高中数学 第三章 函数的应用 3_1_1 方程的根与函数的零点学案 新人教a版必修1

3.1.1方程的根与函数的零点学习目标1.理解函数零点的定义，会求某些函数的零点(重点).2.掌握函数零点的判定方法(重、难点).3.了解函数的零点与方程的根的联系(重点)预习教材P86P88，完成下面问题：知识点1函数的零点(1)概念：函数f(x)的零点是使f(x)0的实数x.(2)函数的零点与函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：【预习评价】(1)函数f(x)x24x的零点是_(2)若2是函数f(x)a2xlog2x的零点，则a_.解析(1)令f(x)0，即x24x0，解得x0或x4，所以f(x)的零点是0和4.(2)由f(2)4a10得a.答案(1)0和4(2)知识点2函数零点的判断(1)条件：函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0.(2)结论：函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)设f(x)，由于f(1)f(1)0，所以f(x)在(1,1)内有零点()(2)若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)0.()(3)若函数f(x)的图象在区间a，b上是一条连续不断的曲线，且f(a)f(b)0.(3)反例：f(x)x(x1)(x2)，区间为(1,3)，满足条件，但f(x)在(1,3)内有0,1,2三个零点题型一函数零点的概念及求法【例1】(1)函数y1的零点是()A(1,0)Bx1Cx1Dx0(2)设函数f(x)21x4，g(x)1log2(x3)，则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为_(3)若3是函数f(x)x2mx的一个零点，则m_.解析(1)令10，解得x1，故选B(2)令f(x)21x40解得x1，即f(x)的零点为1，令g(x)1log2(x3)0，解得x1，所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为2.(3)由f(3)323m0解得m3.答案(1)B(2)2(3)3规律方法函数零点的两种求法(1)代数法：求方程f(x)0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点(2)几何法：与函数yf(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点【训练1】函数f(x)axb有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点是_解析函数f(x)axb有一个零点是2，2ab0b2a，g(x)bx2ax2ax2axax(2x1)，ax(2x1)0x0，x，函数g(x)bx2ax的零点是0，.答案0，题型二确定函数零点的个数【例2】判断下列函数零点的个数(1)f(x)x2x；(2)f(x)ln xx23.解(1)由f(x)0，即x2x0，得240，所以方程x2x0没有实数根，即f(x)零点的个数为0.(2)法一函数对应的方程为ln xx230，所以原函数零点的个数即为函数yln x与y3x2的图象交点个数在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图)由图象知，函数y3x2与yln x的图象只有一个交点从而方程ln xx230有一个根，即函数yln xx23有一个零点法二由于f(1)ln 112320，所以f(1)f(2)0，且x1)的图象有两个交点故函数f(x)ln x的零点有2个答案C题型三判断函数零点所在的区间【例3】(1)二次函数f(x)ax2bxc的部分对应值如下表：x32101234y6m4664n6不求a，b，c的值，判断方程ax2bxc0的两根所在区间是()A(3，1)和(2,4)B(3，1)和(1,1)C(1,1)和(1,2)D(，3)和(4，)(2)已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,4)D(4，)解析(1)易知f(x)ax2bxc的图象是一条连续不断的曲线，又f(3)f(1)6(4)240，f(2)3log2220，f(4)20，由零点存在性定理，可知包含f(x)零点的区间是(2,4)答案(1)A(2)C规律方法确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上(2)利用函数零点存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若f(a)f(b)0.所以方程2x24x30有两个根，即f(x)有两个零点答案C2函数f(x)4x2x2的零点是()A(1,0)B1CD1解析由f(x)4x2x2(2x2)(2x1)0得2x2，解得x1.答案B3函数f(x)2x的零点所在的区间是()A(1，)BCD解析f(1)211，f2220，即ff(1)0，且f(x)的图象在内是一条连续不断的曲线，故f(x)的零点所在的区间是.答案B4函数f(x)x22x在R上的零点个数是_解析由题意可知，函数f(x)x22x的零点个数，等价于函数y2x，yx2的图象交点个数如图，画出函数y2x，yx2的大致图象由图象可知有3个交点，即f(x)x22x有3个零点答案35若是函数f(x)2x2ax3的一个零点，求f(x)的零点解由f2a30得a5，则f(x)2x25x3，令f(x)0，即2x25x30，解得x1，x21，所以f(x)的零点是和1.课堂小结1在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点2方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图象与x轴交点的横坐标3函数与方程有着密切的联系，有些方程问