多面体欧拉定理的发现(g.ppt

多面体欧拉定理的发现 研究性学习课题 二、多面体欧拉公式的发现 问题1：观察以下五个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 各是多少？它们之间有没有什么关系？ 二、多面体欧拉公式的发现 问题2：是否所有的多面体的顶点数V、面数F和棱数E都满 足V+F-E=2？我们再看看下面的3个多面体，它们的顶点数V 、面数F和棱数E又是多少？ 二、多面体欧拉公式的发现 问题3：什么样的多面体的顶点数V、面数F和棱数E满足V+F-E=2 ？ 像这样的连续变形中，表 面可以变成一个球面的多 面体叫做简单多面体。 球面 环面 两个对接的球面 二、多面体欧拉公式的发现 问题4：如何证明欧拉公式？ V+F-E=2 简单多面体的欧拉公式 ： 证明思路一 利用多边形的内角 和公式进行证明. 1.将多面体转化为由多边形组成的平面图形 2.变形中的不变量： 左图中多面体某个面是n边形，右图中相应的多边形仍为n边形 问题4：如何证明欧拉公式？ 图1图2 3.计算多边形的 内角和 (1)设图1中多面体的F个面分别是n1，n2，.，nF边形，各面的 内角总和是多少？ (3)设图2中最大的多边形（即多边形ABCDE）是m边形，则它 的内角和是多少？ (2)n1+n2+.+nF和多面体的棱数E有什么关系？说出理由.上 述内角和是否等于（E-F) ? 它的内部包含的其他多边形的顶点数（不同多边形的公 共顶点只计一次）是多少？ 所有其他多边形的内角和是多少？ n1+n2+.+nF=2E (m-2)180 。 V-m (V-m)360 +(m-2)180 。 。 等于 (n1+n2+.+nF-2F)180 。 (n1-2)180 +(n2-2)180 +.+(nF-2)180 = 。 图1 图2 3.计算多边形的 内角和 (4)图2中全体多边形的内角和是多少？它是否等于(V-2) 用这个关系式能导出欧拉公式吗？ 之间什么关系？说出理由，利(5) (E-F)与(V-2) (V-m)360 +2(m-2)180 =(V-2)360 。 。 。 (E-F)360 =(V-2)360 。 。 V+F-E=2 (3)设图2中最大的多边形（即多边形ABCDE）是m边形， 则所有其他多边形的内角和是多少？ (V-m)360 +(m-2)180 。 。 证明思路二 利用拓扑变换的 方法进行证明. 4.总结多面体欧拉公式的发现过程 （1）从具体的实物提出问题，多面体的顶点数V、面数F 、棱数E之间有什么关系？ （2）从简单的几个多面体去猜测他们的关系。 （3）尝试证明猜测的结论。 这体现了发现数学定理的一种重要的思路，问题来源于我们 的现实生活，结论可以先猜再证。 三、多面体欧拉公式的应用 （1）1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重要贡献的三位科 学家。C60是由60个C原子组成的分子，它的结构为简单多面体 形状。这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各个 面的形状分为五边形或六边形两种（如图）。计算C60分子中形 状为五边形和六边形的面各是多少？ 解：设C60分子中形状为五边形和六 边形的面各为x个和y个 多面体的顶点数V=60,面数F=x+y 棱数E 代入欧拉公式，可得 另一方面，棱数可以由多边形的边 数来表示，即 由以上两个方程可解出 x=12，y=20 答：C60分子中形状为五边形和六边 形的面各有12个和20个。 四、研究性课题 （1）欧拉公式有几种证明方法 （2）欧拉公式的用途 （3）欧拉发现欧拉公式的背景及其相关著作 （4）由欧拉公式你能得出什么新的结论 （5）研究欧拉(Leonhard Euler)的一生 （包括他的故事、成就等） 五、本节