Matlab在线性代数中的应用.ppt

Matlab在线性代数中的应用 目标要求 会给矩阵赋值 会进行矩阵的基本运算，包括：加、减、数乘，乘法，转置，幂等 运算 会用命令inv计算矩阵的逆 会用命令det计算行列式； 会用命令rank计算矩阵的秩； 会用命令rref把矩阵变为行最简型； 会用命令rref计算矩阵的逆 会用命令rref解方程组的解 会用命令rref找出向量组的最大无关组 会用命令null计算齐次线性方程组的基础解系 会用左除运算计算非齐次方程组的特解 会用命令orth把向量组正交规范化 会用命令eig计算矩阵的特征值和特征向量 会用命令eig把二次型标准化 会用命令eig判断二次型的正定性 1 矩阵赋值 赋值语句一般形式 变量=表达式（或数） 如：输入a=1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 显示a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 输入x=-1.2 sqrt(3) (1+2+3)/5*4 显示x=-1.2000 1.7321 4.8000 规则：矩阵元素放在方括号中，元素之间以空格或逗号分 隔，不同行以分号分隔，语句结尾用回车或逗号将显示结 果 基本赋值矩阵 ones(m,n), zero(m,n), magic(n), eye(n), rand(m,n), round(A) 如：输入 f1=ones(3, 2) 显示 f1= 1 1 1 1 1 1 输入 f2=zero(2, 3) 显示 f2= 0 0 0 0 0 0 1 矩阵赋值 输入 f3=magic(3) 显示 f3= 8 1 6 3 5 7 4 9 2 输入 f4=eye(2) 显示 f4= 1 0 0 1 2 矩阵的基本运算 矩阵算术运算书写格式与普通算术相同，包括加、减、乘 、除。可用括号规定运算的优先级。 Matlab将矩阵加、减、乘的程序编为内部函数，只要用+,- *做运算符号就包含阶数检查和执行运算的全过程 两相加矩阵有一个是标量时，Matlab承认算式有效，自动把标量 扩展为同阶等元素矩阵 如：键入 X=-1 0 1; Y=X-1 得 Y= -2 -1 0 矩阵除法 矩阵求逆 inv(A)，如果det(A)等于或很接近零，Matlab会提示出错 “左除”与“右除”，左乘或右乘矩阵的逆，A或/A 2 矩阵的基本运算 幂运算 A*A*A=A5 转置 理论学习中，A的转置表示为AT，在Matlab中用“”表示 3 行列式与方程组求解 相关命令 U=rref(A), 对矩阵A进行初等行变换，矩阵U为A的最简梯矩阵 det(A), 计算矩阵A的行列式 rank(A),计算矩阵A的秩 B(: , i)=b, 把向量b赋给矩阵B的第i行 A(i, j), 引用矩阵A中第i行j列的元素 A, eye(5), 创建510矩阵，前5列为A，后5列为单位矩阵 syms x, 定义x为符号变量 3 行列式与方程组求解 逆矩阵各种求法： clear A=-7,-2,-6,4,6;1,3,-6,3,11;3,-11,9,5,-2;-3,0,-2,9,-3;7,30,-18,11,4; % 1.命令法： An1=inv(A) % 2.幂运算法： An2=A-1 % 3.右除法： An3=eye(5)/A % eye(5)为5阶单位矩阵 % 4.左除法： An4=Aeye(5) % 5.初等行变换法： B=rref(A,eye(5); % 对矩阵A , I 进行初等行变换 % B为矩阵A的最简行阶梯矩阵 if(rank(B(:,1:5)=5) % 判断最简行阶梯矩阵B的前5列是否为单位阵 An5=B(:,6:10) % 取出矩阵的后5列，并显示 else disp(A不可逆); end 思考：如何用求逆阵或初等变换法解方程组？ 3 行列式与方程组求解 % 求解符号行列式方程 clear % 清除各种变量 syms x % 定义x为符号变量 A=3,2,1,1;3,2,2-x2,1;5,1,3,2;7-x2,1,3,2 D=det(A) % 计算含符号变量矩阵A的行列式D f=factor(D) % 对行列式D进行因式分解 % 从因式分解的结果，可以看出方程的解 X=solve(D) % 求方程“D0”的解 解方程： 4 向量组的线性相关性及方程组的通解 相关命令 R, s=rref(A), 把矩阵A的最简梯矩阵赋值给R；s是一个行向量，它的元 素由R的首非零元所在列号构成 null(A, r), 齐次线性方程组Ax=0的基础解系 x0=Ab, 非齐次线性方程组Ax=b的一个特解x0 length(s), 计算s向量的维数 end, 矩阵的最大下标，最后一行或最后一列 find(s), 向量s中非零元素的下标 sub(A, k, n), 