期末复习题工程力学B7(剪力图弯矩图是正确的).pdf

工程力学工程力学B工程力学工程力学B 选选研究对象研究对象， 画画分离体分离体的受力图的受力图 0 0 x y F F (平面一般力系平面一般力系) 画画分离体分离体的受力图的受力图 ( )0 y O MF 练习题练习题1 画出下列各构件的受力图画出下列各构件的受力图 P FB B A B A C FA P B FB C FCx FCy 3 Cy 选选研究对象研究对象， 画画分离体分离体的受力图的受力图 0 0 x y F F (平面一般力系平面一般力系) 画画分离体分离体的受力图的受力图 ( )0 y O MF F 例例1 已知已知 F，M，AB = BC = a，F作用作用 解解：先选：先选BC杆杆，再再选选取取整整体求解体求解 0 60 AB M C 例例1 已知已知 F，M ，AB BC a，F作用作用 在在BC杆的中点，求杆的中点，求 A、C 的约束力的约束力 解解杆杆再取体求解再取体求解 1、研究BC杆，画受力图、研究BC杆，画受力图 F F By F 0M02/60sin 0 aFaF M F C 0 60 a C F F By B 2、研究整体，画受力图、研究整体，画受力图 0 B M02/60sinaFaF C 0F 0a Bx F 0 x F 0 y F 060cos 0 FF Ax 060sin 0 CAy FFF F FF C 4 3 Ay F F M C F 02/360sin2 0 AC MMFaF 0 A M y FF F F Ax 3 2 Ay A AB B F M C 0 60 a a C F A F A M MFaM FF A Ay 4 3 4 Ax F A M 先分析附属部分，再分析基本部分方便。先分析附属部分，再分析基本部分方便。 4 四个方程四个未知数四个方程四个未知数 四、平面一般力系的平衡问题求解四、平面一般力系的平衡问题求解 a)选取研究对象；)取研究对象； b)受力分析：画受力图； c)列平衡方程求解 注：注： a)矩心应选取有较多的未知量的交点处；a)矩心应选取有较多的未知量的交点处； b)使坐标轴选取沿较多的未知量平行或垂直的方向； c)不用的方程可以不列出，一个研究对象独立的平衡方程的个数只有三个。c)不用的方程可以不列出，个研究对象独立的平衡方程的个数只有三个。 五、平面平行力系：五、平面平行力系：各力的作用线位于同一平面且相互平行的力系； 不用列，只有两个平衡方程此情况下，在三个方程中 0 X 练练下图梁受力和尺寸已知下图梁受力和尺寸已知分布载荷为分布载荷为集中力偶集中力偶练练1下图梁受力和尺寸已知下图梁受力和尺寸已知，分布载荷为分布载荷为q,集中力偶集中力偶M=qa， 长度为 ， 长度为a。求：。求：A、B、C三处的反力。三处的反力。 M q M q aaaa A C D B FDy FDx F aaaaFDy FB F B FC FA 解：解：1）分析）分析BD，画受力图，列方程为，画受力图，列方程为 0 2 2, 0 a qaMaFM BD 4 3qa FB 2 2）再分析整体，画受力图，列方程为）再分析整体，画受力图，列方程为 2F 0224, 0 aaqMaFaFM BCA 3qa 2 C Fqa 02, 0 aqFFFF CBAy 3 4 A qa F 练练2 图示多跨梁图示多跨梁ACB 已知梁的尺寸及已知梁的尺寸及 2 0a q Maq和 练练2 图示多跨梁图示多跨梁ACB,已知梁的尺寸及已知梁的尺寸及 求：求：A和和B处的反力。处的反力。 2 , 0 Maq和 q0 M MA 2a C B A M 解：取解：取BC杆杆 0, 0 CB MMF a FAx a CB 2 0 aq a M F B FAyFB 取整体取整体 M FCx 0 0, 0 020 xAx FF q FFFa 0 q a F FB FCy 0 0 0, 20 2 2 0230 yAyB FFFa qa MMMF 0 2 Ay F 2 0 q a M 0 0, 230 23 AAB q MMaMF a 3 A M 练练3已知已知求求A B C处反力处反力练练3：已知已知：q，a,求求A,B,C处反力处反力。 