18考研数学十年真题答案解析数一.pdf

1 2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案与解析 一、 选择题： （1） 【答案】 （B） 【详解】 2 ( )ln(2) 2fxxx=+ ， 2 2 2 4 ( )2ln(2)0 2 x fxx x =+ + ， 所以 ( )fx 在( ,) +上是单调递增的 . 又因为(0)0 f =，根据其单调性可知 ( )fx 只有一个零点 . （2） 【答案】 （A） 【详解】由 22222 2 2 11 1 x yyy f xxyxy y y = + + ， 1 (0,1)1 1 x f = 2 222 2 1 y x y x f xxy y = + + ， (0,1)0 y f = 所以 (0,1)10.gradf= +=iji （3） 【答案】 （D） 【详解】由通解表达式可知其特征根为 1 1= ，2,3 2i= 故对应的特征方程为 2 (1)(2 )(2 )(1)(4)ii+=+，即 32 440+= 所以所求微分方程为440yyyy+=， 选（D）. 【评注】对于三阶或三阶以上的常系数线性微分方程， 同样应该掌握其特征方程与对应解之间的关系 . （4） 【答案】 （B） 【详解】若 n x 单调，则由( ) f x在(,) +内单调有界知，() n f x 单调有界 因此 () n f x 收敛，应选（B）. （5） 【答案】 （C） 【分析】利用逆矩阵的定义或特征值进行讨论 . 【详解】方法一 ： 由 3 0=A得 32 ()()+=+E EAEA E A A， 32 ()()=+=+EEAEA E A A. 所以,+EA EA均可逆 . 故选（C）. 方法二 ： 由 3 0=A知， A 的任意特征值必满足 3=0 ，即0=为 A 的n重特征值，于是1=为 2 EA和+EA的n重特征值，即EA和+EA都没有零特征值 . 所以EA和+EA均可逆，故选（C）. （6） 【答案】 （B） 【分析】这是综合考查空间解析几何与线性代数的问题 . 【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，其标准方程为 22 2 22 1 yz x ac + =，故方程左端对应二次型的 正惯性指数为 1，即 A 的正特征值的个数为 1，故选（B）. （7） 【答案】 （A） 【详解】 因此选（A）. 【评注】Z本身是一维随机变量，其分布函数只有一个自变量 . （8） 【答案】 （D） 【详解】由1 XY =可知1,0P YaXba=+=，故可排除（A） （C）. 又()0,( )1E XE Y=，可否定（B） ，因为若（B）成立，则( )1E Y = ，与已知矛盾 . 故（D）正确 . 二、填空题： （9） 【答案】 1 y x = 【详解】分离变量，得 y x yx = d d 两边积分有，ln lnyxC=+ ，所以 1 C x y = ， 又(1)1y=，所以 1 y x =. （10） 【答案】 1yx=+ . 【 详 解 】 设( , )sin()ln()F x yxyyxx=+， 斜 率 1 cos()1 1 cos() x y yxy Fyx k F xxy yx + = = + ， 在(0,1)处， 1k =，所以切线方程为 1yx = ，即 1yx=+ （11） 【答案】(1,5. 【分析】若幂级数() 0 0 n n n axx = 在x a= 处收敛，则当 00 xxax时，此幂级数发散 . 【详解】由题设知，当2022x + +=，即4x 时，幂级数发散 . 可见幂级数的收敛半径为 2. 于是幂级数() 0 3 n n n ax = 当32x d d ； 3 ( , ) 01, 1 2cos0 x yxyx Iyx x y =，当n充分大时，有 n aM，因而 2222 nnn a bM b ，由 1 n n b = 收敛可知 2 1 n n b = 收敛，所以选（C） （5） 【答案】 （A） 【详解】根据过渡矩阵的定义，有 () 122331123 101 11 ,220 23 033 += 可见过渡矩阵为 101 220 033 ，所以选( ) A （6） 【答案】 （B） 【详解】利用伴随矩阵的公式，有 -1 1 2 2 1 1 1 =( 1) 2 3 = = 0A0A0A0B A B B0B0B0A0 0A B B0A B A B A0B A0 0B A0 故答案为（B） （7） 【答案】 （C） 【详解】随机变量X的概率密度为， ( )( ) 1 ( )0.30.7 2 x f xFxx =+ 1 0.3 ( )0.35 2 x x =+ ， 其中( )x 为标准正态分布的概率密度函数 . 