将A中所有符号变量k用数值n代替 4 向量组的线性相关性及方程组的通解 求非齐次线性方程组的通解 4 向量组的线性相关性及方程组的通解 % 求齐次线性方程组的通解 clear A=2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19; % 输入系数矩阵A b=-2;7;-23;43; % 输入常数列向量b R,s=rref(A,b); % 把增广矩阵的最简行阶梯矩阵赋给R % 而R的所有基准元素在矩阵中的列号构成了行向量s m,n=size(A); % 矩阵A的行数、列数赋给了变量m、n x0=zeros(n,1); % 将特解x0初始化为N维零向量 r=length(s); % 矩阵A的秩赋给变量r x0(s,:)=R(1:r,end); % 将矩阵R的最后一列按基准元素的位置给特解x0赋值 disp(非齐次线性方程组的特解为：) x0 % 显示特解x0 disp(对应齐次线性方程组的基础解系为：) x=null(A,r) % 得到齐次线性方程组Ax0的基础解系x 4 向量组的线性相关性及方程组的通解 当k取何值时方程组有非零解？在有非零解的情况下，求 出其基础解系 已知齐次线性方程组： 4 向量组的线性相关性及方程组的通解 clear syms k % 定义符号变量k A=1-2*k,3,3,3;3,2-k,3,3;3,3,2-k,3;3,3,3,11-k; % 给系数矩阵赋值 D=det(A); % 算出系数矩阵的行列式D kk=solve(D); % 解方程“D0”，得到解kk，即k值 for i=1:4 AA=subs(A,k,kk(i); % 分别把k值代入系数矩阵A中 fprintf(当k=); disp(kk(i); % 显示k的取值 fprintf(基础解系为：n); disp(null(AA) % 计算齐次线性方程组“Ax=0”的基础解系 end 平板稳态温度的计算 整理为 化学方程的配平 确定x1,x2,x3,x4，使两边原子数相等称为配平，方程 为 写成矩阵方程 电阻电路的计算 设定三个回 路电流 ia,ib,ic，回 路压降的方 程为： 信号流图模型 信号流图是用来表示和分析复杂系统内的信号变 换关系的工具。右图方程如下。 写成矩阵方程 或x=QxPu 移项整理，可以得到求信号向量x的公式。 ux1G1x2 G2 信号流图的矩阵解法 ( I Q ) x= Pu， x = inv( I Q )*Pu 定义系统的传递函数W为输出信号与输入信号之 比x/u，则W可按下式求得： W=x/u = inv( I Q )*P 因为 得到 复杂点的信号流图 按右面的信号流图， 照上述方法列出它的 方程如下： x1 = -G4x3 + u x2 = G1x1-G5x4 x3 = G2x2 x4 = G3x3 信号流图的矩阵方程 列出的矩阵方程为： 矩阵中的参数是符号而不是数，MATLAB的许多函 数(特别是求逆)都可以处理符号，带来了极大的方 便。只要在程序第一行注明哪些是符号变量： syms G1 G2 用符号运算工具箱求解 矩阵代数方法的最大好处是可用于任意高的阶次 的信号流图，实现传递函数推导的自动化 如下题的MATLAB程序ag863 syms G1 G2 G3 G4 G5 Q=0,0,G4,0;G1,0,0,G5;0,G2,0,0;0,0,G3,0, P=1;0;0;0 W=inv(eye(4)Q)*P pretty(W(4) 运行结果为 5 特征向量与二次型 orth(A), 求出矩阵A的列向量组构成空间的一个正交规范基 P=poly(A), 计算A的特征多项式，P是行向量，元素为多项 式系数 roots(P), 求多项式P的零点 r=eig(A), r为列向量，元素为A的特征值 V, D=eig(A), 矩阵D为A的特征值所构成的对角阵，V的列 向量为A的特征向量，与D中特征值一一对应 V, D=schur(A), 矩阵D为对称阵A的特征值所构成的对角 阵，V的列为A的单位特征向量，与D中特征值一一对应 5 特征向量与二次型 已知矩阵 求其特征值。 A=2,-2,-20,-19;-2,16,-9,11;-8,4,-6,1;0,-8,-4,-7; % 1.符号变量法 syms k % 定义符号变量k B=A-k*eye(length(A); % 构造矩阵B=(A-kI） D=det(B); % 计算行列式：|A-kI| lamda1=solve(D) % 求|A-kI|=0的符号形式的解 % 2.特征多项式法 P=poly(A); % 计算矩阵A的特征多项式， 向量P的元素为该多项式的系数 lamda2=roots(P) % 求该多项式的零点，即特征值 % 3.