《电磁场与电磁波》ppt教案-07时变电磁场.ppt

第七章 时变电磁场 主 要 内 容 位移电流，麦克斯韦方程，边界条件，位函数 ，能流密度矢量，正弦电磁场，复能流密度矢量。 1. 位移电流 位移电流不是电荷的运动，而是一种人为定义的概念。 对于静态场，由于电荷分布与时间无关，因此获得电流连续性原 理，即 电荷守恒原理表明 对于时变电磁场，因电荷随时间变化，不可能根据电荷守恒原理推 出电流连续性原理。但是电流连续是客观存在的物理现象，为此必须扩 充前述的电流概念。 静电场的高斯定律 同样适用于时变电场。代入上述电 荷守恒定律，得 相应的微分形式为 不是由电子运动形成的传导电流或运流 电流，而是人为定义的位移电流。 真空电容器中通过的时变电流是什么？ 显然，上式中 具有电流密度量纲。 那么，求得 英围物理学家麦克斯韦将 称为位移电流密度，以 Jd 表示，即 引入位移电流以后，时变电流仍然是连续的。由于此时包括了传 导电流，运流电流及位移电流，因此，上式称为全电流连续性原理。 由定义可见，位移电流密度是电通密度的时间变化率，或者说是电 场的时间变化率。 在静电场中，由于 ，自然不存在位移电流。 在时变电场中，电场变化愈快，产生的位移电流密度也愈大。 在电导率较低的媒质中， 在良导体中， 在时变电场中，由于位移电流存在，麦克斯韦认为位移电流也可产 生磁场，因此前述的安培环路定律变为 即 上两式称为全电流定律。它表明，时变磁场是由传导电流，运流电流以 及位移电流共同产生的。 已知位移电流是由时变电场形成的，由此可见，时变电场可以产生 时变磁场。 电磁感应定律表明，时变磁场可以产生时变电场。因此，麦克斯韦 引入位移电流概念以后，预见时变电场与时变磁场相互转化的特性可能 会在空间形成电磁波。 2. 麦克斯韦方程 静态场中的高斯定理及磁通连续性原理对于时变电磁场仍然成立 。那么，对于时变电磁场，麦克斯韦归纳为四个方程，其积分形式和 微分形式分别如下： 积分形式微分形式 全电流定律 电磁感应定律 磁通连续性原理 高斯定律 可见，时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，时 变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋有散 场。 积分形式微分形式 在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是有旋无散的。 电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电磁波。 时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。 为了完整地描述时变电磁场的特性，麦克斯韦方程还应包括电荷 守恒方程以及说明场量与媒质特性关系的方程，即 麦克斯韦方程组中各个方程不是完全独立的。可以由第 1、2 方程 导出第 3、4 方程，或反之。 对于不随时间变化的静态场，则 那么，上述麦克斯韦方程变为前述的静电场方程和恒定磁场方程，电 场与磁场不再相关，彼此独立。 式中 代表产生时变电磁场的电流源或非电的外源。 在简单的形式下隐藏着深奥的内容，这些内容 只有仔细的研究才能显示出来，方程是表示场的结构的定律。它不像 牛顿定律那样，把此处发生的事件与彼处的条件联系起来，而是把此 处的现在的场只与最邻近的刚过去的场发生联系。 爱因斯坦（1879-1955）在他所著的“物理学演变”一书中关于麦 克斯韦方程的一段评述：“ 这个方程的提出是牛顿时代以来物理学上 的一个重要事件，它是关于场的定量数学描述，方程所包含的意义比 我们指出的要丰富得多。 