[工学]CH5_控制系统的稳定性分析.ppt

稳定性是线性控制 系统中最重要的问题 第五章 控制系统的 稳定性分析 本章目录 4系统稳定性的基本概念 4系统的稳定条件 4代数稳定判据 4乃奎斯特稳定判据 4应用乃奎斯特稳定判据分析延时系统的稳定性 4对数幅频特性(利用Bode图)的稳定性判据 4控制系统的相对稳定性 一个系统受到扰动， 偏离了原来的平衡状态， 而当扰动取消后，这个系 统又能够逐渐恢复到原来 的状态，则称系统是稳定 的。否则，称这个系统是 不稳定的。 稳定的概念 M b c o o d f a b c d e 条件稳定系统 b、c允许偏差范围 d、e规定偏差边界 稳定系统 不稳定系统 稳定性反映在干扰消 失后的过渡过程的性质上 。这样，在干扰消失的时 刻，系统与平衡状态的偏 差可以看作是系统的初始 偏差。因此，控制系统的 稳定性也可以这样定义： 若控制系统在任何足 够小的初始偏差作用下， 其过渡过程随着时间的推 移，逐渐衰减并趋于零， 具有恢复原平衡状态的性 能，则称该系统稳定。否 则，称该系统不稳定。 控制理论中所讨论的稳定性其 实都是指自由振荡下的稳定性，也 就是讨论输入为零，仅存在初始偏 差时的稳定性，即讨论自由振荡是 收敛的还是发散的。至于机械工程 系统往往用激振或外力的方法施以 强迫振动或运动，而造成系统共振 或偏离平衡位置，这并不是控制理 论所要讨论的稳定性。 说明： )不稳定现象的存在是由于反馈作用。 )稳定性是指自由响应的收敛性。 系统稳定的充要条件 t tt=0 t - - 反之，若特征根中有一个或多个根具有正实 部，则零输入响应将随时间的推移而发散，这样 的系统就不稳定。 可见，稳定性是控制系统自身的固有特性， 它取决于系统本身的结构和参数，而与输入无关 ；对于纯线性系统来说，系统的稳定与否并不与 初始偏差的大小有关。 控制理论所讨论的稳定性都是指自由振荡下 的稳定性，即讨论输入为零，系统仅存在初始偏 差时的稳定性，即讨论自由振荡是收敛的还是发 散的。 上述结论对于任何初始状态（只要不超出线 性工作范围）都成立，且当特征根具有相同值 时，也成立。 控制系统稳定的充分必要条件是： n系统特征方程式的根全部具有负实部。 n闭环传递函数的极点全部具有负实部 （位于左半s平面）。 显然，稳定性与零点无关。 4roots(den)； 4pzmap(sys)； 4pole(sys) 应用MATLAB判断系统稳定性 系统稳定的判别方法： 1)特征方程根的分布； 2)开环传递函数-闭环系统的稳定性； 代数稳定判据 为了避开对特征方程的直接求解 ，就只好讨论特征根的分布，看其 是否全部具有负实部，并以此来判 断系统的稳定性。这就产生了一系 列稳定判据。 4劳斯判据 4Hurwitz判据 一、劳斯判据 稳定的必要条件： 特征方程中各项系数0 稳定的充分条件： 劳斯阵列中第一列所有项0 劳斯阵列如下： 一直计算到最后一行算完 为止。然后判断阵列中第一列 系数的符号，若全部0,则系统 稳定；否则，第一列系数符号 改变的次数，就为特征方程在 右半s平面的根数。 解：满足必要条件 13 -2 3 - 例 K为何值时，系统稳定 低阶系统的劳斯稳定判据 q 二阶系统 劳斯阵列为： s2a0a2 s1a10 s0a2 a00，a10，a20 从而，二阶系统稳定的充要条件为： q 三阶系统 劳斯阵列为： s3a0a2 s2a1a3 s1 0 s0a3 从而，三阶系统稳定的充要条件为： 特征方程的各项系数大于零，且： a1a2-a0a30 q 例题 例：系统方框图如下，试确定开环增益K 为何值时，系统稳定。 Xi(s)Xo(s) 解：系统闭环传递函数为： 由三阶系统的稳定条件，有： 此系统为三阶系统，特征方程为： 即：当0K30时系统稳定。 劳斯判据 4劳斯列阵中第一列所有项均为正号 二阶系统： 三阶系统： 四阶系统: 例如： (1) (2) (3) 一项为负， 不稳定 缺项， 不稳定 满足必要条件， 可能稳定 1、某一行第一个元素为零， 而其余各元素均不为零、或部分不为零 劳斯判据的两种特殊情况： 第一列系数符号改变 两次，系统有两个右根， 所以，系统不稳定。 1 01 0 2 第一列系数符号无改变， 故系统没有正实部的根。 S 行为0， 上下两行的符号相 同，表明系统有一对共轭虚根 ，所以，系统临界稳定。 由该行的上一行元素来解决： （1）构成辅助多项式，并求导，用其系数代替 全为零的行； （2）构成辅助方程，并解出这些大小相等但位 置径向相反的特征根。 