所以( ) 1 0.3( )0.35 2 x EXxf xxxxxxx + =+ ddd ( )0xxx + = d， 13 () ( )( ) 1 22122 2 x xxuuuuu + =+= ddd 所以00.3520.7EX =+=. （8） 【答案】 （B） 【详解】根据分布函数的定义，有 ( )0011 1 01 2 1 001 2 Z FzP XYzP XYz YP YP XYz YP Y P XYz YP XYz Y P Xz YP Xz Y =+= =+= =+= 因为,X Y相互独立，所以 1 ( )0 2 Z zzz=+ FP XP X （1）当0z ， 2 ()0 xyxxyy fff = 时，取对数得 11 ln2 lnln nn ii ii Lnxx = =+ 令 1 ln2 00 n i i Ln x = = d d 得参数的最大似然估计量为 2 X = ，其中 1 1 n i i XX n = = 20 2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案与解析 一、 选择题： （1） 【答案】 （C） 【详解】 ()() ()()()() 22 lnlimln2 limlimee x x xx xx x ax bx ax b xx x xaxb + = + ()() 2 3322 2 lim1 lim eee x x x xxaxbxabx x x ax b a b xax bx ab + + + = （2） 【答案】 （B） 【详解】 1222 12 2 2 1 x z y z y z FF FF Fxx zxx x FF F x + + = = = 1 1 2 2 1 1 y z F F F zx y FF F x = = = 所以， 1212 222 yFzFyFFz zz xyz xy FFF + += . 应选（B） 【评注】此题也可两边求全微分求得 z x ， z y . （3） 【答案】 （D） 【分析】0,1x =为瑕点，插入分点 1 2 ，利用比较判别法判断两个无界函数反常积分的敛散性 . 【详解】 ()()() 222 1 11 2 121 00 2 ln1ln1ln1 mmm nnn xxx xxxII xxx =+=+ ddd 对于 1 I， 1 2 12 1 0 ln (1) lim1 m nm x n x x x + =，且对任意正整数,m n ，有 12 1 nm e，所以( 1)0f =为极小值 . 当1x 时， ( )0fx，01x ，1x ，且0A，0C ，有(0)1f，(0)0f . 因此选（A） （4） 【答案】 （B） 【分析】利用定积分比较大小的性质 . 【详解】在上，sincoscotxxx，且lnx是增函数， 30 则在上，lnsinlncoslncotxxx，且它们不恒等 . 由定积分的保号性 故应选（B）. 【评注】严格意义上应考虑反常积分的收敛性 . （5） 【答案】 （D） 【详解】由已知条件有 21 P APE=，得 111 2121 APEPP P = 故应选（D）. （6） 【答案】 （D） 【详解】由于(1,0,1,0)T是方程组=A0x的一个基础解系，故()413r= =A，()1r =A于是 =A0x 的基础解系含线性无关向量个数为3. 又(1,0,1,0)T是=A0x的解，从而 13 0+= ， 由 * |0A AA E=，得 1234 , 均为 =A0x的解 . 由于 13 +=0 ，所以 13 , 线性相关，故 234 , , 可作为 =A0x基础解系 . 故选（D） （7） 【答案】 （D） 【详解】因为 11 ( )( )xfx=F ， 22 ( )( )xfx=F ，于是 1221122112 ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )fxxfxxxxxxxx+=+=FFFFFFFF ， 从而 112122 ( )( )( )( )( )1( )fxxfxxxxx + + += FFdFF 且 1212 ( )( )( )( )0fxxfxx+FF，故 1221 ( )( )( )( )fxxfxx+FF 为概率密度 . 