高中数学 （学习目标+合作探究+反思感悟）32 一元二次不等式学案（pdf） 苏教版必修5.pdf

不等式第$章 # )! 学!习 札记! $ !#一 一元元二二次次不不等等式式 学习目标 !“!了解一元二次不等式# 一元二次方程# 二次函数( ! 三 个二次“ 之间的关系! #!学会将分式不等式# 一元高次不等式转化为二次不等 式来解, 注重含参不等式的求解, 注意二次项的系数是否会 为零! $!掌握二次不等式在求函数的定义域# 值域和最值中的 应用, 掌握不等式的恒成立问题( 方程有解及不等式有解等 问题的解决 “ “ “ “ “ “ ! 第一课时!一元二次不等式的解法 情境创设 某种产品的总成本(* 万元+ 与产量.* 台+ 之间的关系 (&$* * *3# *.-*! “. #( 其中.4* *(# 1 *+ (.4*5( 若每台售 价# &万元( 试求生产者不亏本时的最低产量.! 你能建立这个经济问题的数学模型吗) 如何解这个模型呢) 合作探究 探究一!一元二次不等式的定义 思考! 下面哪些不等式一定是一元二次不等式) *“+ . #-$ .2(*, *#+$. #- .2(*, *$+. #*, * 1+ . #*! 探究! 由于*“+ 和*1+ 中. # 项的系数含有字母( 因为有 可能&*( 所以不一定是一元二次不等式!*#+ *$+ 是一元二 次不等式! 提 升 总 结 !“ 一元二次不等式的定义$ 只含有一个未知数# 并且未知数的最高次数是#的不等 式叫做一元二次不等式! !#“ 一元二次不等式有两种标准形式$ . #2 ) .2(*! 或:*“ 或 . #2 ) .2(*! 或*“ # 其中 /*! 探究二!二次函数“ 一元二次方程“ 一元二次不等式的 关系 图$“#“ 讨论! *“+ 函数5&.2“( 当.取什么 值时( 对应的函数值大于*) 那么不等式 .2“(*的解集是什么) 探究! 函 数5&.2“的 图 象 如 图 $“#“所示( 由图象可知当5(*时( 对应 的图 象 在.轴 上 方( 此 时 对 应 的 取 值 为.(-“! 同理可得( 不等式.2“(*的解集为1.+.(-“2! 提 升 总 结 类别 (* 一次 函 数5& .2)*/*+ 的 图象 一元一次方程 .2)&*/*+ 的根 .&-) .&-) 一元 一 次 不 等 式 .2)(* */*+ 的解集 . .(-) 12 . .-) 12 一元 一 次 不 等 式 .2)* */*+ 的解集 . .-) 12 . .(-) 12 !*#+ 类比讨论*“+ 的过程( 回答下面问题 对于二次函数5&. #-# .-$( 当.取什么值时(5&*( 5(*(5*) 对应不等式. #-# .-$(*的解集呢) 探究! 二次函数5&. #-# .-$的图象如图$“#“#所示! 图$“#“# 显然( 当.& -“或.&$时( 5&*, 当.($或.-“时( 5(*, 当-“.$时( 5*! 不等式. #-# .-$(*的解集 是使5(*的.的取值( 其解集为 1.+.($或.-“2! 提 升 总 结解 一 元 二 次 不 等式$ !“ 当所给一元二次不等式是非标准形式时# 应先化为 标准形式# 常常使二次项系数为正数# 此过程体现了, 化归- 数学思想的运用% !#“ 当(*时# 二次函数5& . #2) .2(# 一元二次方 程 . #2 ) .2(&*及一元二次不等式 . #2 ) .2(*或 . # 2) .2(*的关系 “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ $ 新新学案高中数学必修“ $ *! 学 习 札记 判 别 式1& ) #-1 ( 1(*1&*1* 二次函数5& . #2) .2( * ( *+ 的图象 （） 一 元 二 次 方 程 .#2) .2 (&*(*+ 的根 有 两 相 异 实 根.“(.#* 设 .“.#+ 有 两 相 等 的 实根.“&.# &-) # 没有实根 一 元 二 次 不 等 式 .#2 ) .2( * * ( *+ 的解集 *-l(.“+a *.#(2l+ -l(-) # *+ !a -) #( 2l *+ + . #2) .2( *(*+ 的 解集 *.