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电动力学简答题参考答案电动力学简答题参考答案 1 分别写出电流的连续性方程的微分形式与积分形式，并简单说明它的 物理意义。 分别写出电流的连续性方程的微分形式与积分形式，并简单说明它的 物理意义。 解答：电流的连续性方程的微分形式为 解答：电流的连续性方程的微分形式为 0J t += ? 。 其积分形式为 其积分形式为 d dd d S JSV t = ? ? 。 电流的连续性方程实际上就是电荷守恒定律的公式表示形式，它表示： 当某区域内电荷减少时，是因为有电荷从该区域表面流出的缘故；相反， 当某区域内电荷增加时，是因为有电荷通过该区域的表面流入的缘故。 电流的连续性方程实际上就是电荷守恒定律的公式表示形式，它表示： 当某区域内电荷减少时，是因为有电荷从该区域表面流出的缘故；相反， 当某区域内电荷增加时，是因为有电荷通过该区域的表面流入的缘故。 2 写出麦克斯韦方程组，并对每一个方程用一句话概括其物理意义。写出麦克斯韦方程组，并对每一个方程用一句话概括其物理意义。 解答：解答： （1） f D= ? 电荷是电场的源； 电荷是电场的源； （2） B E t = ? ? 变化的磁场产生电场； 变化的磁场产生电场； （3）0B= ? 磁场是无源场； 磁场是无源场； （4） f D HJ t =+ ? ? 传导电流以及变化的电场产生磁场。 传导电流以及变化的电场产生磁场。 3 麦克斯韦方程组中的电场与磁场是否对称？为什么？麦克斯韦方程组中的电场与磁场是否对称？为什么？ 解答：麦克斯韦方程组中的电场与磁场并不对称，因为电场是有源场，电 荷是电场的源，而磁场是无源场，不存在磁荷。 解答：麦克斯韦方程组中的电场与磁场并不对称，因为电场是有源场，电 荷是电场的源，而磁场是无源场，不存在磁荷。 4 一个空间矢量场一个空间矢量场A ? ，给出哪些条件能把它唯一确定？，给出哪些条件能把它唯一确定？ 解答：由矢量场的唯一性定理：解答：由矢量场的唯一性定理： （1）位于空间有限区域内的矢量场，当它的散度，旋度以及它在区域边界 上的场分布给定之后，该矢量场就被唯一确定； ）位于空间有限区域内的矢量场，当它的散度，旋度以及它在区域边界 上的场分布给定之后，该矢量场就被唯一确定； （2）对于无限大空间，如果矢量在无限远处减少至零，则该矢量由其散度 和旋度唯一确定。 ）对于无限大空间，如果矢量在无限远处减少至零，则该矢量由其散度 和旋度唯一确定。 5 写出极化电流与极化强度、磁化电流密度与磁化强度之间的关系式。写出极化电流与极化强度、磁化电流密度与磁化强度之间的关系式。 解答：极化电流与极化强度之间的关系式为 解答：极化电流与极化强度之间的关系式为 P P J t = ? ? ； 磁化电流密度与磁化强度之间的关系式为 磁化电流密度与磁化强度之间的关系式为 M JM= ? 。 6 简述公式简述公式 d ddd d VV w VfVS t =+ v ? ? ? 的物理意义。的物理意义。 解答：解答： d d d V w V t 表示单位时间区域表示单位时间区域V内电磁场能量的减少，内电磁场能量的减少，d V fV v ? ? 表 示单位时间电磁场对该区域的电荷系统所作的功 表 示单位时间电磁场对该区域的电荷系统所作的功，dS ? ? ? 表示单位时间流 出该区域的能量。所以，此公式的物理意义为：单位时间区域 表示单位时间流 出该区域的能量。所以，此公式的物理意义为：单位时间区域V内电磁场 能量的减少，等于单位时间电磁场对该区域的电荷系统所作的功与流出该 区域的能量之和。它实际上就是区域 内电磁场 能量的减少，等于单位时间电磁场对该区域的电荷系统所作的功与流出该 区域的能量之和。它实际上就是区域V内电磁场能量守恒的表达式。