2、某一行所有元素均为零 表明在 S 平面内存在大小相等但位置 径向相反的根，即存在两个大小相等、 符号相反的实根和（或）一对共轭虚根 ， S 显然，这些根的数 目一定是偶数。 辅助多项式 1 3 第一列符号全为正 ，说明系统无右根，但 有共轭虚根，可由辅助 方程解出。 辅助方程 3 8 8 1 6 8 0 0 系统临界稳定 用劳斯判据判断系统的相对稳定性 系统相对稳定性可通过极点距虚轴的距离来表征 。为了使系统具有良好的动态响应，常希望极点 与虚轴具有一定的距离。 为此，可将原 s 平面虚轴向左平移期望的最小距 离a，即用 sa 替换原特征方程中的s，得到新的 特征方程，再利用劳斯判据即可判断系统的特征 根是否位于垂线s = a的左边。 解：令ss - 1： 要使D1(s)的特征根实部均小于0，即D(s)的 特征根实部均小于1，须： 例：已知 若要求特征根的实部均小于-1，判断K的取 值范围。 乃奎斯特稳定判据 该判据的优点： n 当系统的传递函数无法直接写出时，可用实验方 法获得系统的各个环节然后是整个系统的开环频 率特性曲线，即可分析系统闭环以后的稳定性； n 应用乃氏判据可以解决代数判据不能解决的诸 如包含延迟环节的系统稳定性问题。 n 乃氏判据还能指出系统的稳定储备，即系统相 对稳定性定量指标，以及进一步提高和改善系 统动态性能(包括稳定性)的途径。 - 利用开环频率特性分 析闭环系统的稳定性 1、Nyquist稳定判据 - 0 0 0 2、米哈伊洛夫定理 证明Nyquist判据的一个引理 证明：先看一次式 0 0 0 再来研究根在右半S平面的一次式 0 0 例 判别系统稳定性 -1-1 - K为何值时, 系统稳定 例 0 -1 5.5 由伯德图判断系统的稳定性 一、Nyquist图与Bode图的对应关系 二、利用Bode图判断稳定性 稳定 不稳定 ： Frequency (rad/sec) Phase (deg); Magnitude (dB) bode plot -150 -100 -50 0 50 From: U(1) 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -300 -250 -200 -150 -100 -50 To: Y(1) Frequency (rad/sec) Phase (deg); Magnitude (dB) bode plot -100 -50 0 50 100 From: U(1) 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -300 -250 -200 -150 -100 -50 To: Y(1) 利用Nyquist判据判断使系统稳定的K值范围。 Nyquist曲线刚 好通过（-1，j0 ）点，系统临界 稳定。 求使系统稳定的临界K值 忽略 忽略 若采用劳斯判据判断系统稳定的K值范围 注意： 利用Nyquist判据的结论 与利用劳斯判据的结论 不一致， 其原因是Bode图用的是渐进线， 有误差。 只要 两种方法结论一致 。 5-7 控制系统的相对稳定性 一、利用劳斯判据看系统相对稳定性 S 这便是通常所说的相对 稳定性，它通过 对（-1，j0）点的靠近 程度来度量。 定量表示为： 二、利用乃氏判据看系统相对稳定性 及其相对稳定性指标 1、相位裕量 正相位裕量 具有正相位裕量的系统不仅稳定，而且 还有相当的稳定储备，它可以在 的频率 下，允许相位再增加 度才达到临界稳定条 件。因此相位裕量也叫相位稳定性储备。 2、幅值裕量 当 时， 开环幅频特性 的倒数。 在Bode图上， 正相位裕量 线以上 正幅值裕量 0dB线以下 正幅值裕量 负幅值裕量 负相位裕量 线以下 负幅值裕量 0dB线以上 G(j)具有负幅值 裕量及负相位裕量时 ，闭环不稳定。 负相位裕量 工程实践中，为使系统有满意的稳定 储备，一般希望： 如果仅以相位裕量来判断系统的稳定性, 就会得出系统稳定程度很高的结论,而系统的实 际稳定程度绝不是高,而是低。所以,必须同时 根据相位裕量和幅值裕量全面地评价系统的相 对稳定性,避免得出不合实际的结论。 num=5*0.0167 1; den=conv(conv(1,0,0.03,1),conv(0.0025,1, 0.001,1); G=tf(num,den); w=logspace(0,4,50); Bode(G,w