《数学条件概率》PPT课件.ppt

袋中有十只球，其中九只白球，一只红球， 十人依次从袋中各取一球(不放回)，问 第一个人取得红球的概率是多少？ 第二 个人取得红球的概率是多少？ 1.4 条件概率 若已知第一个人取到的是白球，则第二个人 取到红球的概率是多少？ 已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为 在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，简 称为B对A的条件概率，记作P(B|A)。 若已知第一个人取到的是红球， 则第二个人取到红球的概率又是 多少？ 一、条件概率 例1.14 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽 取两次，每次取一个，取后不放回。 (1)已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率； (2)求第二次取到红球的概率； (3)求两次均取到红球的概率。 解 设A第一次取到红球,B第二次取到红球 S= A B A第一次取到红球, B第二次取到红球 显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个 事件，其中A含有nA个样本点，AB含有nAB个样本点， 则 称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 定义 设A、B是S中的两个事件，P(A)0，则 “条件概率”是“概率”吗？ 何时P(A|B)=P(A)? 何时P(A|B)P(A)? 何时P(A|B)0，则有乘法公式 P(AB)P(A)P(B|A) 当P(AB)0时，上式还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB) 一般地，n个随机事件A1,A2,An，且 P(A1A2An-1)0,有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2).P(An|A1An1) 例1.18 甲、乙、丙三人参加面试抽签，每人的试题 通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题中 有4个难题签，按甲、乙、丙次序抽签，试求甲抽到 难题签，甲和乙都抽到难题签，甲没抽到难题签而乙 抽到难题签，甲、乙、丙都抽到难题签的概率。 解 设A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难题签的事件 返回 例1.19 盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一 只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜 色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取 得白球、第3、4次取得红球的概率。 解 设Ai为第i次取球时取到白球，则 三、全概率公式与贝叶斯公式 在概率论中，我们经常利用已知的简单事件的概 率，推算出未知的复杂事件的概率。为此，常须 把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事 件的和，再由简单事件的概率求得最后结果。 如在例1.18中，如果把甲、乙、丙抽到难题签的 事件作为上述的复杂事件，则可用分解的方法计 算如下： 例1.18 甲抽到难签的概率 例1.18 乙抽到难签的概率，注意到 丙抽到难签的概率，注意到 可将此类问题推广到一般情况。 A1 A2 An B 事件组A1,A2,An组成样本空间S的一个完备事件组 定理1.1 设试验E的样本空间为S，B为E的事件。 设事件组A1,A2,An组成样本空间S的一个完备事件组 且设 P(Ak)0,(k=1,2,n),则 此公式称为全概率公式。 2、全概率公式 例1.20 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌 产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、 1/2，且三家工厂的次品率分别为2、1、3，试求 市场上该品牌产品的次品率。 解 设B：买到一件次品； A1：买到一件甲厂的产品； A2：买到一件乙厂的产品； A3：买到一件丙厂的产品。 例1.21 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的 次品最多不超过4件，且具有如下的概率： 一批产品中的次品数 0 1 2 3 4 概 率0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 现进行抽样检验，从每批中随机抽取10件来检验，若发现其中有 次品，则认为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。 解 设A表示事件“一批产品通过检验”，Bi(i=0,1,2,3,4)表示“一 批产品含有i件次品”，则B0,B1, B2, B3, B4组成样本空间的一个划 分， 返回 例1.21的结果提供给人们这样的信息，即若工厂生产 了1000批产品，则可以通过检验，以合格品出产的约 有814批，而作为合格品出售的产品，每批中仍可能 含有i(i=0,1,2,3,4)件次品。因此，就顾客而言，希 望所买的产品中含次品少的概率要大，即概率 P(Bi|A) (i=0,1,2,3,4)中最大的一个所对应i的越小 越好，这就是下面讨论的另一个重要公式。 3、贝叶斯公式(Bayes)（逆概率公式 ） 定理1.2 设试验E的样本空间为S，B为E的事件。事件 组A1,A2,An组成样本空间S的一个完备事件组，且 P(Ak)0,(k=1,2,n),及P(B)0，则 此式称为Bayes公式。 例1.21中，顾客买到的一批合格品中，含次品数为0 的概率是多少？ 类似可以计算顾客买到的一批合格品中，含次品数为 1、2、3、4件的概率分别约为0.221、0.398、0.179 、0.080。 例1.22 有甲乙两个袋子，甲袋中有2个白球，1个红球， 乙袋中有2个红球，1个白球。这6个球手感上不可区别 。今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任 取一球，问此球是红球的概率？ 解 设A1从甲袋放入乙袋的是白球； A2从甲袋放入乙袋的是红球； B从乙袋中任取一球是红球。 甲 乙 思考 例1.22中，若已知取到一个红球，则从甲袋放 入乙袋的是白球的概率是多少？ 答 例1.23设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一产品，产量依 次占全厂的45%，35%，20%。且各车间的次品率依次为4%， 2%，5%。现从待出厂的产品中抽取1个产品，问(1)该产品是 次品的概率，(2)该产品是由哪个车间生产的可能性最大。 解 设A表示产品为次品的事件，B1,B2,B3分别表示产品是甲、 乙、丙车间生产的事件，则 P(B1)=45%，P(B2)=35%， P(B3)=20%， 且P(A|B1)=4%， P(A|B2)=2%，P(A|B3)=5% (1)P(A)= P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =45%4%+35%2%+20%5%=0.035 (2) 若一病人高烧到40，医生要确定他患有何种疾病 ，则必须考虑病人可能发生的疾病B1,B2,Bn。 这里假定一个病人不会同时得几种病，即 B1,B2,Bn互不相容，医生可以凭以往的经验估 计出发病率P(Bi)，这通常称为先验概率。进一步 要考虑的是一个人高烧到40时，得Bi这种病的 可能性，即P(Bi|A)的大小，它可由Bayes公式计 算得到。这个概率表示在获得新的信息(即知病 人高烧40)后，病人得B1,B2,Bn这些疾病的 可能性的大小，这通常称为后验概率。有了后验 概率，就为医生的诊断提供了重要依据。 若我们把A视为观察的“结果”，把B1,B2,Bn理 解为“原因”，则Bayes公式反映了“因果”的 概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。 例1.24 根据以往的临床记录，某种诊断是否患有癌症的检 查有如下效果。若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被检查者确实患有癌症”，则有 现对一大批人进行癌症普查，设被查的人确实患有癌症的概 率是P(C)=0.005，试求当一个被检查者其检验结果为阳性时 ，那么他确实患癌症的条件概率是多少？即求P(C|A)。 解 本例中P(C)=0.005就是先验概率，而P(C|A)=0.087为后验 概率。可见比先验概率提高了近16.4倍。虽然诊断的可靠性 P(A|C)较高，但是确诊(即被检查诊断患有癌症者确实有癌 症)的可能性很小，所以还必须提高诊断的准确率。 例1.25 数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其 中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干 扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收 为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、 0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个 “1”的信号。问发端发的是0的概率是多少? )A(P)AB(P)A(P)AB(P )A(P