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从折纸活动到逻辑思维 -我教角平分线的作法与性质湖北华一寄宿学校 张爱英 点评：校研究室一 两点说明1 要不要学一点尺规作角平分线的知识角平分线是生活中常见的图形。公路两旁的指路牌，马路地面上指引车行的标志等等，都少不了“”这样的符号，要准确而美观的画出这样一个符号，就少不了要作角的平分线。今后学习几何，物理等学科，碰到做角平分线的机会也是很多的。所以无论从生活角度或进一步学习角度来说，作角的平分线都是义务教育阶段学生必须掌握的一项技能。那么，任给一个角，怎样正确的作出它的平分线呢？折纸、用量角器都是最简易的操作法，4至6年级的学生都会。然而到了8年级，对已经学过全等三角形知识的学生，我们应教给他们什么样的作角平分线的方法呢？课标对空间观念有如下的要求：能根据条件做出立体模型或画出图形 。对7-9年级的教学目标，更明确提出尺规作图应包括作角的平分线，并体会证明的重要性，发展初步的演绎推理能力。由此可见，课标是要求学一点尺规作角平分线的知识的。2 怎样教尺规作角平分线为好 北师大本在课本正文中基本上没有正式交代如何作角的平分线，只是在“全等三角形”一章中有一个复习题出现工人师傅用角尺（实乃有刻度的相交的两把尺）平分一个任意角，要学生说明为什么用它画出的射线就是已知角的平分线。这是把用器械作角的平分线作为全等三角形的应用来处理。虽然体现了一点“证明的必要性”，但远远不是“根据条件画出图形”，更不是要求用“尺规作基本图形”。 人教本对此有专门的一节“角平分线的性质”，编在八年级课本上册“全等三角形”之后。该节的前半部分实际上是讲的角平分线的尺规作图法，虽然仍用角平分线的仪器（比北师大版的角尺有改进，即没有刻度的四根尺组成的筝形教具）引进作角平分线的情境，旋即要求学生拿掉该仪器用尺规来作，并有很正规的尺规作图的书面叙述的要求（见该书P.107）。紧接着进入该节的主题角平分线的性质，仍用折纸法引进“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的重要概念。 我们备课组经过仔细讨论，认为北师大本的处理方法在“数学化”方面难以达到课标规定的“根据条件用尺规画出图形”的要求。人教本对“尺规作角平分线”的叙述有准确要求，但由于过早拿出来仪器来画出角平分线，就没有根据已知条件探求作法的过程（虽然书上有“由以上的探究”的字眼），学生会认为角平分线已经（用仪器）作出来了，还探究什么呢？ 我们设想，既然人教本在本节后半部分讲角平分线的性质时用折纸引进（非常生活化），何不在作角平分线时就用折纸引进而舍弃仪器画角平分线法呢？（这个“仪器”是人为的教具，并非真正的仪器）至于角平分线的性质，到是可以通过画图、观察、猜测、推理来完成，不必再用折纸活动了。 注；数学课程标准第4页倒数第7行 同书第40页第5行 同书第9页数学思考第三学段最后两行评：课标倡导“经历（感受），体验（体会），探索”，同时提出，对7-9年级学生应采用“问题情境建立模型解释、应用与拓展”的模式进行教学。本课题的问题情境很明确，就是要作出已知角的平分线，而建模就是要探究怎样将当前要解决的问题归入已学过的知识、技能系统，求得解决。八年级学生此前已学过用尺规作线段、射线、直线、根据条件作三角形，甚至作角等于已知角等知识和技能，完全可以在此基础上，在折纸等活动的启示下，自己探索用尺规作角平分线的方法。而所谓“角平分线的仪器”，其作用类似于折纸活动，但却给人以“作图已完成”的效果，并不利于启发学生思维和探究。 二教学过程片段片断一：角平分线的作法1问题的提出 1.1 师：校运动会上，八年级参赛运动员约占全校参赛 运动员的三分之一，如何用图形直观地表现这样的事实（学生说：用扇形图，老师展示课件如右图）1.2 师:又知八年级运动员男女各半,怎样在图上表现这样的事实.1.3 生:作角平分线1.4 师肯定这种说法,并指出这就是今天要研究的课题(展示：作已知的角平分线)。评：刚开过运动会,刚学过统计图,这样引进课题很自然很简捷。2.探讨作已知角平分线的方法2.1 学生中马上有人说是用量角器作AOB的平分线(老师让大家很快的操作)2.2 师:用量角器在纸上作AOB=120的角平分线确实比较容易,如果AOB=117.5呢?如果AOB等于任意大小呢?要用量角器画得很准就有点难.还有什么方法?2.3 生:用纸作的角对折. 师:用纸片任意剪一个角,折出它的平分线试试.(大家动手剪,折) 师:大家动手折纸很快,很好。但同学们想过没有？如果没有纸,也没有量角器,或者是在黑版面上、地面上、桌面上(这时小小的量角器也不好施展)，怎样作出一个已知角的平分线呢?(大多数学生陷于沉思) 评:设置障碍就是问题情境。 