故应选（D）. （8） 【答案】 （B） 【详解 1】 1 max,() 2 UX YXYXY=+ 1 min,() 2 VX YXYXY=+ 2 21 () 4 UVXYXYXY =+= ()()E UVE XY=() ( )E X E Y= 31 【详解 2】因为 , , XXY U YXY = 的情形 . ( ) 2 22 1 1 11 kkx fx xx = = + 当1k 时，( ) 0fx无实根 . 当1k 时，01xk ，则( ) f x在(0, 1)k 上单调递增 ； 1xk，( ) 0fx，( ) ()lim x ff x + + = ，所以方程在( 1,)k + 内有一实根 . 综上所述 ： 当1k 时，方程只有一实根0x =； 当1k 时，方程有三个实根 . 33 【评注】 关于方程根的问题中， 若含有参数一定要讨论参数的取值.另外， 此题中还涉及广义的零点定理. （18） 【详解】 （1）设( )() ln 1f xx=+ ， 1 0,x n 显然( ) f x在 1 0, n 上满足拉格朗日中值定理， ( ) 11111 0ln 1ln1ln 1 1 ff nnnn =+=+= + ， 1 0, n 1 0, n 时， 111111 1110 1 nnn n + + = 即数列 n a 有下界 . 故数列 n a 收敛 . （19） 【详解】 用分部积分法， 111 1 0 000 ( , )( , )( , )( , ) xxxx y fx yyfx yfx yyfx yy= ddd 交换积分次序， 111111 000000 ( , )( , )( , ) xxx x xy fx yx xfx yyyxfx yx= = dddddd 再用分部积分法， 所以， 1111 0000 ( , )( , )( , )d xy D x yxfx yxyfxyfx yxyayxx= dddd d （20） 【分析】由向量组之间的线性表示定理可知 1，2，3一定线性相关，从而可求得 a. 求一个向量与另一个向量组之间的线性表示实际上就是求非齐次线性方程组的解 . 【详解】 （1）易知向量组 1，2，3线性无关，又向量组 1，2，3不能由 1，2，3线性表示，故 1 ， 2 ， 3线性相关（否则 1 ， 2 ， 3均可由 1 ， 2 ， 3线性表示）. 于是，行列式 |1 ， 2 ， 3|=0，即 34 113 1240 13a = 解之得5a =. （2）对矩阵 A=(1，2，3，1，2，3) 作初等行变换得， 故 （21）【分析】 利用特征值、 特征向量的定义以及实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交进行求解 . 【详解】 （1）由 r(A)=2 得 A 有特征值 1=0. 又 知 A 有特征值，且对应的特征向量分别为，. 令 1=0 对应的特征向量为 ，则与正交 . 于是， 即 13 13 0 0 xx xx = += 解之得方程组的基础解系为() T 0,1,0，故可取() T 1 0,1,0= ，所以 1 0= ， 2 1= ， 3 1=对应的特 征向量分别为 ：() 111 0kk ，() 222 0kk ，() 333 0kk . （2）记 123 011 ,100 011 P = () =，则 1 0 1 1 P AP =，得 1 010 00110 11 110010 22 10111 11 0 22 001 000 . 100 = = APP 35 【评注】若将 23 , 单位化，得 2 1 1 =0 2 1 ， 2 1 1 =0 2 1 . 令 123 (,) =Q ，则Q为正交矩阵，且 1 0 1 1 = T Q AQ = Q AQ . 于是 0001 1000 . 1100 = T A = QQ （22）【分析】 这是已知边缘分布与部分联合分布求联合分布、 随机变量函数分布与数字特征的问题 . 关 键是正确分解事件 22 XY= . 