“(.#+ bb !温 馨 提 示 将一元二次不等式的二次项系数化为正数 后# 只要相应方程有两个不相等的实数根# 不等式的解集可 以按口诀, 大于取两边# 小于夹中间- 记忆# 其中, 取两边- , 夹 中间- 是指, 取根的两边- , 夹根的中间-! 例!解不等式-#. #2.2“*! 分 析 可先求出对应方程的根# 再结合图象写出解集# 也 可以先把二次项系数化为正数求解! 例#!已知二次函数5& . #2) .2 (的图象与.轴交 于*“( *+ 与*$(*+ 两点( 则不等式 . #2 ) .2(*的解集是否 确定) 若确定( 求其解集, 若不确定( 请给出一个条件( 使其 解集确定! 分 析 由二次函数与一元二次不等式的关系可确定! ! 跟踪练习! 解不等式 . 1-# . $-$ . #*! 分 析 解不等式要注意同解变形# 把高次不等式& 分式不 等式因式分解!利用, 化归- 思想# 转化为一元二次不等式标 准形式# 特别是分式不等式要注意分母不为零! 提 升 总 结 将高次不等式右边化为*# 再把左边最高次 项的系数化为正数# 然后对其进行因式分解及同解变形# 化 归为简单不等式求解! 跟踪练习#!,不 等 式 *.2#+ *.-$+*的 解 集 为! ! 跟踪练 习$!,函 数5& ?*. #-$ .2#+ 的 定 义 域 为! 探究三!求解常系数不等式 讨论! 某同学在解不等式$6. #.-1“时是这样解的 在不等式两边同乘*#.-1+ ( 得$6.#.-1( 解得.( $! * 原不等式的解集为. .( 12 ( $ ! 这种解法对吗) 探究! 不对(4 #.-1的正负未定( 故不等式两边同乘 *#.-1+ ( 得到同向不等式是不对的! 正确解法! $6. #.-1“? $6. #.-1-“*? (6$. #.-1* ?*#.-1+ *$.-(+(*?.( ( $ 或.#! *原不等式的解集为. .( ( $ 或. 12 # ! 例$!解不等式 *“+#. #-$ .-#(*, *#+-. #2# .-$(*! 分 析 解不等式要注意同解变形# 把高次不等式& 分式不 等式因式分解!利用, 化归- 思想# 转化为一元二次不等式标 准形式# 特别是分式不等式要注意分母不为零 “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ ! 不等式第$章 $ ! 学!习 札记! 提 升 总 结 一元二次不等式的求解步骤$ “!通过对不等式变形# 使不等式右边为零# 左边二次项 系数大于零% #!计算出相应的一元二次方程的判别式% $!求出相应一元二次方程的根! 或判断相应的一元二次 方程有没有实根“ % 1!根据上一步画出相应二次函数的图象# 写出相应的一 元二次不等式的解集! 跟踪练习%!,若点= $6d #3d( d2“ d- *+ “ 在第二象限( 则实 数d的取值范围是! 跟踪练习“! 不等式# .-$ .-#:“的解集为! 反思感悟 “!解一元二次不等式的一种基本方法是!( 正确 运用这一方法的关键是弄清一元二次不等式# 一元二次方程 和二次函数图象三者之间的关系! #!解不等式重要的是等价转化( 尤其是含!:“ 或!“ 的 转化( 必要时!&“ 情况单独研究! $!分式不等式常用下列方法进行变形 *“+ 移项# 因式分解, *#+ 通过 讨 论 判 定 字 母 符 号 直 接 变 形 * 不 确 定 时 不 可用+! 1!不等式的解集要用!表示 “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ ! 第二课时!含参数不等式的解法 情境创设 分类讨论( 就是当问题所给的对象不能进行统一研究时( 就需要对研究对象按某个标准进行分类( 然后对每一类分别 研究得出每一类的结论( 最后综合各类结果得到整个问题的 解答!当数学问题中的条件( 结论不明确或题意中含参数或图 形不确定时( 就应分类讨论!一方面可将复杂的问题分解成若 干个简单的问题( 另一方面恰当的分类可避免丢值漏解( 从而 提高全面考虑问题的能力( 提高周密严谨的数学素养! 合作探究 探究一!