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数理统计 第三节 估计量的评选标准 无偏性 有效性 相合性 小结 数理统计 样本均值是否是 的一个好的估计量？ (2) 怎样决定一个估计量是否比另一个估计量“好”？ 样本方差是否是 的一个好的估计量？ 这就需要讨论以下几个问题: (1) 我们希望一个“好的”估计量具有什么特性？ (3) 如何求得合理的估计量？ XN( ) 数理统计 估计量的评选标准 在介绍估计量的评选标准之前，我们必须强 调指出： 评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试 验的结果，而必须由多次试验结果来衡量 . 这是因为估计量是样本的函数, 是随机变量 . 因 此，由不同的观测结果，就会求得不同的参数估计 值. 因此一个好的估计，应在多次试验中体现出优良 性 . 数理统计 常用的几条标准是： 1无偏性 2有效性 3相合性 这里我们重点介绍前面两个标准 . 数理统计 估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到 不同的估计值 . 我们希望估计值在未知参数真值附 近摆动，而它的期望值等于未知参数的真值. 这就 导致无偏性这个标准 . 一、无偏性 则称 为 的无偏估计 . 设 是未知参数 的估计量，若 数理统计 例如，用样本均值作为总体均值的估计时， 虽无法说明一次估计所产生的偏差，但这种偏差随 机地在0的周围波动，对同一统计问题大量重复使 用不会产生系统偏差 . 无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求 . 无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差 . 数理统计 例1 设总体 X 服从参数为 的指数分布 , 其概 率密度为 为未知,X1,X2,Xn是取自总体的一个样本 , 试证 和 都是参数 的无偏估计 量 . 数理统计 证 所以 是参数 的无偏估计量 . 而 具有概率密度 故知 即 也是参数 的无偏估计量 . 数理统计 所以无偏估计以方差小者为好, 这就引进了有效性 这一概念 . 的大小来决定二者谁更优 .和 一个参数往往有不止一个无偏估计, 若 和 都是参数 的无偏估计量，我们可以比较 由于 数理统计 二、有效性 D( ) D( ) 则称 较 有效 . 都是参数 的无偏估计量，若对任意 ， 设和 且至少对于某个 上式中的不等号成立， 数理统计 例2 (续例1) 试证 当 n 1 时 的无偏估计量 较 有效 . 证 故有 而故有 当 n 1 时 , 故 较 有效 . 数理统计 三、相合性 任意 ，当 时 依概率收敛 于 , 则称 为 的相合估计量. 设是参数 的估计量，若对于 为 的相合估计量 对于任意 , 有 数理统计 由辛钦定理 若总体 的数学期望 有限, 则有 其中 为连续函数 . 数理统计 故 为 的相合 估计量 . 若 为连续函数, 为 的相合估计量 . 则有 数理统计 四、小结 对于一个未知参数可以提出不同的估计量 , 因此自然提出比较估计量的好坏的
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