【详解】 （1）由 22 1P XY= 得， 0,01,11,11P XYP XYP XY=+=+= =， 于是 0,10,11,00P XYP XYP XY= = 再根据联合分布与边缘分布的关系得二维随机变量(, ) X Y的概率分布为 X Y 101 i P 00 1 3 0 1 3 1 1 3 0 1 3 2 3 j P 1 3 1 3 1 3 1 （2）ZXY=的所有可能取值为1，0，1，且分布律为 Z101 P 1 3 1 3 1 3 36 （3）因为() 2 3 E X =，( )0E Y =，()0E XY =， 故 ()() ( )(, )0X YE XYE X E Y=Cov ， 从而 X,Y 的相关系数 ()cov 0. ()( ) XY XY D XD Y = （23） 【详解】总体X的概率密度为， x 故 13 IIfx ，所以 ( ) fx单调增加 ； 于是 ： 当10 =f xf ， 即 2 1 lncos1 12 + + + xx xx x ， 当01=fxf ，于是 ( )f x在01=f xf ， 即 2 1 lncos1 12 + + + xx xx x ， 故 2 1 lncos1 12 + + + xx xx x ，( 11) ，且0A，且0A知() 1 2 1,0ef = 是极小值 . （17） 【详解】记 2 443 21 n nn a n + = + ，( 0,1,2)n = 2 1 2 4(1)4(1)3 21 limlim1 2(1)1 443 n nn n ann n an nn + + + = + + ，所以由幂级数的性质得收敛半径1R = ， 11x 0 2 t 0 2 t 【评注】 23 pp 可通过标准正态密度曲线图形立即看出 . （8） 【答案】 （C） 【详解】 因为 ( )X t n， (1, )Y Fn，则 2 (1, )XFn，故 Y 与 X 2 同分布，并且注意到( )t n的密度曲线 关于y轴对称，于是 222 22P YcP XcP XcP XcP Xc=+= 二、填空题： （9） 【答案】 1 【分析】 考查导数定义及隐函数的求导方法 . 【详解】 在方程 (1) ex y yx =中， 令0x =， 得(0)1yf=， 等式两端对x求导得 (1)(1xy yyxy 1=)e， 将0x =，(0)1yf=代入上式，得(0)1y= 故 0 1 ()(0) ( )(0) 1 lim( )1limlim(0)1 1 nnx ff f xf n n ff nx n = （10） 【答案】 32 12 eee xxx yCCx=+ ， 1 C， 2 C为任意常数 . 【详解】 由已知条件知， 3 12 ee xx yy= ， 3 13 e x yy= ，显然 12 yy ， 23 yy 线性无关，所以该 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为 32 12 eee xxx yCCx=+ ， 1 C， 2 C为任意常数 . （11） 【答案】 2 【分析】 利用参数方程的求导公式即可 . 【详解】 由 sin sincos xt yttt = =+ 可知 cos cos y y ttt t xxt t = d d d dd d ，于是 2 2 1 cos y t x = d d ， 故 2 2 4 2 t y x = = d d （12） 【答案】 ln2 【分析】 对于此无穷限的反常积分可用通常定积分的计算方法 . 【详解】 由分部积分法， 2 111 1 1 lnlndd () 1(1)(1) (1) lnln2 1 xxxx x xxxxx x x x + + + = = + + = + d （13） 【答案】 1 【分析】 根据已知条件易联想到利用重要公式 =AAA E 48 【详解】 由0 ijij a +=A，有 ijij a= A ( ,1,2,3)i j =，得 = T AA，于是 = = T AAAAA E 两边取行列式得 23 =AA，解得1= A或0=A. 当0=A时，由= T AAA E0，有=A0，与已知矛盾，所以1= A. （14） 【答案】 1 1e 【详解】 随机变量Y服从参数为1的指数分布，故 10 ( ) 00 y Y y F y = e y，于是 1 1 (1)( ) 11 1( ) P aYa F aF a P YaYa F a P Ya = e 三、解答题： （15） 【分析】 被积函数中含有变限积分，一般可用分部积分法 . 【详解】 由 1 ln(1) ( ) x t f xt t + =d知(1)0f=， ln(1) ( ) x fx x + =，因此 1 111 000 0 ( ) 2( )2( )2( ) f x xf xxx f xx fxx x = ddd 11 00 ln(1) 24ln(1) x xxx x + = = + dd 1 1 0 0 4ln(1)4 1 x xxx x = + + d 1 2 0 1 4ln281 ()1 x x = + + d 11 00 4ln288arctanxx= + 4ln282= + （16） 【分析】 利用幂级数在收敛区间内的逐项求导性质求解 . 