高考数学二轮复习 第2部分 八大难点突破 专项限时集训4 解析几何中的范围、定值和探索性问题

专项限时集训(四)解析几何中的范围、定值和探索性问题(对应学生用书第119页)(限时：60分钟)1(本小题满分14分)(2017盐城市滨海县八滩中学二模)如图4，点A(1，)为椭圆1上一定点，过点A引两直线与椭圆分别交于B，C两点图4(1)求椭圆方程；(2)若直线AB，AC与x轴围成以点A为顶点的等腰三角形，求ABC面积的最大值，并求出此时直线BC的方程解(1)把点A(1，)代入1得n6，故椭圆方程为1.4分(2)显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x轴垂直，因此其斜率必存在，设AB，AC的斜率分别为k1、k2，由得点B的横坐标为x1，点B的纵坐标为y，即B.同理可得点C的坐标为C，k1k20，直线BC的斜率为kBC.设直线BC的方程为yxm，代入方程1得6x22mxm260，xBxCm，xBxC，|BC|xBxC|2，10分|BC|，又点A到直线BC的距离为d，S|BC|d，当m26，即m时，ABC面积取得最大值为.此时，直线BC的方程为yx.14分2(本小题满分14分)(2017江苏省宿迁市三模)如图5，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P在x轴上方)图5(1)若QF2FP，求直线l的方程；(2)设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，是否存在常数，使得k1k2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【导学号：56394100】解(1)因为a24，b23，所以c1，所以F的坐标为(1,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为xmy1，代入椭圆方程1，得(43m2)y26my90，则y1，y2.若QF2FP，即2，则20，解得m，故直线l的方程为x2y0.6分(2)由(1)知，y1y2，y1y2，所以my1y2(y1y2)，由A(2,0)，B(2,0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1my11，x2my21，所以，故存在常数，使得k1k2.14分3(本小题满分16分)如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知R(x0，y0)是椭圆C：1上的一点，从原点O向圆R：(xx0)2(yy0)28作两条切线，分别交椭圆于点P，Q.图6(1)若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；(2)若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求k1k2的值. 【导学号：56394101】解(1)连接OR(图略)设圆R的半径为r，由圆R的方程知r2，因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，所以|OR|r4，即xy16.又点R在椭圆C上，所以1，联立，解得所以圆R的方程为(x2)2(y2)28.6分(2)因为直线OP：yk1x和OQ：yk2x都与圆R相切，所以2，2，化简得(x8)k2x0y0k1y80，(x8)k2x0y0k2y80.所以k1，k2是方程(x8)k22x0y0ky80的两个不相等的实数根，由根与系数的关系，得k1k2，因为点R(x0，y0)在椭圆C上，所以1，即y12x，所以k1k2.16分4(本小题满分16分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|BM|为定值【解】(1)由题意得解得所以椭圆C的方程为y21.4分(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)设P(x0，y0)，则x4y4.当x00时，直线PA的方程为y(x2)令x0，得yM，从而|BM|1yM|.直线PB的方程为yx1.令y0，得xN，从而|AN|2xN|.10分所以|AN|BM|4.当x00时，y01，|BM|2，|AN|2，所以|AN|BM|4.综上，|AN|BM|为