数字电路第四章-逻辑函数及其化简.ppt

u4.1 逻辑函数化简的意义和含义 u4.2 用逻辑代数基本函数定律和公式化简逻辑 u4.3 用卡诺化简逻辑函数 u4.4 含有无关项的逻辑函数化简 1.由表达式到逻辑电路图 () 2.由逻辑电路图写出表达式 () 3.具体的二值问题表达式逻辑电路图？引 出用数字电路解决现实生活中的逻辑问题组合 电路设计。 一、逻辑函数化简的意义 【例4-1】某单位安排三位面试官对前来应聘 的人员进行面试，其中1位为主面试官，另2位为副 面试官，面试时，按照少数服从多数原则，有2位 面试官同意录用即可录用，但如主面试官认为可以 录用也能录用，试设计一逻辑电路实现此面试规定 。 组合逻辑电路的设计一般可按以下步骤进行： 把逻辑问题符号化。即输入条件用输入变量表示，输出结 果用输出变量表示； 根据题意列出真值表。把输入变量的所有输入组合与对应 的输出变量值，用表格的形式一一列举出来； 由真值表写出逻辑表达式。真值表中输出变量为“1”的每一 组输入变量组合都可使逻辑问题的结果为真，因此，能使输 出变量为“1”的每一组输入变量组合相或就得到了逻辑表达式 ，其中“1”用原变量表示，“0”用反变量表示；（其中1表示原 变量，0表示反变量） 画出逻辑电路图。 【例4-2】分析图1.5.2所示逻辑电路图的逻辑功能 。 组合电路的分析一般可按以下步骤进行： 根据逻辑电路图，写出输出变量对应输入变量的逻 辑函数表达式。具体做法可按从左到右或从右到左 逐级写出每个门输出与输入的逻辑表达式，最终得 到整个电路输出与输入的逻辑表达式。 由逻辑表达式推出真值表。 写出逻辑功能。 根据前面分析可见，例4-1和例4-2实现的功能 是一样的，但是图1.5.2明显比图1.5.1简单的多。 由此引出函数化简。 所谓函数化简就是把逻辑函数表达式转换成最 简与或表达式，最简与或表达式的特点是表达 式中与项最少，且每个与项中变量个数最少。 引言逻辑代数基本公理 公理1： 设A为逻辑变量，若A0，则A1；若Al，则A0。这个公理决 定了逻辑变量的双值性。在逻辑变量和逻辑函数中的0和1，不是数值 的0和1，而是代表两种逻辑状态。 公理2： 。式中点表示逻辑与，在用文字表述时常 省略；加号表示逻辑或。 公理3： 。 公理4： 。 。 公理5： ； 。 4.2 4.2 用逻辑代数基本函数定律和用逻辑代数基本函数定律和 公式化简逻辑公式化简逻辑 4.2 用逻辑代数基本函数定律和公式化 简逻辑 逻辑代数的基本公式、定律和规则逻辑代数的基本公式、定律和规则 一、逻辑函数的公式化简法 逻辑函数的公式化简法实际上就是反复应用逻辑代数的基本公 式和常用公式对逻辑函数进行运算和变换，以求得逻辑函数的最 简形式。常用的方法如下： 1. 并项法 根据 可以把两项合并为一项，保留相同因子，消去互为相反 的因子 = 2. 吸收法 根据A + A B = A 可将AB项消去。A和B可代表任何复杂的逻辑式。 3. 消项法 根据 可将BC项消去。A、B和C可代表任何复杂 的逻辑式 4. 消因子法 根据 可将式中的因子消去。A和B可代 表任何复杂的逻辑式。 5. 配项法 根据A+A+=A可以在逻辑函数式中重复写入某一项， 以获得更加简单的化简结果。 用公式法化简逻辑函数，需要对逻辑代数的基本公式和 常用公式比较熟悉，它没有固定的规律，适于化简变量比较 多的逻辑函数。 1.卡诺图化简逻辑函数的理论依据 由于卡诺图中几何位置相邻的最小项符合逻辑相邻 的原则，而逻辑函数化简的实质就是合并逻辑相邻的 最小项，因此，直接在卡诺图中合并几何相邻的最小 项即可，合并的具体方法是将所有几何相邻的最小项 圈在一起进行合并。 4.3 用卡诺化简逻辑函数 n个变量X1, X2, , Xn的最小项是n个因子的乘积，每个变量 都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出 现一次。一般n个变量的最小项应有2n个。 如A、B、C三个逻辑变量的最小项有（238）个，即： 、 补充 1. 最小项 、 、A(B+C)等则不是最小项。 对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。 对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1； 对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0； 三个变量的所有最小项的真值表 2.最小项的性质 00010000000 00101000000 01000100000 10000001000 01100010000 10100000100 11000000010 11100000001 3.最小项的编号 三个变量的所有最小项的真值表 m0m1m2m3m4m5m6m7 最小项的表示：通常用mi表示最小项，m 表示最小项,下 标i为最小项号。 00010000000 00101000000 01000100000 10000001000 01100010000 10100000100 11000000010 11100000001 4. 逻辑函数的最小项表达式 l为“与或”逻辑表达式； l在“与或”式中的每个乘积项都是最小项。 例1 将化成最小项表达式 = m7m6m3m5 逻辑函数的最小项表达式： 化成最小项表达式 1.去掉非号 2.去括号 例2 将 2.