【详解】 （1） 由题设得 2 3 (2 )! n a n = ， 21 1 (21)! n a n + = + ， 21 2 lim0 n n n a a + =，故级数收敛区间为(,) + 由 0 ( ) n n n S xa x = = 得 1 1 ( ) n n n S xna x = = 2 2 20 ( )(1)(1)(2) nn nn nn Sxn na xnnax + = =+ 由题设 2 (1) nn an na = ，得 2 (1)(2) nn anna + =+ 所以( )( )SxS x=，即( )( )0SxS x= （2） 由（1）关于( )S x的微分方程( )( )0SxS x=，对应的特征方程为 2 10 =，得特征根为 49 1= ，所以方程通解为 12 ( )ee xx S xCC =+ 由 0 (0)3Sa=， 1 (0)1Sa= 得 1 2C = ， 2 1C = 所以( )2ex x S x =+e （17） 【详解】 令 3 2 ()e0 3 xy f x xy x + =+= ， 3 (1)0 3 xy f x y y + =+= e 解得可能的极值点为 1 4 3 x y = = ， 1 2 3 x y = = 又 2 3 2 2 (22) 3 xy f x xxy x + =+ e， 2 3 2 e(1) 3 xy f x xy x y + =+ 2 3 2 e(2) 3 xy f x y y + =+ 当 4 1, 3 xy= 时， 1 3 3eA = ， 1 3 eB = ， 1 3 eC = 由 2 2 3 2e0ACB =，且0A，知 4 (1,) 3 为( , )f x y的极小值点， 极小值为 1 3 4 (1,)e 3 f = 当 2 1, 3 xy= = ， 5 3 eA = ， 5 3 eB =， 5 3 eC = ， 10 2 3 2e0ACB = 时，取对数得 11 1 ln2 ln3ln nn i iii Lnx x = = ， 对求导得 1 ln21 n ii Ln x = = d d ，令 ln 0 L = d d 解得的最大似然估计值为 1 2 1 n i i n x = = ， 所以的最大似然估计量为 1 2 1 n i i n X = = . 53 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案与解析 一、选择题 : （1） 【答案】 （C） 【分析】 本题考查求渐近线的基本方法 . 分别判断各曲线是否有水平、 垂直和斜渐近线即得正确答案 . 【详解】 因为 1 sin limlim1 xx x y x k xx + =， () 1 limlim(sin)0 xx byxxx x =+= 所以曲线 1 sinyx x =+有斜渐近线yx=, 故选（C）. （2） 【答案】 （D） 【分析】 利用凹凸性的几何意义 . 【详解】 举例 ： 取( ) 2 f xx= ，则在0,1区间上，(0)0(1)1ff=，则( ) 0 (1)1g xxxx=+ = ， 于是( )( )f xg x，此时( )20fx=，故选（D）. （3） 【答案】 （D） 【详解】 2 11 01 ( , ) y y yf x yx dd的积分区域是由直线1xy+=，单位圆 22 1xy+=在第二象限部 分及x轴所围成的平面区域 . 令cosx=， siny= ，则 0 ，直线1xy+=的极坐标方程是 cossin1rr+=，单位圆 22 1xy+=的极坐标方程是1r =，因此 ()() 2 1 111 2cossin 01000 2 ( , )cos , sincos , sin y y yf x yxf rrr rf rrr r + =+ dddddd （4） 【答案】 （A） 【详解】 2 ( , )(cossin )f a bxaxbxx = d 22222 22222 0 3 22 (cossin2cos2sin2sin cos ) 2(cossin2sin ) 2(2) 32 xaxbxaxxbxxabxxx xaxbxbxxx abb =+ =+ =+ + d d 于是，由 ( , ) 0 f a b a = ， ( , ) 0 f a b b = 得唯一驻点0a =，2b =，即为最小值点， 所以，若 22 11 , (cossin )min(cossin ) a b R xaxbxxxaxbxx = dd，则 11 cossin2sinaxbxx+= ，选（A） 54 （5） 【答案】 （B） 【分析】 本题考查行列式的计算方法，直接按行展开即可 . 