高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 三 反证法与放缩法同步配套教学案 新人教a版选修4-5

三 反证法与放缩法 对应学生用书P241反证法(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，从此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立(2)反证法证明不等式的一般步骤：假设命题不成立；依据假设推理论证；推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立2放缩法(1)放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的(2)放缩法的理论依据有：不等式的传递性；等量加不等量为不等量；同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较 对应学生用书P24利用反证法证明不等式例1已知f(x)x2pxq.求证：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.思路点拨“不小于”的反面是“小于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”证明(1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则|f(1)|2|f(2)|f(3)|2.而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)2矛盾，|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性、存在性命题可考虑反证法如证明中含“至多”，“至少”，“不能”等词语的不等式(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用1实数a，b，c不全为0的等价条件为()Aa，b，c均不为0Ba，b，c中至多有一个为0Ca，b，c中至少有一个为0Da，b，c中至少有一个不为0解析：“不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是“至少有一个不为0”答案：D2证明：三个互不相等的正数a，b，c成等差数列，则a，b，c不可能成等比数列证明：假设a，b，c成等比数列，则b2ac.又a，b，c成等差数列abd，cbd(其中d公差)acb2(bd)(bd)b2b2d2.d20，d0.这与已知中a，b，c互不相等矛盾假设不成立a，b，c不可能成等比数列3已知函数yf(x)在R上是增函数，且f(a)f(b)f(b)f(a)，求证：ab.证明：假设ab.当ab时，ab则有f(a)f(b)，f(a)f(b)，于是f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾当ab时，af(b)，f(b)f(a)，于是有f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾故假设不成立a(xyz)思路点拨解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明证明 |x|x.同理可得：y，z，由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加得：(xyz)(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的4设n是正整数，求证：1.证明：由2nnkn(k1,2，n)，得.当k1时，；当k2时，；当kn时，将以上n个不等式相加得：1.5设f(x)x2x13，a，b0,1，求证：|f(a)f(b)|b与ab与a1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数证明：假设a，b，c，d都是非负数由abcd1知：a，b，c，d0,1从而ac，bd.acbd1.即acbd1.与已知acbd1矛盾，a，b，c，d中至少有一个是负数9求证：2.证明：因为，所以11(1)()()22.10证明抛物线xy2上，不存在关于直线xy10对称的两点证明：假设抛物线xy2上存在两点A(a2，a)B(b2，b)(ab)关于直线xy10对称由kAB1，且A、B的中点在直线xy10上即由得ab1，代入得0.此方程无解，说明假设不成立抛物线xy2上不存