机械振动(2012年).ppt

广义振动： 任一物理量(如位移、电流等) 在某一数值附近反复变化。 机械振动： 物体在一定位置附近作来回往复的运动。 振动在空间的传播过程叫做波动 本 章 基 本 要 求 掌握 简谐振动的合成 阻尼振动、受迫振动、共振 简谐振动及其基本规律 简谐振动的描述 旋转矢量法 本节课要求掌握的基本内容 1、什么叫简谐振动？简谐振动有哪些基本特征？ 2、描述简谐振动有哪些特征量？ 3、简谐振动的旋转矢量如何表示？ 4、简谐振动的描述有哪几种方法？ 5、简谐振动的能量？ 一、简谐振动的描述 6-1 简谐振动（simple harmonic motion) 物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移） 按余弦函数（或正弦函数）的规律变化，这种运动 叫简谐振动。 弹簧振子 A AO m k 1. 运动方程 振幅A 物体离开平衡位置的最大距离,决定于初条件. 频率 单位时间内振动的次数. 角频率 周期T 物体完成一次全振动所需时间. 初相位相位 t 2.振动速度及加速度 简谐振动的加 速度和位移成 正比而反向. x, v, a a v x T O t 3. 振动初相和振幅(由初始条件决定) 初始条件：当t = 0时, x = x0 ，v = v0 代如 得 = arctan A AO m k 例如：v0 = 0, x0 = A = 0 v0 = 0, x0 = A = 对同一谐振动取不同的计时起点初位相(0)不同 例1. 一质点沿x 轴作简谐振动，振幅A= 0.12 m，周期 T= 2 s， 当t = 0 时，质点对平衡位置的位移 x0 = 0.06 m, 此时刻质点向x 正向运动。求此简谐振动的表达式。 解取平衡位置为坐标原点。 由题设T= 2 s，则A= 0.12 m 由初条件 x0 = 0.06 m，v0 0 得 简谐振动的表达式为 设简谐振动的表达式为 矢量A初时与轴夹角为， x y o 以匀角速度沿逆时针方 向旋转，端点作圆周运动。 它在 x 轴上的投影 由此可知，简谐振动可用 旋转矢量的投影表示。 振幅矢量的模 圆频率旋转角速度 位相矢量与x 轴夹角 x y o 二、简谐振动的旋转矢量表示法 1.简谐振动与匀速圆周运动 0 (t = 0) x t+0 (t = t) o X 2.简谐振动的旋转矢量表示法 3.两同频率简谐振动的相位差（phase difference） O x O x O x 两个谐振动 相位差 两同频率的谐振动的相位 差等于它们的初相差。 =2 1 0, x2超前x1 = 0, 同相 = ，反相 x, v, a a v x T O t x, v, a O 例：由旋转矢量确定简谐振动中位移与 速度、位移与加速度的相位差。 例2. 以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线 如图所示，求此简谐振动的表达式。 x (cm) O t (s) 1 2 1 2 1 t = 1s t = 0 O x 解设简谐振动方程为 由旋转矢量可得 （v0 0 旋转矢量以 匀角速由t = 0 到t = 1s 转过了4/3 t =1s 角频率的计算：t = 1s 时，对应图示的旋转矢量。 由图可知，振幅 A=2cm 已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图 所示，试求其振动方程。 解：方法1用解析法求解 设振动方程为 例题3 故振动方程为: 方法2： 用旋转矢量法辅助求解。 由图知 试比较这两种方法哪种简单? 1. 解析法 2. 曲线法 ox m x0 = 0 = /2 o A -A t x T 由 ： 已知表达式 A、T、 已知A、T、 表达式 已知曲线 A、T、 曲线 已知 A、T、 简谐振动的描述方法小结： 3. 旋转矢量法(辅助法) 三、简谐振动的动力学方程 由牛顿第二定律 由振动方程 则: 作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合外力与 它相对于平衡位置（或原点）位移成正比而反向。 令 (回复力) 反之，如果质点所受的力 则质点一定作简谐振动。 或 简谐振动微分方程 运动方程为: 运动学特征 即:物体所受合外力 动力学特征 2.简谐振动特点： (1)等幅振动 (2)周期振动 x(t)=x(t+T ) 1.简谐振动的基本特征 .受恢复力 小结 单摆 其角频率、 振动的周期分别为： 四 . 两种微振动的简谐近似. 当 时 摆球对C点的力矩 -简谐振动 结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。 . 复摆(compound pendulum) 绕不过质心的水平固定轴转动的刚体。 令 小幅摆动时 角位移，回复力矩 M =mghsin M =mgh 由刚体的转动定律 或 得 谐振动微分方程 结论：复摆的小角度 摆动是简谐振动。 (1). 将单摆拉到与铅直方向成 角时，放手任其自由 摆动。则角是否为初位相？为什么？又单摆的角速度 是否为谐振动的圆频率？ 解： 不是初位相，而是初始角位移。 不是圆频率， 单摆的圆频率为 思考题 (2). 乒乓球在地面上的上下跳动. (3). 小球在半径很大的光滑凹球面 底部作小幅振动. mg O 解: (2) 谐振动 例题1: 装置和坐标如图示，m=210-2kg, 设弹簧的静止形变为 x=9.8cm，开始 振动（t=0）时， x0= -9.8cm, v0=0。求： 证明物体做简谐振动，并写出振动方程。 取开始振动时为计时零点， 写出振动方程； （2）若取x0=0，v00为计时零点， 写出振动方程。 X o m x 解： 在平衡位置有（坐标原点）: mg=k x 得： k=mg/ x 令向下有位移 x, 则m 合力：f=mg-k(x +x)= - kx 物体作谐振动 由初条件得： 由于 x0=Acos0= -0.0980 即：x0=Acos0=0 , 得：0=/2 , 或 3/2 又因为，v00 有：v0= -Asin0 , sin 0 0, x=9.810-2cos(10t+3/2) m X o m x 则取：0=3/2 振动方程为： 对同一谐振动、A不变，但取不同的计时起点 初位相0不同，则振动方程不同。 例题2.倔强系数 k = 200N m -1的轻弹簧, 连着一个质量M =1.8 kg的物体,并置于光滑水平面上。 今有一个质量 m = 0.2 kg ,速 度 v =10m s-1 的弹丸水平飞 来,与物体作完全非弹性碰撞。 k = 200 N m-1 , M =1.8 kg m = 0.2 kg , v = 10 m s-1 已知： 求振动方程。 因为系统是一弹簧振子, 则振动圆频率为: 若以弹丸射物体时为计时起点, 求振动方程。 解 倔强系数 k = 200 N m-1 的轻弹簧 k = 200 N m-1, M =1.8 kg m = 0.2 kg , v = 10 m s-1 已知： 因为系统振动圆频率为 取物体原来静止位置为坐标原点 由于M与m作完全非弹性碰撞 可求得振动系统初速度 初位相可用旋转矢量法求得 振动方程: 解 例3、轴在同一水平面上的两个相同的圆柱体,两轴相距 0.49m ,它们以相同的角速度相向转动。 一质量为m 的 木板搁在两圆柱体上,木板与圆柱体之间的滑动摩擦系数 为=0.1。 木板偏离对称位置后将如何运动？周期为多少？ 以两轮中心连线之中点为坐标 原点,木板质心位于 x 处 木板受力 x 向：摩擦力 f 1 、f 2 y 向：重力 m g 支持力 N 1 、N2 解 以两轮中心连线之中点为坐 标原点,木板质心位于 x 处 由上可得 ( 木板作简谐振动 ) 整理后可得 解 木板受力 . 用旋转矢量讨论下列各题： （1）右图为某谐振动x-t 曲线， 则 初位相 ，P时刻 的位相为，振动方程 为。 课堂练习 (2) 某振动振幅为A，周期为T，设tT/4时 ，质点位移为x= ，且向正方向运动。 则振动的初位相为 . 用旋转矢量求解 （1）右图为某谐振动x-t曲线， 则初位相 ，P时刻 的位相为，振动方程 为。 x 课堂练习解： 5.5 t=0 P x (2) 某振动振幅为A，周期为T，设tT/4时 ，质点位移为x= ，且向正方向运动。 则振动的初位相为 t=0因为设tT/4时，质点 位移为 且向正方向运动， 则此时质点必在第三象限 由此可推出t=0时质点必在第二象限。 五、简谐振动的能量 谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep 某一时刻，谐振子位移为x ,速度为v， 谐振动的动能和势能是时间的周期性函数. 系统的机械能守恒 动 能 势 能 情况同动能。 机械能 简谐振动系统机械能守恒 振动能量曲线 x t o t T o E Ek(t) Ep (t) 本节课要求掌握的基本内容 1、一维简谐振动的合成？ 2、二维简谐振动的合成？ 3 、阻尼振动、受迫振动、共振？ 一.两个同方向、同频率谐振动的合成： 则合振动是简谐振动,其频率仍为 合振动 : 6-2 6-2 振动的合成与分解振动的合成与分解 两种特殊情况 如 A1=A2 , 则 A=0 两分振动相互加强 两分振动相互减弱 分析： 若两分振动同相： 若两分振动反相: 合振动的初相位与两分振动初相位相同； 合振动的初相位与振幅大的分振动初相位相同。 