命令法 lamda3=eig(A) % 直接求出矩阵A的特征值 5 特征向量与二次型 求矩阵的特征值和特征向量，判断是否可对角化，如可以 则找出可逆矩阵V，使V-1AV=D A=1,2,3;2,1,3;1,1,2; V,D=eig(A) 5 特征向量与二次型 用正交变换法将二次型 化为标准型 clear A=1,0,0;0,2,2;0,2,2; % 输入二次型的矩阵A V,D=eig(A); % 其中矩阵V即为所求正交矩阵 % 矩阵D为矩阵A的特征值构成的对角阵 % 或：V,D=schur(A) % 结果和eig( ) 函数相同 disp(正交矩阵为：); V disp(对角矩阵为：); D disp(标准化的二次型为：); syms y1 y2 y3 f=y1,y2,y3*D*y1;y2;y3 平面上线性变换的几何意义 例9.1 设x为二维平面上第一象限中的一个单位方块，其四 个顶点的数据可写成 把不同的A矩阵作用于此组数据，可以得到多种多样的结果 yi=Ai*x。用程序ag911进行变换计算，并画出x及yi图形： x0,1,1,0;0,0,1,1; subplot(2,3,1), fill(x(1,:),0,x(2,:),0,r) A11,0;0,1, y1A1*x subplot(2,3,2), fill(y1(1,:),0,y1(2,:),0,g) 几种变换的行列式与特征值 二维矩阵特征值的几何意义 二维矩阵的特征值表示该变换在原图形的特征向 量的方向上的放大量。例如矩阵A1在第一特征向 量 方向的特征值为，即横轴 正方向的增益为1，其结果是把原图中横轴正方 向的部分变换到新图的负方向去了； A1在第二特 征向量 的方向的特征值为1(2)=1， 即纵轴正方向的增益为1，因而保持了新图和原图 在纵轴方向尺度不变。 用eigshow函数看特征值 对于比较复杂的情况，完全凭简单的几何关系去想 像是困难的，应当用eigshow函数，联系x和Ax的向 量图来思考。 键入eigshow(A4) 。绿色的x表示原坐标系中的单位 向量，可以用鼠标左键点住x并拖动它围绕原点转 动。图中同时出现以蓝色表示的Ax向量，它表示变 换后的新向量。当两个向量处在同一条直线上时（ 包括同向和反向），表示两者相位相同，只存在一 个（可正可负的）实数乘子， Axx Eigshow(A4)产生的图形 eigshow(1,2; 2,2)的图形 将eigshow(1,2; 2,2)粘贴到命令窗 A是对称实矩阵的情况 特别要注意A是对称实矩阵的情况，所谓对称矩阵是满足 ATA的矩阵。，对22矩阵，只要求A(1,2) A(2,1)。例如 令A =1,2;2,2 再键入eigshow(A)，这时的特点是：Axx 出现在Ax椭圆轨迹的主轴上，所以两个特征值分别对应于 单位圆映射的椭圆轨迹的长轴和短轴。此时A的特征值为 - 0.5616和 3.5616，可以和图形对照起来看。 人口迁徙模型 设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分 布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年 有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区 居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市 区，70%的居民住在郊区，问10年后市区和郊区 的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？ 这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用 市区和郊区两个分量表示，一年以后，市区人口 为xc1 (10.06) xc00.02xs0，郊区人口xs1 0.06xc0 (10.02)xs0， 问题的矩阵描述 用矩阵乘法来描述，可写成： 从初始到k年，此关系保持不变，因此上述算式可扩 展为， 故可用程序ag981n进行计算： A0.94,0.02;0.06,0.98, x00.3;0.7 x1A*x0, x10A10*x0, x30A30*x0, x50A50*x0 得到： 本题特征值和特征向量的意义 无限增加时间k，市区和郊区人口之比将趋向一组 常数0.25/0.75。为了弄清为什么这个过程趋向于 一个稳态值，我们改变一下坐标系统。在这个坐 标系统中可以更清楚地看到乘以矩阵A的效果， 先求A的特征值和特征向量，得到 令它是特征向量的整数化，得 到 6 直线和平面的快速绘制程序 平面曲线的快速绘制程序 ezplot( ,a,b) 引号中函数可以只有一个自变量，代表显函数 ezplot(f(x), a,b) 系统将在 a x b的范围内画出 f = f(x) 引号中的函数若有两个自变量，那就代表隐函 数，其典型格式为 ezplot(f(x,y), a,b) 系统将在 a