解含字母参数的一元二次不等式 例!解关于.的不等式 .#-#.2“(*! 例#!若不等式组 . #-.-#(*( #. #2* &3#7+.2&7 1 * 的整数解只 有-#( 求7的取值范围! 跟踪练习! 已知关于.的不等式 .- “ .2 “*的解集是 *-l(-“+a -“ # (2l *+ ( 则&! 跟踪练习#! 若关于.的不等式 .2 .#21.2$(* 的解集 是. -$. -“或.( 12 #( 则的值为! 跟踪练习$! 设*)“3( 若关于.的不等式*.-)+ # (* .+ #的解集中的整数恰有$个( 则* !+ !e! -“*f! *“ a! “ $ g! $ 探究二!三个二次之间相互关系的综合应用 例$!设函数c*.+&d . #-d .-“! *“+ 若对于一切实数.( c*.+*恒成立( 求d的取值 范围, *#+ 对于.4/“($0 ( c*.+-d2&恒成立( 求d的取 值范围! 分 析 应用好三个二次的关系# 对于给定的函数要对二 次项系数进行讨论# 会处理有关最值问题! 跟踪练习%!, ,设函数c*.+&. #-.2* (*+! 若c* b+*( 则c*b-“+ 与*的大小关系是! “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ ! 新新学案高中数学必修“ $ “! 学 习 札记 跟踪练习“!,有两个命题# 方程. #2 .2“*有 两个负实数根( $ 不等式1. #21* -#+.2“(*的解集为 +( 求使两个命题有且只有一个成立的的取值范围! 反思感悟 “!解含参数的不等式*.-+ *.-)+(*( 应讨论与) 的大小再确定不等式的解! #!要注意体会数形结合与分类的数学思想( 分类讨论要 做到! 不重“ ! 不漏“ ! 最简“ 的三原则! $!在解决! 恒成立“ ! 方程有解“ 等 问 题 时( 要 注 重 等 价转化思想的渗透!等价转化包括! 式子“ 和! 问题“ 两 个 方面的转化 “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ ! $ !$二 二元元一一次次不不等等式式组组与与简简单单的的线线性性规规划划问问题题 学习目标 “!掌握判断不等式# .2 $ 5 2%(*所表示的平面区域 的方法! #!能画出二元一次不等式组表示的平面区域! $!对线性目标函数k&# .2 $ 5 中的$的符号一定要 注意( 当$(*时( 当直线过可行域且在5轴上截距最大时( k值最大( 在5轴上截距最小时(k值最小, 当$*时( 当直 线过可行域且在5轴上截距最大时( k值最小( 在5轴上截 距最小时( k值最大 “ “ “ “ “ “ ! 第一课时!二元一次不等式$ 组% 表示的平面区域 情境创设 情境!回顾 *“+ 一元一次方程的根对应平面直角坐 标系中.轴上的点, *#+ 一元一次不等式的解集是平面直角坐标系中.轴 上的区间, *$+ 二元一次方程的解集对应的是平面直角坐标系中的 一条直线, *1+ 二元一次不等式的图形表示的是什么呢) 情境#!数学研究的对象是数量关系和空间形式( 即 ! 数“ 与! 形“ 两个方面! 数“ 与! 形“ 两者之间并非是孤立 的( 而是有着密切的联系!在一维空间中( 实数与数轴上 的点建立了一一对应的关系!在二维空间中( 实数对与坐 标平面上的点建立了一一对应的关系( 进而可以使函数 解析式与函数图象# 方程与曲线建立起一一对应的关系( 使数量关系的研究可以转化为图形性质的研究( 反之( 也 可以使图形性质的研究转化为数量关系的研究!这种解 决数学问题过程中! 数“ 与! 形“ 相互转化的研究策略( 即 是数形结合的思想! 你能从! 形“ 的方面理解二元一次不等式* 组+ 的意义吗) 合作探究 探究一!二元一次不等式表示的平面区域 议一议! 已知直线5&.( 你能判断*#($+ 在直线的哪一 侧吗) 直线5&.上方的点*.( 5+ 的坐标满足什么条件) 探究! 如图$“$“所示( 点*#( $+ 在直线5&.上方! （）， 图$“$“ 直线5&.上方的点*.( 5+ 的 坐标满足5(.! 一般地( 直线5&7 .2)把平 面分