合振动不是简谐振动 式中 随缓变 随快变 合振动可看作振幅缓变的简谐振动 分振动 合振动 当21时 二. 两个同方向、频率相近简谐振动的合成 拍 拍： 拍频 : =|2-1|单位时间内强弱变化的次数 x t x2 t x1 t 合振动忽强忽弱的现象。余弦函数的绝对值在 一个周期内两次达到最大。则 例如：当我们先后听到频率很接近（如552 和 564 Hz）的声音，就很难区分它们频率的差异；如果 这两种声音同时到达我们的耳朵，我们听到声音频 率应该为558Hz（=(552+564)/2）,其强度以12Hz (=564 552) 的频率变化。这种现象称为拍，12Hz 为 拍频。 u测定超声的频率。 u拍的现象常被用于校正乐器。例如我们可以利用 标准音叉来校准钢琴的频率：因为音调有微小差别 就会出现拍音，调整到拍音消失，钢琴的一个键就 被校准了。 拍的应用 u微波测速雷达：被测物体移动时，由于直达波和反 射波混合的结果在接收检波器上混频出差拍信号，该 差拍信号的频率和移动物体速度成线性关系。 u超外差式收音机利用的就是外来讯号和本机振荡 之间的差拍频。 三.两个相互垂直的同频率简谐振动的合成 合运动 : (1)一般情况下，合振动的轨迹是椭圆 。 分振动: 分析： 确定后,椭圆的性质 (方位、长短轴、左右旋 ) 主要决定于 (2) 时退化为直线。 时退化为圆。 2 1 = 0 2 1 = 时，质点沿逆时针方向运动。 时，质点沿顺时针方向运动。 其轨迹为李萨如图形 y x A1 A2 o -A2 -A1 简谐振动的合成 四、两个相互垂直、不同频率的简谐振动的合成 右图为： 两个谐振动的相位差为 不断地随时间变化，因而合振动不一定有稳定的 轨迹。只有在两振动的频率成简单的整数比时，才有 稳定的轨迹。 李萨如图形 若已知一个分振动的周期，可根据合振动的李萨如图形 求出另一个分振动的周期，这种方法常用来测定频率。 一. 阻尼振动 阻尼振动 能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。 摩擦阻尼： 系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的 作用，系统的动能转化为热能。 辐射阻尼： 振动以波的形式向外传波，使振动能量 向周围辅射出去。 6-3 阻尼振动 受迫振动和共振 1.阻尼振动： 2.阻尼振动的振动方程（系统受到弱介质阻力而衰减） 振子动力学方程 振子受阻力 系统固有角频率 阻尼系数 弱介质阻力是指振子运动速度较低时， 介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比。 阻力系数 弱阻尼 1）.弱阻尼 所以， 每一周期内损失的能量越小，振幅衰 减越慢，周期越接近于谐振动。 阻尼振动的振幅按指数衰减 阻尼振动的准周期 2）.临界阻尼 临界阻尼 系统不作往复运动，而是较快地回 到平衡位置并停下来(精密天平） 过阻尼 3）.过阻尼 系统不作往复运动，而是非常 缓慢地回到平衡位置。 t x O 临界阻尼 过阻尼 阻尼 阻尼振动： b c a t x 0 2. 阻尼振动的应用 在实际生产和生活中，常根据不同的要求，通过不 同的方法来控制阻尼的大小。例如， u各种机器，为了减震、防震，都要加大摩擦阻尼。 u各种声源、乐器，总希望它能辐射足够大的声 能，就需要加大其辐射阻尼，各种乐器上的空气 箱就起这种作用。 u在灵敏电流计中，为了尽快地、较准确地进行读 数测量，常使电流计的偏转系统处于临界阻尼状 态下工作。因为与过阻尼和欠 阻尼状态相比，振动物体从静 止开始运动回到平衡位置的时 间最短。 二、 受迫振动 1.受迫振动: 在周期性外力的作用下的振动。 弹性力 -kx阻尼力 -驱动力 F =F0cost 系统受力 振动方程 阻尼振动简谐振动 周期性外力 稳态解 (1)频率: 等于策动力的频率 (2)振幅: (3)初相: 特点:稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化 在达到稳定态时， 系统振动频率等于 策动力的频率。 三.共振 当驱动力的为某特定值时振幅A达到极大值的现象-位 移共振. 1). 位移共振 并且 愈小， r 越接近 0 称尖锐共振 振幅: 因此，位移共振时 r 0 可见，若 确定，当驱动力的频率 和固有角频率0 相差很 大（ 远大于或远小于0 ）时，其振动振幅较小；当 和0 相差不 大时，其振动振幅变大。当发生共振时（A达到极大值）有： 当 0时 2.速度共振: 一定条件下, 速度也可以发生共振。速度振幅A 极大的现象速度共振。 用求极值的方法（dv/d =0）可求得共振角频率r