qa q 2 qa AB C q D qa AB aaaa D 选选研究对象研究对象， 画画分离体分离体的受力图的受力图 0 0 x y F F (平面一般力系平面一般力系) 画画分离体分离体的受力图的受力图 ( )0 y O MF (空间一般力系空间一般力系)6个独立的平衡方程个独立的平衡方程 F 1轴向拉伸轴向拉伸 内力内力 F 应力强度条件变形刚度条件应力强度条件变形刚度条件 F l 2 F l 2 N max max F A 1轴向拉伸轴向拉伸 与压缩与压缩: N F A 轴力轴力FN N F l l EA 剪力剪力FS 2剪切与剪切与 S F 挤压力挤压力F bs b F b N 2 F l E EA 2 v E 剪力剪力FS 挤压：挤压： S A 挤压力挤压力Fbsbs bs A bs 计算挤压面面积计算挤压面面积 3扭转扭转: 画扭矩画扭矩 T 图图 T max T AB Tl max T 180 (冲剪冲剪 b 需要冲力需要冲力F=FS) 3扭转扭转: 画扭矩画扭矩 T 图图 p I max p W p AB AB GI max p GI 4弯曲弯曲: 画剪力画剪力FS图图My max M 挠度挠度w ( )EIwM x 边界条件和边界条件和 画弯矩画弯矩 M 图图z I max z W 转角转角 连续条件连续条件叠加法叠加法 平面应力状态平面应力状态 斜截面斜截面主应力主应力 13 广义胡克定律广义胡克定律 平行移轴公式平行移轴公式 平面应力状态平面应力状态 分析：分析： 斜截面斜截面 (解析法解析法) 主应力主应力 主平面主平面 (画出画出) 13 max 2 广义胡克定律广义胡克定律 经典强度理论经典强度理论(4个个) 组合变形构组合变形构 (1)外力分析外力分析 组合变形构组合变形构 件的强度： 拉 件的强度： 拉(压压)与弯曲： 偏心拉压： 与弯曲： 偏心拉压： (单向应力状态单向应力状态)(2)内力分析内力分析 (3)应力分析应力分析 max 危险截面及其内力值危险截面及其内力值 ( ) (4)强度分析 弯曲和扭转： 强度分析 弯曲和扭转： (复杂应力状态复杂应力状态) r 强度理论相当应力 画出危险点的应力状态单元体 强度理论相当应力 画出危险点的应力状态单元体 i l A s cr=s =ab 临界应力总图临界应力总图临界应力总图临界应力总图 i p B s 2 E cra b 粗短杆粗短杆 中长杆中长杆 2 cr 中长杆中长杆 细长杆细长杆 O 弹性失稳弹性失稳 弹塑弹塑 ps 弹性失稳弹性失稳 弹塑弹塑 性失稳性失稳 稳定性问题稳定性问题强度问题强度问题稳定性问题稳定性问题强度问题强度问题 F crcr FA 实际压杆稳定实际压杆稳定 st cr n F F 例例1、图示机构，、图示机构，AB、BC均为圆截面杆，且二者材料相同，均为圆截面杆，且二者材料相同，BC直径是直径是AB的的2 倍倍, AC水平，水平，AB 铅垂，为铅垂，为,方向方向 水平水平试设计圆杆直径试设计圆杆直径 kNPMPaMPa TC 120,160 ,40 ,45 B P B P 水平水平。试设计圆杆直径试设计圆杆直径。 解：1、研究销钉B，受力分析，列方程得： 0sin0 BC XSP C P C P 0cos0 ABBC YSS 解得：2170() sin BC P SPkN 拉 AB SAB A C A C sin 120 AB SPkN （压） 2、求应力： AB S P AB P P 求应力 BC杆： AB杆 3 t 22 4170 10 3.7 (2 ) BCBC BC NS dcm Add 3 4480 10 3 1 ABAB NS dcm BC S B B AB杆： c 22 3.1 ABAB AB dcm Add 所以圆杆直径满足：cmd7 . 3 练习练习1 图示结构图示结构 AB杆杆 钢钢 MPA1406 2 练习练习1 图示结构图示结构 AB杆杆 钢钢 BC杆 木杆 木 MPacmA MPacmA c t 5 . 3300 1406 2 2 2 1 求：求：P 解：解：1）研究B节点 1）研究B节点 A B 3m 拉PSN ABAB 4 3 压PSN BCBC 4 5 2）按按ABAB杆强度分析杆强度分析 4m 2）按按ABAB杆强度分析杆强度分析 kN84 4 3 1 APN tAB钢 P 4 kNP112 3 3）按按BCBC杆强度分析杆强度分析 C B SAB 3 3）按按BCBC杆强度分析杆强度分析 kN105 4 5 2 APN cBC木 kNP84 P SBC 4 P = 84 kNP = 84 kN 例题4例题4 已知已知: MA= 7024 Nm MB MA MC A MB= 2810 Nm M = 4214 Nm 200 12 A CB MC 4214 N m G = 80 GPa, = 70 MPa, / 400200 = 1 /m 求：求：AB 和和 BC 段直径段直径 T 图图 （N m） 解解1 内力分析内力分析 7024 4214 （Nm） 解解：1. 