假使我们已知此处 的现在所发生的事件，藉助这些方程便可预测在空间稍为远一些，在 时间上稍为迟一些所发生的事件”。 麦克斯韦方程除了对于科学技术的发展具有重大意义外，对于 人类历史的进程也起了重要作用。 正如美国著名的物理学家弗曼在他所著的“ 弗曼物理学讲义 ” 中写道“ 从人类历史的漫长远景来看即使过一万年之后回头来 看毫无疑问，在十九世纪中发生的最有意义的事件将判定是麦克 斯韦对于电磁定律的发现， 与这一重大科学事件相比之下， 同 一个十年中发生的美国内战 （1861-1865）将会降低为一个地区性 琐事而黯然失色”。 处于信息时代的今天，从婴儿监控器到各种遥控设备、从雷达到 微波炉、从地面广播电视到太空卫星广播电视、从地面移动通信到宇 宙星际通信、从室外无线局域网到室内蓝牙技术、以及全球卫星定位 导航系统等，无不利用电磁波作为传播媒体。 无线信息高速公路更使人们能在任何地点、任何时间同任何人取 得联系，发送所需的文本、声音或图象信息。电磁波的传播还能制造 一种身在远方的感觉，形成无线虚拟现实。 电磁波获得如此广泛的应用，更使我们深刻地体会到19世纪的麦 克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大贡献。 3. 时变电磁场的边界条件 适合静态场的各种边界条件原则上可以直接推广到时变电磁场。 第一，在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，即 因为只要磁感应强度的时间变化率是有限的，那么由电磁感应定 律的积分形式 或写成矢量形式 即可获得上面结果。 对于各向同性的线性媒质，上式又可写为 en 第二, 在任何边界上，磁感应强度的法向分量是连续的。 由磁通连续性原理，即可证明 或写成矢量形式 第三，电通密度的法向分量边界条件与媒质特性有关 。 在一般情况下，由高斯定律求得 或写成矢量形式 式中 s 为边界表面上自由电荷的面密度。 对于各向同性的线性媒质，上式又可表示为 对于两种理想介质形成的边界，由于不可能存在表面自由电荷， 因此 可见，两种理想介质形成的边界上，电通密度的法向分量是连续的。 第四，磁场强度的切向分量边界条件也与媒质特性有关。 在一般情况下，由于边界上不可能存在表面电流，根据全电流定 律，只要电通密度的时间变化率是有限的，可得 或写成矢量形式 在理想导电体表面上可以形成表面电流，此时磁场强度的切向分量 是不连续的。 对于各向同性的线性介质，上式又可写为 在理想导电体内部不可能存在时变电磁场及时变的传导电流，它 们只可能分布在理想导电体的表面。 已知在任何边界上，电场强度的切向分量及磁感应强度的法向分 量是连续的，因此理想导体表面上不可能存在电场切向分量及磁场法 向分量，即时变电场必须垂直于理想导电体的表面，而时变磁场必须 与其表面相切。 E(t), B (t), J (t) = 0 E 0 J = E H 0 E 0 J 0 H 0 因 ，由前式得 或 由于理想导电体表面存在表面电流 Js ，设表面电流密度的方向与 积分回路构成右旋关系，因 ，求得 或 E H , en et H1t H2t JS 例 已知内截面为a b 的矩形金属波导中的时变电磁场的各分量为 其坐标如图示。试求 波导中的位移电流分 布和波导内壁上的电 荷及电流分布。波导 内部为真空。 a z y x b x z y x y z g b a 磁场线 电场线 解 由前式求得位移电流为 在 y = 0 的内壁上 在 y = b 的内壁上 在 x = 0 的侧壁上， 在 x = a 的侧壁上， 在 x = 0 及 x = a 的侧壁上，因 ，所以 。 z y x 内壁电流 4. 