高中数学 第四章 定积分 3 定积分的简单应用教学案 北师大版选修2-2

3 定积分的简单应用 如图问题1：图中阴影部分是由哪些曲线围成？提示：由直线xa，xb和曲线yf(x)和yg(x)围成问题2：你能求得其面积吗？如何求？提示：能，先求由xa，xb和yf(x)围成的曲边梯形面积S1f(x)dx，再求由xa，xb和yg(x)围成的曲边梯形面积S2g(x)dx，则所求阴影部分面积为S1S2.平面图形的面积一般地，设由曲线yf(x)，yg(x)以及直线xa，xb所围成的平面图形的面积为S，则Sf(x)dxg(x)dx，f(x)g(x)定积分在几何中的简单应用主要是求平面图形的面积和旋转体的体积，解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限 不分割型图形面积的求解例1求由抛物线yx24与直线yx2所围成图形的面积思路点拨画出草图，求出直线与抛物线的交点，转化为定积分的计算问题精解详析由得或所以直线yx2与抛物线yx24的交点为(3，5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图形可得S (x2)dx (x24)dx.一点通求由曲线围成图形面积的一般步骤：根据题意画出图形；求交点，确定积分上、下限；确定被积函数；将面积用定积分表示；用牛顿莱布尼兹公式计算定积分，求出结果1由直线x，x，y0与曲线ycos x所围成的封闭图形的面积为()A.B1C. D.解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分cos xdxsin x.答案：D2(山东高考)直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A2 B4C2 D.4解析：由4xx3，解得x0或x2或x2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为4.答案：D3计算由曲线y2x，yx3所围成的图形的面积S.解：作出曲线y2x，yx3的草图，所求面积为如图中的阴影部分的面积解方程组得交点的横坐标x0，x1，因此所求图形面积为Sdxx3dxxx4.分割型图形面积的求解例2求由曲线xy1及直线xy，y3所围成平面图形的面积思路点拨作出直线和曲线的草图，可将所求图形的面积转化为两个曲边梯形面积的和，通过计算定积分来求解，注意确定积分的上、下限精解详析作出曲线xy1，直线xy，y3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积求交点坐标：由得故A；由得或(舍去)，故B(1,1)；由得故C(3,3)，故所求面积SS1S2dx(3x)dx(3xln x)4ln 3.一点通由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的交点坐标后，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图形对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数4由曲线ysin x，ycos x与直线x0，x所围成的平面图形(如下图中的阴影部分)的面积是()A1 B.C. D.22解析：S (cos xsin x)dx (sin xcos x)dx(sin xcos x)(cos xsin x)(1)(1)22.答案：D5求由曲线yx2和直线yx及y2x所围成的平面图形的面积解：由得A(1,1)，由得B(2,4)，如图所示所求面积为S2xdxxdx2xdxx2dx(2xx)dx(2xx2)dxxdx(2xx2)dxx2.简单几何体的体积的求解例3求抛物线y2x2与直线xa(a0)及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周得到的几何体的体积精解详析由a0，各曲线围成的平面图形如图阴影部分所示，V(2x2)2dx4x4dx4x5a5.一点通求旋转体的体积的步骤：建立平面直角坐标系确定旋转曲线函数f(x)确定积分上、下限a，b.计算体积Vf2(x)dx.6ysin x(0x)和x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为()A2 B42C.2 D.解析：Vsin2xdxdx.答案：D7给定一个边长为a的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，则它的体积为_解析：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则BC的方程：ya.则该旋转体即圆柱的体积为：a2dxa2xa3.答案：a31求由曲线围成的图形的面积时，若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上、下限2由曲线yf(x)，直线xa，xb(ab)以及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周得到的旋转体的体积为Vf2(x)dx. 1曲线ycos x(0x2)与直线y1围成的封闭图形的面积是()A4B.C3 D2解析：如图，求曲线ycos x(0x2)与直线y1围成图形的面积可根据余弦函数图像的对称性转化为求由直线y0，y1，x0，x2围成的矩形的面积故选D.答案：D2如果用1 N的力能将弹簧拉长1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，所耗费的功为()A0.18 J B0.26 JC0.12 J D0.28 J解析：设F(x)kx，当F1 N时，x0.01 m，则k100.W100xdx50x20.18 (J)答案：A3曲线yx22x与直线x1，x1及x轴所围成图形的面积为()A2 B.C. D.解析：S(x22x)dx(x22x)dx2.答案：A4.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.B.C.D.解析：阴影部分的面积为(x)dx，故所求的概率P，故选C.答案：C5.如图是一个质点做直线运动的v t图像，则质点在前6 s内的位移为_解析：直线OA的方程为yx，直线AB的方程为yx9，故质点在前6 s内的位移为x dxdxx2639(m)答案：9 m6.(福建高考)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_解析：因为函数yex与函数yln x互为反函数，其图像关于直线yx对称，又因为函数yex与直线ye的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e1exdx)2e2ex2e(2e2)2，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率P.答案：7求抛物线yx24x3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积解：由y2x4得在点A，B处切线的斜率分别为2和2，则两直线方程分别为y2x2和y2x6，由得两直线交点坐标为C(2,2)，SSABC(x24x3)dx222.8已知抛物线yx22x与直线x0，xa，y0围成的平面图形的面积为，求a的值解：作出yx22x的