内力分析内力分析 T1 =MA = 7024 Nm 7024 T2=MC = 4214 Nm 作作扭扭矩图矩图 16 作矩图作矩图 2. 计算各段直径计算各段直径 段段 11 16TT AB段段：由扭转强度条件由扭转强度条件 3 1 1 p 1 1max dW 得得 mm80 1070 70241616 3 6 3 1 1 T d 1070 由刚度条件由刚度条件 180 1 T 由刚度条件由刚度条件 32 4 1 1 1 d G 得得 32 mm684 18070243218032 4 4 1 T d 得得 取取 mm6 .84 11080 4 29 4 2 1 G d 17 取取d1= 84.6 mm BC段：段：由扭转强度条件由扭转强度条件 3 22 2max 16 d T W T 得得 3 2p dW 67 42141616 2 T d 得得 mm67 1070 3 6 3 2 2 d 180T 由刚度条件由刚度条件 180 4 2 2 2 d G T 32 G 18042143218032T 得得 mm5 .74 11080 18042143218032 4 29 4 2 1 2 G T d 取取d2=74.5mm 18 取取d274.5 mm 例题2例题2 M1M2M3 图示钢制实心圆截面轴， 已知 图示钢制实心圆截面轴， 已知: M1= 1592 Nm， M955 NM637 NM2= 955 Nm，M3= 637 Nm lAB=300mm，lAC=500mm, d=70mm, 钢的切变模量钢的切变模量 G = 80 GPa BAC lABlAC钢的切变模量钢的切变模量 G 80 GPa 求：横截面求：横截面C相对于相对于B的扭转角的扭转角CB 和和max 955 lABlAC 解：解：1. 内力分析内力分析 各段轴的横截面上的扭矩各段轴的横截面上的扭矩 T图图 637 各段轴的横截面上的扭矩各段轴的横截面上的扭矩 AB段：段：T1 = 955 Nm, BC段段：T =637 Nm 图图 （Nm） 2 各段轴的两个端面间的相对扭转角各段轴的两个端面间的相对扭转角 BC段段：T2=637 Nm 作扭矩图作扭矩图 19 2. 各段轴的两个端面间的相对扭转角各段轴的两个端面间的相对扭转角 M1 M2M3 图示钢制实心圆截面轴， 已知 图示钢制实心圆截面轴， 已知: M1= 1592 Nm， ABCA M2= 955 Nm，M3= 637 Nm lAB=300mm，lAC=500mm, d=70mm, 955 BAC lABlAC d 70mm, 钢的切变模量钢的切变模量 G = 80 GPa 求：横截面求：横截面C相对于相对于B的扭转角的扭转角CB 2. 各段轴的两个端面间的各段轴的两个端面间的 相对扭转角相对扭转角 955 T图图 和和max 相对扭转角相对扭转角 Tl T l 横截面横截面C相对于相对于B的扭转角：的扭转角： CBABCA 637 T图图 （Nm） 1 p AB AB Tl GI 955N m 0 3m 2 p AC CA T l GI 637N0 5 CBABCA 637 33 1.52 10 rad1.69 10rad 3 0.17 10 rad 4 9 955N m 0.3m 80 10 Pa0.070m 32 4 9 637N m 0.5m 80 10 Pa0.070m 32 （转向与扭转力偶（转向与扭转力偶M3相同）相同） 20 3 1.52 10 rad 3 1.69 10 rad 3 max 1.69 10 rad CA 剪力剪力弯矩图简易作法总结弯矩图简易作法总结右右左左剪力剪力、弯矩图简易作法总结弯矩图简易作法总结 1 梁段上无均布载荷梁段上无均布载荷（q =0）Q图图 平直线平直线 右右左左 1 梁段上无均布载荷梁段上无均布载荷（q 0）Q图图 平直线平直线 M图 斜直线图 斜直线 Q 0 Q 0 Q 0 剪力剪力弯矩图简易作法总结弯矩图简易作法总结右右左左剪力剪力、弯矩图简易作法总结弯矩图简易作法总结 3 梁段上集中力作用处梁段上集中力作用处 Q图图 突变突变，突变量等于该集中力的大小突变量等于该集中力的大小 右右左左 3 