高中数学 第三章 导数及其应用 3_3_3 导数的实际应用教学案 新人教b版选修1-1

3.3.3导数的实际应用学习目标1.能利用导数解决实际问题.2.提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归与转化的意识知识链接设两正数之和为常数c，能否借助导数求两数之积的最大值，并由此证明不等式(a，b0)?答：设一个正数为x，则另一个正数为cx，两数之积为f(x)x(cx)cxx2(0x0，b0)，即(a，b0)，当且仅当ab时等号成立预习导引1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2利用导数解决优化问题的实质是求函数最值3解决优化问题的基本思路是上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.要点一用料最省问题例1有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解如图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点C距点D为x千米，则BC，又设总的水管费用为y元，依题意有y3a(50x)5a(0x50)y3a.令y0，解得x30或x30(舍去)在(0,50)上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x30处取得最小值，此时AC50x20 (千米)供水站建在A、D之间距甲厂20千米处，可使水管费用最省规律方法用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答跟踪演练1一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？解设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系得pkv3，其中k为比例系数，它可以由v10，p6求得，即k0.006，于是有p0.006v3.又设当船的速度为每小时v海里时，行1海里所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是0.006v396(元)，而航行1海里所需时间为小时，所以，航行1海里的总费用为：q(0.006v396)0.006v2.q0.012v(v38000)，令q0，解得v20.当v20时，q20时，q0，当v20时取得最小值，即速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小要点二面积、容积的最值问题例2如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解设广告的高和宽分别为xcm，ycm，则每栏的高和宽分别为(x20)cm，cm，其中x20，y25.两栏面积之和为2(x20)18000，由此得y25.广告的面积Sxyx25x，S2525.令S0得x140，令S0得20x0)；固定部分为a元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，全程运输成本为yabv2s，所求函数为ys，定义域(0，c(2)由题意s、a、b、v均为正数由ys0得v.但v(0，c若c，则当v时，全程运输成本y最小；若c，则v(0，c，此时yc时，行驶速度vc.规律方法正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路另外需注意：合理选择变量，正确给出函数关系式与实际问题相联系必要时注意分类讨论思想的应用跟踪演练3已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C1004q，价格p与产量q的函数关系式为p25q.求产量q为何值时，利润L最大？解收入Rqpq25qq2，利润LRC(1004q)q221q100(0q0)S(x34V)令S0，得x.则x是函数在(0，)上的一个极值点，且是S的最小值点3在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解设箱底边长为xcm，则箱高hcm，箱子容积V(x)x2h(0x60)V(x)60xx2令V(x)60xx20，解得x0 (不合题意，舍去)或x40，因为x(0,40)时V(x)0，V(x)是增函数，x(40,60)时V(x)0，V(x)是减函数所以x40时V(x)取极大值，也是最大值，并求得V(40)16000.即当底面边长为40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3.4统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为yx3x8(0x120)已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)x2(0x120)，h(x)(0x120)令h(x)0，得x80.因为x(0,80)时，h(x)0，h(x)是增函数，所以当x80时，h(x)取得极小值h(80)11.25(升)因为h(x)在(0,120上只有一个极小值，所以它是最小值即汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路与方法，需要特别注意：(1)合理选择变量并确定变量的范围，正确给出函