到最后一个人，他们的确这样做了。在战斗进行到第二十八天，美国军队宣布占领了该岛，而整个实际战斗直到第三十六天才停止。(最后两个日本人坚持到1951年方才投降)从硫黄岛之役我们可以得到下述资料：1增援率在战斗中日本军队既没有撤退也没有增援。另一方面，美国登陆军队数目如下，战斗的第一天54000人，第二天没有，第三天6000人，第四天和第五天没有，第六天13000人，以后一直没再派兵。在战斗开始以前，硫黄岛上没有美国军队。表1硫黄岛之役伤之情况美国方面阵之、失踪或受伤后死亡 受伤 残废 总计海军战战队 5931 17272 2648 25851海军方面 海空部队 633 1158 1791医务看护兵 195 529 724海军工兵 51 218 269医生和牙医士 2 12 14参战的陆军部队 9 28 37总计 6821 19217 2648 28686日本方面防御部队(估计) 被 俘 阵 亡 21000 20000 海军陆战队 216 陆 军 867总 计 10832. 战斗减员律美国海军陆战队上尉C.莫尔豪斯(Morehousc)保存着所有美国军队战斗减员情况的按日统计资料，遗憾的是，我们得不到日本军队的这种记录，很可能是，粟林将军(硫黄岛上的日本军队指挥官)保存的伤亡名单在战斗中弄毁了，而东京保存的任何记录在此后五个月的战争中全部毁于战火。然而从表1我们可以推断：战斗开始时，硫黄岛上的日本军队大约为21500人。实际上，纽科姆(Newcomb)得到的日本军队的数目为21000人。但是，这偏低一些，因为显然他没有包括最后几天在坑道中发现的一些活着的人和死尸。3. 非战斗减员率双方的非战斗减员率均可忽略不计。现在设x(t)和y(t)分别表示战斗开始后第七天美国军队和日本军队的作战人数。由上面的资料可以得到关于硫黄岛之役的兰彻斯特数学模型如下： (4.8)其中a和b分别为日本军队和美国军队的战斗有效系数，并且 方程(8)满足初始条x(0)=0，y(0)=21500，其解为 (4.9)其中 现在的问题是是否存在常数a和b，使(9)式能够很好地符合莫尔豪斯收集的资料？肯定的回答说明兰彻斯特模型的确可