随机变量及其分布习题.ppt

第二、三章 随机变量及其概率分布 习题课 离散型随机变量 随机变量的分布函数 连续型随机变量 一维随机变量函数的分布 二维随机变量的联合分布 多维随机变量的边缘分布与独立性 多维随机变量函数的分布 内 容 关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内 容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的 往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量， 而这些量就是随机变量也可以说：随机事件是从 静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种 动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分 那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础 概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念 发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变 量 一、随机变量的概念 定义. 设S=e是试验的样本空间，如 果量X是定义在S上的一个单值实值函数 即对于每一个eS，有一实数X=X(e)与 之对应，则称X为随机变量。 随机变量常用X、Y、Z 或 、等表 示。 随机变量的特点: 1. X的全部可能取值是互斥且完备的 2 . X的部分可能取值描述随机事件 随机变量的分类： 随机变量 n 离散型随机变量 定义 若随机变量X取值x1, x2, , xn, 且 取这些值的概率依次为p1, p2, , pn, , 则称X 为离散型随机变量，而称 PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 为X的分布律或概率分布。可表为 X PX=xk=pk, (k=1, 2, )， 或 Xx1 x2xK Pkp1p2pk (1) pk 0, k1, 2, ; (2) 2. 分布律的性质 几个常用的离散型分布 （一）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布 1. (0-1)分布 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称 X服从(01)分布(两点分布) XPXkpk(1p)1k, (01时,F(x)=1 当0x1时, 特别,F(1)=P0x1=k=1 用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？ ab n 连续型随机变量 1. 定义 对于随机变量X，若存在非负函数 f(x)，(-0的指数分布。 其分布函数为 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研 究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要 的地位。 3. 正态分布 其中 为实数， 0 ，则称X服从参数为 ,2的正态 分布,记为N(, 2)，可表为XN(, 2). 若随机变量 (1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称； f()maxf(x) . 正态分布有两个特性： (2) 的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峻，。 正态分布也称为高斯(Gauss)分布 4.标准正态分布 参数0，21的正态分布称为标准正态分 布，记作XN(0, 1)。 分布函数表示为 其密度函数表示为 一般的概率统计教科书均附有标准正态分布 表供读者查阅(x)的值。 注：(1) (x)1 (x)； (2) 若XN(, 2)，则 （一）、离散型随机变量函数的分布律 三、一维随机变量函数的分布 设X一个随机变量，分布律为 XPXxkpk, k1, 2, 若yg(x)是一元单值实函数，则Yg(X)也是一个随 机变量。求Y的分布律. 或 Yg(X)PYg(xk)pk ， k1, 2, （其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。） 一般地 X Pk Y=g(X) 设X的概率密度为fX(x),y=g(x)关于x处处可导且是 x的严格单减函数，求Y=g(X)的概率密度。 解：Y的分布函数为 FY(y)=PYy=Pg(X)y =PXg-1(y)=1-FX(g-1(y) Y的概率密度为 fY(y)=F(g-1(y)=fX(g-1(y) g-1(y) （二）、连续型随机变量函数的密度函数 例.设XU(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。 当yY 求：(1)常数A；(2) F(1,1)； (3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6 内的概率。 例. 设 解(1)由归一性 (3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6 内的概率。 解 求：（1）PX0,(2)PX1,(3)PY y0 EX:随机变量（X，Y）的概率密度为 x y D 答: PX0=0 例.已知(X,Y)的分布函数为 求FX(x)与FY(y)。 例.设(X,Y)的概率密度为 （1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度 解:(1)由归一性 设(X,Y)服从如图区域D上 的均匀分布， 求关于X的和关于Y的边缘 概率密度 x=y x=-y 随机变量的相互独立性 定义：随机变量X与Y独立的充分必要条件是 F(x,y)=FX(x)FY(y) 定理. 设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分 必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y) 定理 设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为 Pi,j=PX=xi,Y=yj,i,j=1,2,.，则X与Y独立的充分必要条件 是对任意i,j，Pi,j= Pi.Pj 。 由上述定理可知，要判断两个随机变量X与Y 的独立性，只需求出它们各自的边缘分布， 再看是否对(X,Y)的每一对可能取值点,边缘分 布的乘积都等于联合分布即可 例1.已知X,Y相互独立,其概率分布分别为 X-2-10 P Y13 P 求(X,Y)的联合分布律 关于(X,Y)的联合分布律 13 -2 -1 0 1 例2.设二维离散型随机向量(X,Y)的联合分布律如下,取何值 时,X,Y相互独立? Y X 012 0 1 1 解:若X与Y相互独立 例3.设两个随机变量X与Y相互独立且同分布 例4.设X和Y为两个随机变量,且 例5.设离散型随机向量(X,Y)的联合分布律为 (X.Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2,)(2,3) v解:将表重新排列 Y X 123 1 2 1 例6.设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为 其中参数0,这个分布称为二维指数分布,试讨论X和Y的独立性. 解:由已知可得边缘分布函数 p93例4.某码头能容纳一只船,现预知某日将独立地来到甲,乙两船,且在24小时 内各时刻来的可能性都相等,如果它们需要停靠的时间分别为3小时及4小 时,试求有一船要在江中等待的概率 解:设X表示甲船到达码头的时间.Y表示乙船到达码头的时间 由题中条件,X与Y都服从0,24上的均匀分布 关于X的边缘密度函数 关于Y的边缘密度函数 因为X与Y相互独立,故(X,Y)的联合密度函数为 事件有一只船在江中等待=YXY+4+XYX+3 表示:甲船来时, 乙船已在码头 表示:乙船来时, 甲船已在码头 x 2440 3 24 y Y=X+3 X=Y+4 S P108 8.设X,Y相互独立,且都服从0,1上的均匀分布,试求使方程 有实根的概率. o 1 1 y x Y=x2 P108 2