标量位与矢量位 设媒质是线性均匀且各向同性的，那么由 Maxwell 方程可得 利用矢量恒等式 ，同时考到 及 ，那么上述两式变为 由此可见，时变电磁场的场强与场源的关系比较复杂。为了简化求解过 程，引入标量位与矢量位作为求解时变电磁场的两个辅助函数将是行之 有效的。 式中 A 称为矢量位。将上式代入式 中，得 已知 ，因此 B 可以表示为矢量场 A 的旋度，即可令 上式又可改写为 由此可见，矢量场 为无旋场。因此它可以用一个标量场 的梯度来表示，即可令 式中 称为标量位。由此得 注意，这里的矢量位 A 及标量位 均是时间及空间函数。 当它们与时间无关时，矢量位 A 及标量位 与场量的关系和静 态场完全相同。因此矢量位 A 又称为矢量磁位，标量位 又称为标 量电位。 为了导出位函数与源的关系，根据位函数定义式及麦克斯韦方程 ，求得 利用矢量恒等式 ，上两式又可写为 已经规定了矢量场 A 的旋度， ，必须再规定其散度。 则前两式可以简化为 罗伦兹条件 由上可见，按照罗伦兹条件规定 A 的散度后，原来两个相互关联的方 程变为两个独立方程。 矢量位 A 仅与电流 J 有关，标量位 仅与电 荷 有关。 原则上，其散度值可以任意给定，但是为了简化计算，由上式可知 ，若令 由上可见，已知电流及电荷分布，即可求出矢量位 A和标量位 。 求出 A 及 以后，即可求出电场与磁场。 原来电磁场方程为两个结构复杂的矢量方程，在三维空间中需要 求解 6 个坐标分量 位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程 这样，麦克斯韦方程的求解归结为位函数方程的求解，而且求解过 程显然得到了简化。 在三维空间中仅需求解 4 个坐标分量。在直角坐标系中，实际上等于 求解 1 个标量方程。 根据静态场的结果，采用类比的方法，推出其解。 5. 位函数方程的求解 当时变点电荷位于坐标原点时，其场分布一定具有球对称特点，即 场量仅为变量 r 的函数，与球坐标变量 及 无关。那么，在除坐标原 点以外整个无源（ = 0）空间，位函数满足的方程式为 首先求解位于坐标原点的时变点电荷产生的矢量位，然后利用叠加 原理导出任意分布的时变体电荷的解。 式中 上式为函数（ r）的齐次波动方程，其通解为 由后面分析可以获知，式中第二项不符合实际的物理条件，应该舍 去。因此，求得位于原点的时变点电荷产生的标量电位为 已知位于原点的静止点电荷 产生的电位为 将此式同上式比较，可见函数 f1 为 因此，求得位于原点的时变点电荷产生的标量位为 式中r 为体元 dV 至场点的距离。 对于位于V 中的任意体分布电 荷，如图示。 rr z y x (r, t) V dV r - r 0 在 r 处产生的电位由上式积分 求得 为了求出矢量位函数 A，可将矢量位函数方程在直角坐标系中展 开，则各个分量均满足结构相同的非齐次标量波动方程式，即 显然，对于每一个分量均可求得结构如同前式的解。三个分量合成后， 矢量位 A 的解为 式中 V 为电流 J 的分布区域。 上两式表明，空间某点在时刻 t 产生的位必须根据时刻 的场源分布函数进行求积。换言之，位于 r 处 t 时刻的场强不是由同一 时刻 t 的源的分布决定的，而是取决于比 t 时刻导前 的时刻 的源分布。 这就意味着，位于 r 处的源产生的场传到 r 处需要一段时间，这段 时差就是 。 已知 ( r r )为源点至场点的距离，因此 v 代表电磁波的传播速度 。 由式 可见，电磁波的传播速度与媒质特性有关。在真空中 ，最新测得的数据为 这就是光波在真空中的传播速度，或简称为光速。光速通常以 c 表示。 