内电磁场能量守恒的表达式。 7 简述介质中静电场的唯一性定理。简述介质中静电场的唯一性定理。 解答：介质中静电场的唯一性定理为解答：介质中静电场的唯一性定理为 设区域设区域V内给定自由电荷分布内给定自由电荷分布( )x ? ，在，在V的边界的边界S上给定上给定 （1）电势值）电势值 S ；或者（；或者（2）电势的法线方向导数）电势的法线方向导数 S n 的值的值 则区域则区域V内电场唯一确定。内电场唯一确定。 8 写出无界空间、上半空间以及球外空间在第一类边值条件下的格林函 数。 写出无界空间、上半空间以及球外空间在第一类边值条件下的格林函 数。 解答：在第一类边值条件下的格林函数解答：在第一类边值条件下的格林函数 （1） 无界空间为：） 无界空间为： 222 0 1 ( , ) 4()()() G x x xxyyzz = + ? ? ； （2） 上半空间为：） 上半空间为： 222222 0 111 ( , ) 4 ()()()()()() G x x xxyyzzxxyyzz = + ? ? （3） 球外空间为：） 球外空间为： 0 2222 0 11/ ( , ) 4 2cos2cos RR G x x RRRRRbR b = + ? ? ， 2 0 R b R =。 9 写出电偶极矩和电四极矩的定义式。写出电偶极矩和电四极矩的定义式。 解答：电偶极矩的定义式为：解答：电偶极矩的定义式为： ii i p q x = ? 。 电四极矩的定义式为：电四极矩的定义式为：3 iii i Dq x x = ? ? ? ? 或 或 3() iiiii i Dqx xxx E = ? ? ? ? 。 10 设体系的电荷密度分布为设体系的电荷密度分布为( )x ? ，则该体系在外场，则该体系在外场 e 中的能量是多 少？ 中的能量是多 少？ 解答：电荷密度分布为解答：电荷密度分布为( )x ? 的体系在外场的体系在外场 e 中的能量为：中的能量为： d e WV = 积分区域为电荷体系积分区域为电荷体系( )x ? 的分布区域。的分布区域。 11 写出麦克斯韦方程组的积分形式，并写出其对应的在介质分界面上 的表达形式（即边值关系） 。 写出麦克斯韦方程组的积分形式，并写出其对应的在介质分界面上 的表达形式（即边值关系） 。 解答：麦克斯韦方程组的积分形式为解答：麦克斯韦方程组的积分形式为 （1）d f S DSQ= ? ? ； ； （2） d dd d LS ElBS t = ? ? ； （3）d0 S BS= ? ? ； （4） d dd d f LS HlIDS t =+ ? ? 。 其对应的在介质分界面上的表达形式（即边值关系）为其对应的在介质分界面上的表达形式（即边值关系）为 （1） 21 () nf eDD= ? ? ； （2） 21 ()0 n eEE= ? ? ； （3） 21 ()0 n eBB= ? ? ； （4） 21 () n eHH= ? ? 。 12 简述引入磁标势的基本条件，并写出磁标势所满足的泊松方程。简述引入磁标势的基本条件，并写出磁标势所满足的泊松方程。 解答：引入磁标势的基本条件为（解答：引入磁标势的基本条件为（1）所讨论的区域中没有电流分布； （）所讨论的区域中没有电流分布； （2） 所讨论的区域为单连通区域。 ） 所讨论的区域为单连通区域。 磁标势所满足的泊松方程为磁标势所满足的泊松方程为 2 0 / mm = ，其中 ，其中 0m M= ? 。 13 写出磁偶极矩的定义式以及它所产生的矢势与标势的表达式。写出磁偶极矩的定义式以及它所产生的矢势与标势的表达式。 解答：磁偶极矩的定义式为：解答：磁偶极矩的定义式为： 1 ()d 2 mxJV = ? ? 。 小电流分布在远处产生的矢势的多极展开式中，其一级近似的表达式为小电流分布在远处产生的矢势的多极展开式中，其一级近似的表达式为 (1) 0 3 4 mR A R = ? ? ? 