卡诺图的引出 卡诺图：将n变量的全部最小项都用小方块表示，并使具有 逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样, 所得到的图形叫n变量的卡诺图。 逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变 量，就称这两个最小项具有相邻性。 如最小项m6=ABC、与 m7 =ABC具有相邻性。 m7m6 A B 10 1 0 0 1 00011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11 00011110 00 01 11 10 AB CD 三变量卡诺图 四变量卡诺图 两变量卡诺图 m0m1 m2m3 A C C BC A m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 A D B B 2.卡诺图的特点:各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下 左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别，这个重要特 点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。 3.已知逻辑函数画卡诺图 当逻辑函数为最小项表达式时，在卡诺图中找出和表达 式中最小项对应的小方格填上1，其余的小方格填上0（有时 也可用空格表示），就可以得到相应的卡诺图。任何逻辑函 数都等于其卡诺图中为1的方格所对应的最小项之和。 例1：画出逻辑函数 L(A, B, C, D)=(0, 1, 2, 3, 4, 8, 10, 11, 14, 15)的卡诺图 例2 画出下式的卡诺图 0 0 0 0 0 解 1.将逻辑函数化为最小项表达式 2.填写卡诺图 1.化简的依据 2.化简的步骤 用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下： (4) 将所有包围圈对应的乘积项相加。 (1) 将逻辑函数写成最小项表达式 (2) 按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项， 其对应方格填1，其余方格填0。 (3) 合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组(包围圈)， 每一组含2n个方格，对应每个包围圈写成一个新的乘积 项。本书中包围圈用虚线框表示。 画包围圈时应遵循的原则： （1）包围圈内的方格数一定是2n个，且包围圈必须呈矩形。 （2）循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。 （3）同一方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增 的包围圈中一定要有原有包围圈未曾包围的方格。 （4） 一个包围圈的方格数要尽可能多,包围圈的数目要可能少。 例 :用卡诺图法化简下列逻辑函数 画包围圈合并最小项，得最简与-或表达式 解： 由L 画出卡诺图 (0，2，5，7，8，10，13，15) 0 11 11 1111 111 1 11 0 例: 用卡诺图化简 0 11 11 1111 111 1 11 0 圈0 圈1 请大家练习下列题目 例： 利用卡诺图化简函数Y=m（1，4，5，6，8，12，13，15）。 解： 画出Y的卡诺图，如图1-12所示。 合并“1格”。图中画了1个“四格组”的圈， 4个“两格组”的圈，但这种方案是错误的，因为 “四格组”圈中所有“1格”都被圈过两次。正确 方案是只保留图中四个“两格组”的圈。 写出最简与或表达式 例： 利用卡诺图化简函数 解： 画出Y的卡诺图，如图1-13所示。 合并“1格”。注意四个角上的“1格”应圈在一起进行合并。 写出最简与或表达式: 4.4 含有无关项的逻辑函数化简 一个n变量的逻辑函数共有2n种取值组合，对 应2n个最小项。但是，在某些逻辑问题中，其中 有些取值组合不允许出现，则这些取值组合对应 的函数值是1还是0没有意义，因此在卡诺图中， 可以随意地将不允许出现的取值组合对应的的最 小项方格当作1或0处理。在卡诺图中用表示。 例如,有三个变量A,B,C,它们分别表示一台电动机的正转, 反转和停止命令,A,B,C都为0的时候表示电机不工作.A=1表示 正转,B=1表示反转,C=1表示停止.因为电机任何时候只能执行 其中的一个命令,所以不允许两个或两个以上的变量同时为 1.A,B,C的取值可能是001,010,100,000当中的某一种,而不能 是011,101,110,111中的任何一种.因此A,B,C是一组具有约束 的变量. ABCY 0000 0011 0101 011 1001 101 110 111 逻辑函数中不会出现的变量取值组合所对应的最小项称为约 束项.有些逻辑函数,当变量取某些组合时,函数的值可以任意，既 可以为0也可以为 1,这样的变量组合所对应的最小项称任意项.我 们把约束项和任意项统称为逻辑函数的无关项. 只有对应变量取值出现时,最小项的值才会为1.而约束项对应 的是不会出现的变量取值,任意项对应的取值一般也不会出现.所 以无关项的值总等于0 由无关项加起来所构成的值为0的逻辑表达式称为约束条件. 约束项一般用di表示。 使用卡诺图化简时，充分利用约束项可构成更大