值得注意的是，即使在某一时刻源已消失，只要前一时刻源还存 在，它们原来产生的空间场仍然存在，这就表明源已将电磁能量释放 到空间，而空间电磁能量可以脱离源单独存在，这种现象称为电磁辐 射。 当静止电荷或恒定电流一旦消失，它们所产生的静电场或恒定磁场 也随之失去，因而静态场又称为束缚场，没有辐射作用。 若源随时间变化很快，空间场强的滞后现象更加显著，即使在源附 近也会有显著的电磁辐射现象。所以似稳场和辐射场的区域划分不仅取 决于空间距离，也与源的变化快慢有关。 位于时变源附近的时变电磁场，时差很小，场强随时间的变化基本 上与源的变化同步，所以近处的时变场称为似稳场。 离开时变源很远的地方，由于时差很大，辐射效应显著，所以远处的 时变场称为辐射场。 为了向空间辐射电磁能量，必须使用变化很快的高频电流激励发射 天线，而通常 50Hz 交流电不可能有效地辐射电磁能量。 由于标量电位 和矢量磁位 A 随着时间的变化总是落后于源，因 此，位函数 及 A 通常称为滞后位。 前式中的第二项 不符合实际的物理条件。因为 意味 着场比源导前，这就不符合先有源后有场的因果关系。 那么，它又可理解为向负 r 方向传播的波，也就是来自无限远处的反射波 。 当然，因子 又可写为 对于点电荷所在的无限大的自由空间，这种反射波是不可能存在的 。 对于面分布及线分布的电荷及电流，可以类似推出它们产生的标 量位和矢量位。其结果分别如下： 应注意上述公式仅可用于均匀、线性、各向同性的媒质。 6. 能量密度与能流密度矢量 静态场的能量密度公式及损耗功率密度公式完全可以推广到时变 电磁场。 电场能量密度 磁场能量密度 损耗功率密度 因此，时变电磁场的能量密度为 对于各向同性的线性媒质 可见，时变场的能量密度是空间及时间的函数，而且时变电磁场 的能量还会流动。 为了衡量这种能量流动的方向及强度，引入能量流动密度矢量 ，其方向表示能量流动方向，其大小表示单位时间内垂直穿过单位 面积的能量。或者说，垂直穿过单位面积的功率，所以能量流动密 度矢量又称为功率流动密度矢量。 能量流动密度矢量在英美书刊中称为坡印亭矢量，在俄罗斯书 刊中称为乌莫夫矢量。 能量流动密度矢量或简称为能流密度矢量以 S 表示， 单位为 W/m2。 能流密度矢量 S 与电场强度 E 及磁场强度 H 的关系如何？ 设无外源 (J = 0, = 0) 的区域 V 中，媒质是线性且各向同性的， 则此区域中麦克斯韦方程为 利用矢量恒等式 ，将上式代入，整理 后求得 将上式两边对区域 V 求积，得 , , E, H V 考虑到 ，那么 根据能量密度的定义，上式又可表示为 上式称为时变电磁场的能量定理。任何满足上述麦克斯韦方程的时变 电磁场均必须服从该能量定理。 矢量（ ）代表垂直穿 过单位面积的功率，因此，就 是前述的能流密度矢量 S ， 即 , , E, H S 此式表明，S 与 E 及 H 垂直。又知 ，因此，S，E 及 H 三者 在空间是相互垂直的，且由 E 至 H 与 S 构成右旋关系，如图示。 S E H 能流密度矢量的瞬时值为 可见，能流密度矢量的瞬时值等于电场强度 和磁场强度的瞬时值的乘积。 只有当两者同时达到最大值时，能流密度才达到最大。若某一时刻 电场强度或磁场强度为零，则在该时刻能流密度矢量为零。 7. 惟一性定理 在闭合面 S 包围的区域 V 中，当t = 0时刻的电场强度 E 及磁场强 度 H 的初始值给定时，又在 t 0 的时间内，只要边界 S 上的电场强度 切向分量 Et 或磁场强度的切向分量 Ht 给定后，那么在 t 0 的任一时 刻，体积 V 中任一点的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。 利用麦克斯韦方程导出的能量定理，采用反证法即可证明这个定理。 