师:其实像折纸那样的作法,我们在小学甚至幼儿园都会做,现在我们是八年级的学生了,能不能找出更科学一点的方法呢? 生:用圆规和尺(教师补充:无刻度的直尺)评：这就是由经历动手操作,向理性思维过渡的激励手段。 生2:(看看书以后)用平分角的仪器. 师:很好!说明有同学预习过课本,但老师想指出,这个仪器也是人造的,我们完全可以凭我们已经学过的知识用圆规和直尺比较准确的作出已知角的平分线(同学们开始用尺规探讨作法,多数人不知如何下手,少数人看书后照葫芦画瓢) 师:现在我们思考一下,确定一条射线需要几个点? 生:两个点. 师:我们现在要作的AOB的平分线(是一条射线)已知确定了哪个点? 生:顶点O 师:那么,要画出AOB的平分线,关键就要确定角平分线上另一点,设为C. 评：有了问题情境,教师要引导学生搜索已有的知识库存,找出解决当前问题所需的旧知识,这就是建摸.这比直接用仪器画出所求作的图形更有启发性.探究性一些。 师：用圆规怎样确定C点的位置呢？就是画两条圆弧，取它们的交点（学生似有所悟，动手试） 师：但画圆弧的关键是确定圆心和半径（很多学生以O为圆心，任意长为半径，但画不出两个弧相交） 师：看来，我们先要在AOB的两边确定两个恰当的点作圆心，才好画弧找交点C。（学生若有所悟，有人已经在动手以O为圆心画弧交角的两边。为了让学生真正观察清楚，教师仍以折纸引导）A(B) 师：为了帮助我们找这样的两个恰当的点，请同学们把刚刚折过角平分线的纸型拿出来。如图，不通过顶点，再折一下（如图中MC）M然后打开折纸，你们看到了什么？COB生：相等的折痕。 师：对，相等的折痕就是相等的线段（结合课件展示）有哪些相等的线段？ 生：OM=ON MC=NC 师：折纸只是启发我们去探讨作法，现在脱离折纸和任何仪器，你们知道怎么用圆规和直尺做出已知角的平分线了吧！（学生纷纷用圆规和直尺在纸上画图）评：折纸是感性活动，通过它启示我们怎样去寻找尺规作图的思路（大多数学生都能以尺规完成作图，如右图） 师：现在，我们既没有折纸，又没有用仪器，怎么知道这样作出来的射线一定是AOB的平分线呢？ 生：可以证明。 师：怎么证？ 生：用全等三角形（让一个学生口述证明的过程）评；八年级的学生早就知道“证明”这个词的含义了，不必“千呼万唤始出来”。 师：这就是比较规范的尺规作角平分线法，它无论在何处都可以作，而且比较准确，最重要的是合逻辑（即可以用以前学过的知识经过推理而得到的）。大家看看，所谓“平分角的仪器”是不是就是根据这种尺规作图法造出来的工具？评：至此，教师稍加点明，学生就知道，原来所谓“平分角的仪器”就是这种尺规作图方法的工具化。这样做有启示学生创新的意义，而避免人脑工具化） 师：现在，能不能用语言简要的表示这个作用的过程呢？（肯定有些学生说不好，于是要大家看书本P。107的“作法”，看后复述） 师：注意，画弧一定要写明“以某某为圆心，某某为半径” 还有，第二步中为什么要有“大于二分之一MN的长”这个定语。 生：如果小于MN的二分之一就不会相交了。 师：对！当然所谓大于MN的二分之一也是目测或估计。以两弧能相交为原则（因此等于MN的二分之一也就没必要了）评：细节不忽视，这也是数学严谨性的教育。 片断二 角平分线性质的探究 师：学习几何图形的目的是为了一步步探索图形的性质，以便为解决更复杂的图形问题打好基础。现在我们来观察角的平分线这个图形给我们带来哪些重要性质。 大家注意，假定AOB的平分线OC已做出，我们看到只要OM=ON，必有CM=CN，现在要问，如果没有OM=ON这个条件，是不是也可以找到AOB两边上的点M，N，使CM=CN呢？任意取点M，N，行吗？（学生操作） 生1：不行？（如上右图）生2：从OC上一点向两边作垂线就行，师让一个学生在黑板上作出图（如右图），并解释为什么PD=PE（在OC上任取一点P） 师：这是用到直角三角形全等的判定，非常好！ 师：根据我们以前学过的知识，这里PD，PE的长叫做什么？ 生：距离（师纠正；点到直线的距离。其他的连接P与两边上任一点的线段的长只可能是两点之间的距离） 师：这就是角平分线的一个常用的性质，大家念一遍，书P。108 “角平分线上的点到两边的距离相等”评：对八年级学生来说，“点到点的距离”“点到直线的距离”“直角三角形的全等的判定”都学过了，现在让他们自己动手先画若干条连结角平分线上的点与两边上的点的线段，观察，判断并证明“角平分线上的点到角两边的距离相等”不但更能体现“建立在已有知识经验基础上”，而且也是数学知识的“螺旋上升”，似乎没有必要再从折纸开始了。总评 总起来说，几何（或“空间与图形”）教学有实用和逻辑思维训练两重任务，两者是有联系的，不从实际出发，不会用于实际，很难产生学习积极性；而没有一点理性思维支持，则实用的能力也不会真正具备。文革期间，我们教出来的最好的高中生到工厂学工