【详解】 4 14 4 0a0 00 00 ( 1)00( 1)00 00 00 00 b abab ab cbda cd cdcd cd + =+ 2 32 1 2 ( 1)( 1) ()() () abab cdda cdcd bcadadbc adbc + = = = （6） 【答案】 （A） 【详解】 1323123 10 (,)(,) 01kl kl += ，记 10 01 kl = B，于是当向量组 123 , 线性无关时， 向量组 13 k+ ， 23 l+ 的秩等于矩阵B的秩，( )2r=B，即向量组 13 k+ ， 23 l+ 线性无关 . 显然，当取 3 为零向量时，向量组 13 k+ ， 23 l+ 线性无关不能保证 123 , 线性无关 . 故向量组 13 k+ ， 23 l+ 线性无关是向量组 123 , 线性无关的必要而非充分条件，选（A）. （7） 【答案】 （B） 【详解】()( )()( )( ) ( )0.5 ( )0.3P ABP AP ABP AP A P BP A=，即( )0.6P A =， 所以 ()( )()0.50.30.2P BAP BP AB= （8） 【答案】 （D） 【详解】 由 1 X与 2 X相互独立，且 212 1 () 2 YXX=+，知 21212 11 ()() 22 EYEXXEXEX=+=+， 212 1 () 4 DYDXDX=+ 由 1 X与 2 X相互独立，且 1 12 1 ( )( )( ) 2 Y fyfyfy=+可得 112122 1 ( )( )() 22 y EYfyfyyEXEXEY + =+=+= d， 2 222 11212 1 ( )( )() 22 y EYfyfyyEXEX + =+=+ d， 22222 1111212 11 ()()() 24 DYEYEYEXEXEXEX=+ 55 () 2222 121212 22 121212 2 1212 1212 2 1 22()()2 4 1 222 4 1 22()() 4 24 EXEXEXEXEXEX DXDXEXEXEXEX DXDXEXEX DXDXDXDX DY =+ =+ =+ + = 所以， 12 EYEY= ， 12 DYDY ，选（D） 二、填空题： （9） 【答案】 2 10xyz = 【详解】 曲面在点(1,0,1)的法向量为 ： 所以曲面在(1,0,1)的切平面的方程为2 10xyz = . （10） 【答案】1 【详解】 由( )2(1)fxx=，有 2 ( )2f xxxC=+，0,2x 又( ) f x是周期为4的可导奇函数，得(0)0f=，故0C = ， 2 ( )2f xxx= 所以 （11） 【答案】 21 e x x + 【详解】 将(lnln )0xyyxy + =变形得ln0 yy y xx = 令 y u x =，则yxu=， y u ux xx =+ d d dd ，代入上式整理得 ln ux uuux = dd 两边积分得() 1 ln ln1lnlnuxC=+，即ln1uCx =，解得 1 eCxyx + = 由 3 (1)ey=，知2C =，因此微分方程的解为 21 e x yx + = （12） 【答案】 【详解】 柱面 22 1xy+=与平面0yz+=的交线L的参数方程为 cosx=， siny= ，sinz= ，02 因此 2 0 sin( sin )sin( cos ) L z xy z += + ddd 2 0 1cos2 2 = d （13） 【答案】 2,2. 【详解】 22 123121323 (,)24f x xxxxax xx x=+ 56 2222 132233 22222 132333 2222 13233 ()4 ()(2)4 ()(2)(4) xaxxx xa x xaxxxxa x xaxxxax =+ =+ =+ 因为( ) f x负惯性指数为 1，所以 2 40a 即22.a （14） 【答案】 2 5n 【分析】 本题综合考查了数学期望的计算、简单随机样本的性质 . 