V S E t (r, t) or H t (r, t) E(r, 0) & H(r, 0 ) E( r, t), H(r, t ) 8. 正弦电磁场 一种特殊的时变电磁场，其场强的方向与时间无关，但其大小随 时间的变化规律为正弦函数，即 式中 Em(r) 仅为空间函数，它是正弦时间函数的振幅。 为角频率。 e(r) 为正弦函数的初始相位。 由傅里叶变换得知，任一周期性或非周期性的时间函数在一定 条件下均可分解为很多正弦函数之和。因此，我们着重讨论正弦电 磁场是具有实际意义的。 正弦电磁场又称为时谐电磁场。 正弦电磁场是由随时间按正弦变化的时变电荷与电流产生的。虽 然场的变化落后于源，但是场与源随时间的变化规律是相同的，所以 正弦电磁场的场和源具有相同的频率。 对于这些相同频率的正弦量之间的运算可以采用复数方法，即仅 须考虑正弦量的振幅和空间相位 ，而略去时间相位 t 。那么， 对于电场强度可用一个与时间无关的复矢量 表示为 原来的瞬时矢量和复矢量的关系为 实际中，通常测得的是正弦量的有效值（即平方的周期平均值） ，以 表示正弦量的有效值，则 式中 所以最大值表示复矢量和有效值表示复矢量的之间的关系为 无论何种表示方法，复矢量仅为空间函数，与时间无关。 有的书刊将正弦电磁场表示为 则瞬时矢量与复矢量的关系为 只有频率相同的正弦量之间才能使用复矢量的方法进行运算。 9. 麦克斯韦方程的复数形式 已知正弦电磁场的场与源的频率相同，因此可用复矢量形式表 示麦克斯韦方程。 考虑到正弦时间函数的时间导数为 或写为 因为上式对于任何时刻均成立，故虚部符号可以消去。那么 因此，麦克斯韦第一方程 可表示为 同理可得 以及 上述方程称为麦克斯韦方程的复数形式，式中各量均为有效值。 当 t = 0 时， 得 当 ， 时， 得 即 已知 例 已知某真空区域中的时变电磁场的电场瞬时值为 试求其磁场强度的复数形式。 解 根据时变电场瞬时值，求得其有效值的复数形式为 由于电场仅有 y 分量，且与变量 y 无关，即 。那么 又知 麦克斯韦方程的复数形式 瞬时形式 (r, t)复数形式 (r) 10. 位函数的复数形式 对于正弦电磁场，位函数也可用复矢量表示。 考虑到时间滞后因子 ，对于正弦函数，表现的相位滞后为 。 令 则 那么，位函数方程解的复数形式 罗伦兹条件的复数形式 正弦电磁场与位函数的关系 11. 能量密度与能流密度矢量的复数形式 已知时变电磁场的电场及磁场能量密度 以最大值表示的复数形式 或者表示为 式中 及 分别为复矢量 及 的共轭值。 瞬时形式 正弦量的有效值为瞬时值平方的周期平均值，所以正弦电磁场 的能量密度的周期平均值为 即 式中 E(r) 及 H(r) 均为有效值。 或者以场强的最大值表示为 或者表示为 上式又可写为 上式表明，正弦电磁场能量密度的周期平均值等于电场能量密度 与磁场能量密度的最大值之和的一半。 同样，损耗功率密度也可用复矢量表示。其最大值为 平均值为 可见，损耗功率密度的平均值也是最大值之半。 已知能流密度矢量 S 的瞬时值为 其周期平均值为 复能流密度矢量 Sc ，令 式中 及 均为有效值。 又可用场强最大值表示为 那么，复能流密度矢量 Sc 的实部及虚部分别为 可见，复能流密度矢量的实部就是能流密度矢量的平均值，即 同时表明，复能流密度矢量的实部及虚部不仅取决于电场及磁场的 振幅大小，而且与电场及磁场的相位密切相关。 t t t t 电场强度 磁场强度 当电场与磁场同相时，即 当电场与磁场反相时，即 当电场与磁场的相位差为 的 奇数倍，即 ，则实部 为零，虚部为最大正值或负值。 若电场与磁场的相位差为任意值时，则虚部及实部均不为零。 则实部为最大正值，虚部为零。 则实部为最大负值