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矩阵的其它运算 矩阵的线性运算 转置矩阵与共轭转置矩阵 矩阵与矩阵 对角矩阵与准对角矩阵 1 一、矩阵的线性运算 定义设和是两个同型矩阵，则把两个矩阵 的对应元素相加而得到的矩阵称为矩阵 与的和，记作 例如： 则 必须注意：只有两个同型的矩阵才能相加！ 2 矩阵加法的运算规律 交换律 结合律 称作矩阵 的负矩阵 由于矩阵乘法不满足交换律，故分配律有两个 3 数乘矩阵的概念我们已经介绍过即 对于数乘矩阵，下列运算律是成立的： 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算. （设 为矩阵， 为数） 当然AB要有意义 4 二、矩阵的转置与共轭转置Transpose, conjugate 定义把一个矩阵的行变成列，而列变成行所得到 的新的矩阵叫原矩阵的转置矩阵矩阵的 转置矩阵记作 或 例如：则 旋转变换 5 对于矩阵的转置运算，下列性质成立： 特别注意顺序！ 共轭转置矩阵的概念与性质 定义 是复矩阵，若把其所有元素都改成共轭 复数，得到矩阵的共轭矩阵 ； 的转置矩阵叫的共轭转置矩阵 记作即 例如 注意区分伴随矩阵！ 6 对矩阵的共轭转置运算有下列性质： 特别注意(3)和(4)！ 三、矩阵与矩阵 下面要介绍的是另外几种特殊的矩阵 矩阵与正交矩阵 定义 若一个矩阵满足条件称为酉矩阵 特别地，如果是实矩阵，则称为正交矩阵 由此可知：正交矩阵不过是实的矩阵 Unitary, Hermite matrix 7 矩阵称为正交矩阵 其中最后的定义是数学中最常用的定义 例如 满足 故是正交矩阵 在后一种情况下，故正交矩阵的定义可改为： 对应于矩阵和正交矩阵的线性变换是所谓的酉 变换和正交变换 8 酉矩阵的几个重要性质： （） 因此以上三式都可以当作是酉矩阵的定义 即 每一行的元素的模的平方和等于， 其中第二式说明酉矩阵 的行满足正交条件 每一行的元素与另一行的对应元素的共轭复数 的乘积之和为 9 而第三式说明酉矩阵的列是满足正交条件的 （）酉矩阵的行列式的模是 只须对等价定义中的第二式或第三式取行列式 即可知 （）两个同阶矩阵的乘积是矩阵 （）若是矩阵，则 也是矩阵 把上面条性质中的酉矩阵换成正交矩阵， 换为那么条性质也成立 为什么? 10 矩阵与对称矩阵 定义如果方阵满足则称为矩阵 厄米特Hermite矩阵 特别地，如是实矩阵，则是对称矩阵 即对称矩阵是特殊的厄米特矩阵 由定义可知：矩阵中，关于主对角线对称的元素 是互相共轭的复数，即 而对角线上元素全 是实数 而对称矩阵的条件可改写为 其关于主对角线对称的元素必相等，即 对称阵在讨论二次型时起着关键的作用 11 如： 可以重新 排列为 其中 这里的矩阵就 是一个对称矩阵 而 12 四、对角矩阵与准对角阵 先前我们已经给出了对角矩阵为形如 的方阵，即除对角线上的元素外，其它元素全是 特别地，如果则是数量矩阵 对于两个n阶对角矩阵的乘法，交换律是成立的， 即 13 下面我们谈谈准对角矩阵的概念及最简单的性质 设为n阶方阵，则形如 的矩阵，其中为阶方阵， 而表示适当类型的零矩阵 这样的矩阵称为准对角矩阵或分块对角矩阵 型 由名称即可知道，准对角矩阵不过是分块矩阵的特殊 情形关于一般的分块矩阵的内容请参看其他教材 14 矩阵分块是为了简化对较高阶数的矩阵的计算因为 分块矩阵的运算非常简单 对同类型的分块对角矩阵 如果下面的运算都有意义，则运算性质有： （） 15 （） （） （） 分块矩