【详解】 2 2 222 2 11 25 (c)c() 2 3 nn ii ii x ncxxnc = = EXE Xd， 若 2 1 n i i c = E(X )是 2 的无偏估计，则 2 25 2 nc =，于是 2 5 c n =. 三、解答题： （15） 【分析】 利用等价无穷小代换和洛必达法则 . 【详解】 11 22 11 22 ( (e1)t)( (e1)t)dt limlim 11 ln(1) xx tt xx ttt xx xx + = + d 1 2(e 1) lim 1 x x xx + = 1 21 lim(e1) x x x x + = 2 00 111 limlim. 22 tt tt t t t + = ee （16） 【分析】 本题是求一元隐函数的极值问题，注意隐函数的求导方法 . 【详解】 在方程 322 60yx yxy+=两端关于x求导，得 222 3220y yxyyx yyxy+= 令y= 0， 得 2yx= ，或 0y = （不适合方程，舍去） 将2yx= 代入原方程得 3 660x+=，解得1x =，(1)2f= . 在 222 3220y yxyyx yyxy+=两端关于x求导，得 22 (6222 )(32)2220yyyxyx yyxyxyyyyxy+= 求得 1 4 0 9 x y = = 所以1x =是函数 ( )yf x= 的极小值点，极小值为(1) 2f= . （17） 【详解】因为coscos xxz fyy x =() ee， cossin xxz fyy y = () ee ， 57 2 2 2 e cos(ecos )e cose cos xxxxz fyyfyy x =+)( () 2 22 2 e cosesine cose cos xxxxz fyyfyy y =() () 22 22 22 e cose(4e cos )e xxxxzz fyzy xy +=+( ) 所以原方程 22 2 22 (4e cos )e xxzz zy xy +=+ 化为 2 e cose4 (cos )cos xxxx fyfyy=+()ee. 从而函数( ) f u满足方程( )4 ( )uff uu=+ 方程 ( )4 ( )fuf u= 的通解为 22 12 ( )ee uu f uCC =+ ， 方程 ( )4 ( )uff uu=+的一个特解为 4 u ，所以方程的通解为 22 12 ( )ee 4 uuu f uCC =+， 由(0)0f=，(0)0 f =得 12 12 0 1 220 4 CC CC += = 解得 1 1 16 C =， 2 1 16 C = . 故 221 ( )(ee4 ) 16 uu f uu = （18） 【详解】 设 1 为平面1z =上被曲面（单位圆） 22 1 1 xy z + = 所围成部分的下侧， 1 与所围成 的立体为 ，则 33 (1)(1)(1)Ixy zyz xzx y =+ d dd dd d 11 3333 (1)(1)(z 1)(1)(1)(z 1)xy zyz xx yxy zyz xx y + =+ d dd dd dd dd dd d 22 3(1)3(1)10xyx y z = + d d d 22 (36367)xxyyx y z = + d d d 22 (337)xyx y z = + d d d 2 211 2 00 (37)4 r rrr z = += ddd （19） 【证明】 （1）因为cos cos nnn aab= ，0 2 n a ，有 lim1 n n Pa = n d， 从而Y的概率分布为 1222 1 17 (1)(1)( ) ( ) 88 nn n P YnCpppn =， 2,3,n = （2） 方法一 ： 22 22 17 ( )(1)( ) ( ) 88 n nn E Yn P Ynnn = = 22 2 17 ( )(1)( ) 88 n n nn = = 因为 2 1 2 ( )(1) n n S xnnx = = ， 11x d d ，即InL关于单调增加， 所以 12 min n XXX=，为的最大似然估计量 . 71 2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案与解析 一、选择题： （1） 【答案】 （C） 【分析】 利用反常积分的比较判别法 . 