梁段上集中力作用处梁段上集中力作用处 Q图图 突变突变，突变量等于该集中力的大小突变量等于该集中力的大小 M图 斜率突变，折角图 斜率突变，折角 PQ图 向下突变图 向下突变 4 梁段上集中力偶作用处梁段上集中力偶作用处Q图图 无变化无变化梁段上集中力偶作用处梁段上集中力偶作用处Q图图 无变化无变化 M图 突变，突变量等于该集中力偶图 突变，突变量等于该集中力偶 的大的大的的大大小小 m M图 向下突变图 向下突变 剪力剪力弯矩图简易作法总结弯矩图简易作法总结右右左左剪力剪力、弯矩图简易作法总结弯矩图简易作法总结 5 梁端的支座处若无集中力偶梁端的支座处若无集中力偶 Q 等于支反力等于支反力 右右左左 5 梁端的支座处若无集中力偶梁端的支座处若无集中力偶 Q 等于支反力等于支反力 M 等于零等于零M 等于零等于零 6 特殊截面内力值的确定特殊截面内力值的确定梁段上梁段上 两截面两截面Q之差，等于两截面间之差，等于两截面间均布载荷图均布载荷图的面积的面积 两截面两截面之差之差等于两截面间等于两截面间剪力图剪力图的面积的面积两截面两截面M之差之差，等于两截面间等于两截面间剪力图剪力图的面积的面积 亦可用简便方法计算各特殊截面的内力值亦可用简便方法计算各特殊截面的内力值。亦可用简便方法计算各特殊截面的内力值亦可用简便方法计算各特殊截面的内力值。 例例1 绘制下列图示梁的剪力绘制下列图示梁的剪力弯矩图弯矩图例例1 绘制下列图示梁的剪力绘制下列图示梁的剪力、弯矩图弯矩图。 q2 qa p 2 mqa aa qa R Rqa a 2 B q R A Rqa qa 2 qa 剪力剪力Q 2 2 2 2 qa 弯矩弯矩M 2 2 qa 练练1 绘制下列图示梁的剪力绘制下列图示梁的剪力弯矩图弯矩图 q qa 4 32 2qa qa q qa 4 32 2qa qa 练练1 绘制下列图示梁的剪力绘制下列图示梁的剪力、弯矩图弯矩图。 a 4 aa qa 11 A B a 4 aa qa 11 A B qa 4 qa 4 3 qa qa 4 3 qa 4 7 剪力剪力Q 4 2 4 5 qa 2 3 4 2 1 弯矩弯矩M 2 4 qa 2 2 qa 练练2 绘制下列图示梁的剪力绘制下列图示梁的剪力弯矩图弯矩图练练2 绘制下列图示梁的剪力绘制下列图示梁的剪力、弯矩图弯矩图。 q 2 qa qa q 2 qa qa a qa aa qa 7 A B qa 6 5 a qa aa qa 7 A B qa 6 5 qa 6 q 6 qa 6 q 6 qa 6 5 6 qa 6 1 7 剪力剪力Q 6 qa 6 2 7 2 6 1 qa 2 72 25 qa2 3 1 qa 2 6 7 qa 弯矩弯矩M 6 练练3 绘制下列图示梁的剪力绘制下列图示梁的剪力弯矩图弯矩图练练3 绘制下列图示梁的剪力绘制下列图示梁的剪力、弯矩图弯矩图。 q qa 12 qa qa a qa 4 q aa 9 A B qa 4 9 qa 剪力剪力Q qa 4 1 qa 5 qa 4 2 4 3 qa 弯矩弯矩M 4 q 2 4 1 qa 2 2 1 qa ,QM练练4作下图所示梁的剪力图和弯矩图作下图所示梁的剪力图和弯矩图，标明端值并求出标明端值并求出 maxmax ,QM练练4作下图所示梁的剪力图和弯矩图作下图所示梁的剪力图和弯矩图，标明端值并求出标明端值并求出 3kN q=10kN/m 3.6kNm CB 0.60.61.2 10kN 5kN C A B D kNm kNmkNm kNm kNmkNm mkNM kNQ 4 . 2 ;7 max max max 应力状态应力状态应力状态应力状态 2sin2cos 22 x yxyx 22i yx 一、斜截面上应力：一、斜截面上应力： 2cos2sin 2 x yx 22max ) 2 ( 2 x yxyx 二、最大或最小正应力及方位：二、最大或最小正应力及方位： min 22 0 2 x xy tg 方位： 得 方位： 得 0 ， 00 90 和和 三三最大切应力值是最大切应力值是 2 y max 靠近切应力箭头指向的，对应靠近切应力箭头指向的，对应 负 13 max 2 三三、最大切应力值是最大切应力值是： 四、正向规定：四、正向规定： 逆为正顺为负 顺为正，逆为负； 拉为正，压为负； )( 逆为正，顺为负；)(x 例例1 单元体的应力状态如图示，求：指定截面单元体的应力状态如图示，求：指定截面ab上的应力。上的应力。 