此项常称为磁偶极矩产生的矢势。此项常称为磁偶极矩产生的矢势。 磁偶极矩产生的标势为 磁偶极矩产生的标势为 (1) 3 1 4 m m R R = ? ? 。 14 平面电磁波中，电场和磁场的能量密度各为多少？电场能与磁场能 相等吗？ 平面电磁波中，电场和磁场的能量密度各为多少？电场能与磁场能 相等吗？ 解答：平面电磁波中，电场和磁场的能量密度各为解答：平面电磁波中，电场和磁场的能量密度各为 2 1 2 E和和 2 1 2 B ，它们是 相等的，即空间电磁场能量密度为： ，它们是 相等的，即空间电磁场能量密度为： 22 1 wEB =。 15 简述全反射现象。简述全反射现象。 解答：由折射定律，解答：由折射定律， 22 2 1 1 1 sin sin n n = ，当，当 12 （即（即 12 nn）时，折射 角总是大于入射角，当入射角 ）时，折射 角总是大于入射角，当入射角 21 arcsin(/)nn=时，折射角时，折射角 o 90 = ，此时若 再继续增加入射角，将没有电磁波被折射而进入电容率为 ，此时若 再继续增加入射角，将没有电磁波被折射而进入电容率为 2 的介质中，这 种现象称为全反射现象。 的介质中，这 种现象称为全反射现象。 16 在导体内部，电荷密度随时间衰减的表达式是什么？衰减的特征时 间如何定义？特征时间的表达式是什么？ 在导体内部，电荷密度随时间衰减的表达式是什么？衰减的特征时 间如何定义？特征时间的表达式是什么？ 解答：在导体内部，电荷密度随时间衰减的表达式为解答：在导体内部，电荷密度随时间衰减的表达式为 0 ( ) t te = 衰减的特征时间定义为电荷密度衰减到原来的衰减的特征时间定义为电荷密度衰减到原来的1/e所需要的时间。 由此定义 得特征时间的表达式： 所需要的时间。 由此定义 得特征时间的表达式： = 17 什么是穿透深度？电磁波从介质垂直入射到导体时，穿透深度是多 少？良导体的条件是什么？ 什么是穿透深度？电磁波从介质垂直入射到导体时，穿透深度是多 少？良导体的条件是什么？ 解答： 当电磁波从介质入射到导体时， 波幅降至入射波幅值的解答： 当电磁波从介质入射到导体时， 波幅降至入射波幅值的1/e时的深度， 称为穿透深度。电磁波从介质垂直入射到导体时，穿透深度为 时的深度， 称为穿透深度。电磁波从介质垂直入射到导体时，穿透深度为 2 =。 良导体的条件是：良导体的条件是：1 ?。 18 简述趋肤效应。简述趋肤效应。 解答：由于穿透深度与电导率及频率的平方根成反比，对于高频电磁波， 电磁场以及和它相互作用的高频电流仅集中于表面很薄一层内，这种现象 称为趋肤效应。 解答：由于穿透深度与电导率及频率的平方根成反比，对于高频电磁波， 电磁场以及和它相互作用的高频电流仅集中于表面很薄一层内，这种现象 称为趋肤效应。 19 谐振腔内亥姆霍兹方程的本征解的表达式是什么？谐振腔内亥姆霍兹方程的本征解的表达式是什么？ 解答：谐振腔内亥姆霍兹方程的本征解的表达式是解答：谐振腔内亥姆霍兹方程的本征解的表达式是 11cos sinsin xyz EAk xk yk z= 22sin cossin xyz EAk xk yk z= 33sin sincos xyz EAk xk yk z= 其中 其中 1 x m k L =， 2 y n k L =， 3 z p k L =。 20 若电磁波在一个宽为若电磁波在一个宽为a，高为，高为b的无穷长矩形波导管中传播，其截止 角频率是多少？ 的无穷长矩形波导管中传播，其截止 角频率是多少？ 解答：当电磁波在一个宽为解答：当电磁波在一个宽为a，高为，高为b的无穷长矩形波导管中传播时，对于 给定的一组 的无穷长矩形波导管中传播时，对于 给定的一组( , )m n值，其截止角频率为值，其截止角频率为 22 , c mn mn ab =+ 21 写出电磁场矢势与标势中的库仑规范与洛仑兹规范条件。