【详解】 1 001 111 (1)(1)(1) ababab xxx xxxxxx + =+ + ddd ， 由于 0 1 (1) lim1 1 ab x a xx x + + =，所以1a 时， 1 1 (1) ab x xx + + d收敛 应选（C） （2） 【答案】 （D） 【详解】 2 1 2 (1)1 ( )( )d ln1 xCx F xf xx xxxCx + 所以，当2t =时，( ) I t取极小值，即最小值，最小值(2)3I= （18） 【详解】 由高斯公式得 (223)(21)Ixx y zxx y z =+=+ d d dd d d 11 00 (21)(21) xx DD xxy zxxy z=+=+ dd ddd d 11 232 00 11 (21)2(1)(231) 22 xxxxxx=+=+= dd （19） 【证明】 （1）依题意知 111 ()()( )() nnnnnn xxf xf xfxx + = 112 2 11 2 2 nnnn xxxx = ， 11 22 P U = ， 2 1 2 0 211 3 228 x x P Xdxdy= 故 1111 , 2222 P UXP UP X，即U 与X不独立 79 （3）因为 UXUX,U0 U UX,U1zzz+=+=+=， 于是，ZUX=+的分布函数为 F( )P UXP UX,U0P UX,U1zzzz=+=+=+= P X,U0P X1,U1zz=+= P X,XYP X1,XY .zz=+ 下面分别计算上式中的两项概率 当0z = 当01z= 12z ( )1 Z Fz = 综上所述，Z的分布函数为 ： 23 3 2 2 0,0 3 , 01 2 ( ) 13 2(1)(1) ; 12 22 1,2 Z z zzz Fz zzz z , 从而 2( ) fx单调递增， 22 (1)( 1)ff. 即( )() 11ff . （3） 【答案】 （D） 【详解】 方向余弦 1 cos 3 =， 2 coscos 3 =，即 1 2 2 , 3 3 3 偏导数 (1,2,0)(1,2,0) 24 x fxy= ， 2 (1,2,0)(1,2,0) 1 y fx= ， (1,2,0)(1,2,0) 20 z fz= ， 故所求方向导数为 (1,2,0) 122 4102 333 f =+ += n （4） 【答案】 （C） 【详解】 由题意， 00 21 00 ( )( )10 tt v ttv tt= dd，于是由图中面积得 0 25t =. 选（C） （5） 【答案】 （A） 【分析】 把矩阵可逆与没有零特征值联系起来即得正确答案 . 【详解】 由为n维单位列向量，知 T 为n阶方阵，且 T 的n个特征值为 1 0=（1n 重） ， T 2 1= 因此矩阵 T 的n个特征值为 1 1=（1n 重） ， 2 1=，所以 T 不可逆 . 另外，易知其他 3 个选项中的矩阵均没有零特征值 . （6） 【答案】 （B） 【详解】 显然 A ，B，C的特征值均为2，2，1. (2)1r=EA， 即 A 的属于特征值2的线性无关的特征向量有2个， 故 A 有3个线性无关的特征向量， 可对角化 . 即 A 与C相似 . (2)2r=EB， 即B的属于特征值2的线性无关的特征向量有1个， 故B有 2 个线性无关的特征向量， 不可对角化 .B与C不相似 . 82 （7） 【答案】 （A） 【详解】 由(|)(|)P A BP A B ()() ( ) ( ) () 1( )( )( )() ()( ) ( ) P ABP AB P B P B P ABP BP BP AP AB P ABP A P B 又 (|)(|)P B AP B A ()() ( ) ( ) () 1( )( )( )() ()( ) ( ) P ABP BA P A P A P ABP AP A P BP AB P ABP A P B 故选（A） （8） 【答案】 （B） 【详解】 (0,1) 1 i X N，且 1 X ， 2 X ， n X相互独立， 故 22 1 () ( ) n i i n = X 又 1 (0,2) n XXN，于是 2 21 () (1) 2 n XX ， 故 2 1 2() n XX服从 2 分布不正确 . 二、填空题： （9） 【答案】0 【分析】 利用( ) f x的麦克劳林展开式， ( )(0) ! n n fa n= 【详解】 利用麦克劳林公式得， 246 2 1 ( )1 1 f xxxx x = + + ，( 11)x ，( ) y x取得极小值( 1)0y = . （18） 【 分 析 】 （1） 用 零 点 定 理 ； （2） 利 用 原 函 数 法 构 造 辅 助 函 数， 再 用