50MPa x 100MPa y 解：解：1） MP30 150 30 x MPa30 x 150 2） 2sin2cos 22 x yxyx 22 38.5MPa 2cos2sin 2 x yx 50MPa 例例2 平面应力状态如图，求主应力、主方向、最大切应力。平面应力状态如图，求主应力、主方向、最大切应力。 504060解解1） 0 40 50 40 60 xy x 解解： ：1） 2）求主应力求主应力50 60 80 2 2）求主应力求主应力 7 .60 7 .80 22 2 2 min max x yxyx MPa（应力单位）（应力单位） 7 .60 0 7 . 80 321 321 3）求主方向）求主方向 0 tg21 x xy 5 .22 0 1 3 2 0 1 ）求最大切应力求最大切应力 4）求最大切应力求最大切应力 MPa（应力单位）（应力单位） 7 .70 2 31 max 练练1 、已知应力状态，应力单、已知应力状态，应力单位位MPa。位位 求：求：1）如图指定截面的应力；）如图指定截面的应力； 2）主应力，画出主应力位置、主方向；）主应力，画出主应力位置、主方向； 3）最大切应力。）最大切应力。 20403013 20;40;30;135 xyx MPaMPaMPa cos2sin2 =60MPa 22 xyxy x 解： 1、 40 sin2cos210 2 xy x MPa max22 61.6MPa () xyxy 2 45 20 30 max22 min () -1.6MPa22 xyxy x MPaMPa61; 0;661 321 2、 3 MPaMPa6 . 1; 0;6 .61 321 00 2 2335.8 x tg x 0 x 0 xy MPa6 .31 2 6 . 16 .61 2 31 max 3、 1 22 组合变形组合变形组合变形组合变形 当危险点为单向应力状态时可采用轴向拉压时的强度条件 一、强度条件：一、强度条件： 当危险点为单向应力状态时，可采用轴向拉压时的强度条件； r 当危险点为二向或三向应力状态时，则应采用适宜的强度理论； 二、拉（压）弯组合、偏心拉压：二、拉（压）弯组合、偏心拉压： MyN 弯拉 Z IA 弯拉 三、弯扭组合变形：弯扭组合变形： 22 3 W TM r 22 75. 0 22 4 W TM r （找到危险截面的找到危险截面的M T代入即可求得代入即可求得）（找到危险截面的找到危险截面的M,T，代入即可求得代入即可求得） 组合变形强度分析基本步骤组合变形强度分析基本步骤 1 外力分析：外力分析：确定何种变形确定何种变形 组合变形强度分析基本步骤组合变形强度分析基本步骤 2 内力分析：内力分析：确定确定危险截面危险截面 各外力对应的内力图各外力对应的内力图 3 应力分析应力分析：确定确定危险点危险点3 应力分析应力分析：确定确定危险点危险点 危险点应力状态图危险点应力状态图 4 强度计算：强度计算：危险点强度校核危险点强度校核 单向应力状态单向应力状态强度条件强度条件 （简单代数叠加简单代数叠加）单向应力状态单向应力状态强度条件强度条件 复杂应力状态复杂应力状态强度理论强度理论 （简单代数叠加简单代数叠加） （计算主应力，相当应力）（计算主应力，相当应力） 例例图示机构图示机构已知已知的直径为的直径为 y 例例1 图示机构图示机构，已知已知AB的直径为的直径为d， 长为 ， 长为 l，m作用在中间作用在中间C截面，矩值截面，矩值 y x q 已知，均布力已知，均布力q值已知。试：值已知。试： 1）指明危险点并画出其应力状态指明危险点并画出其应力状态； m A B Cz x ）指明危险点并画出其应力状态指明危险点并画出其应力状态； 2）危险点的第三强度理论相当应力。）危险点的第三强度理论相当应力。 l A B A C B M图图 2 2 ql 2 2 ql 解：外力分析：解：外力分析：q弯曲弯曲 m扭转扭转 T图图 2 2 ABA C B 危险截面为危险截面为且且 2 内力分析：内力分析： m危险截面为危险截面为A，且且 m ql 2 max T 2 M m max T y 应力分析：应力分析： 危险点为危险截面危险点为危险截面上下边缘上下边缘a或或b点点x q a b点点 a点点 危险点为危险截面危险点为危险截面或或 点点 m A B Cz b M图图 A B A C B l M图图 2 ql2ql 强度分析强度分析 T图图 2 ql 2 ql ABA C B 2 2 2 22 32