写出电磁场矢势与标势中的库仑规范与洛仑兹规范条件。 解答：电磁场矢势与标势中解答：电磁场矢势与标势中 库仑规范条件为 库仑规范条件为 0A= ? ； 洛仑兹规范条件为 洛仑兹规范条件为 A t = ? 。 22 写出在洛仑兹规范下的标势与矢势方程（即达朗贝尔方程） 。写出在洛仑兹规范下的标势与矢势方程（即达朗贝尔方程） 。 解答：在洛仑兹规范下的标势与矢势方程（即达朗贝尔方程）分别为解答：在洛仑兹规范下的标势与矢势方程（即达朗贝尔方程）分别为 2 2 2 t = 2 2 2 AAJ t = ? 23 写出真空中标势与矢势的达朗贝尔方程的推迟势解。写出真空中标势与矢势的达朗贝尔方程的推迟势解。 解答：真空中标势与矢势的达朗贝尔方程的推迟势解分别为解答：真空中标势与矢势的达朗贝尔方程的推迟势解分别为 0 , 1 ( , )d 4 r x t c x tV r = ? ? 0 , ( , )d 4 r J x t c A x tV r = ? ? ? ? 24 简述对小电流分布区域在远场区的矢势进行多极展开的基本条件。简述对小电流分布区域在远场区的矢势进行多极展开的基本条件。 解答：对小电流分布区域在远场区的矢势进行多极展开的基本条件为解答：对小电流分布区域在远场区的矢势进行多极展开的基本条件为 （1） 电流分布线度远小于辐射电磁波的波长，即） 电流分布线度远小于辐射电磁波的波长，即l?； （2） 电流分布线度远小于小电流分布区域到场点的距离，即） 电流分布线度远小于小电流分布区域到场点的距离，即lr?； （3） 辐射电磁波的波长远小于小电流分布区域到场点的距离，即） 辐射电磁波的波长远小于小电流分布区域到场点的距离，即r?。 25 写出电磁波动量密度的表达式，以及它与能流密度的关系式，独立 的静电场或静磁场存在动量吗？ 写出电磁波动量密度的表达式，以及它与能流密度的关系式，独立 的静电场或静磁场存在动量吗？ 解答：电磁波动量密度的表达式为解答：电磁波动量密度的表达式为 0 gEB= ? ? 它与能流密度的关系式为：它与能流密度的关系式为： 00 2 1 gSS c = ? ? 独立的静电场或静磁场并不存在动量，因为对于独立的静电场或静磁场来 说，它没有能量的传输，坡印亭矢量 独立的静电场或静磁场并不存在动量，因为对于独立的静电场或静磁场来 说，它没有能量的传输，坡印亭矢量0S = ? ，所以动量密度也就等于零。，所以动量密度也就等于零。 26 简述狭义相对论中的两条基本假设。简述狭义相对论中的两条基本假设。 解答：狭义相对论中的两条基本假设为解答：狭义相对论中的两条基本假设为 （1） 相对性原理：物理定律在所有的惯性系中都具有相同的表达形式， 即所有的惯性参考系都是等价的； ） 相对性原理：物理定律在所有的惯性系中都具有相同的表达形式， 即所有的惯性参考系都是等价的； （2） 光速不变原理：真空中的光速是常量，它与光源或观察者的运动无 关，即不依赖于惯性系的选择。 ） 光速不变原理：真空中的光速是常量，它与光源或观察者的运动无 关，即不依赖于惯性系的选择。 27 坐标系以速度坐标系以速度v相对相对坐标系沿坐标系沿x轴正向运动，写出从轴正向运动，写出从系到系到 系 的洛仑兹变换公式。 系 的洛仑兹变换公式。 解答：洛仑兹变换公式为解答：洛仑兹变换公式为 ()xxt = v，y y =，zz= 2 ttx c = v 28 坐标系以速度坐标系以速度v相对相对坐标系沿坐标系沿x轴正向运动，在轴正向运动，在系中两事件的 时间与空间间隔分别为 系中两事件的 时间与空间间隔分别为t 和和x ， 在， 在 系中两事件的时间与空间间隔分别是 多少？ 系中两事件的时间与空间间隔分别是 多少？