高中数学 第二章 解析几何初步 1_5 第1课时 两点间的距离公式学案 北师大版必修2

第1课时两点间的距离公式学习目标1.掌握两点间距离公式，并能简单应用.2.初步体会解析法研究几何问题.3.会解决简单的对称问题知识点两点间的距离公式已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，思考1当x1x2，y1y2时，|P1P2|？思考2当x1x2，y1y2时，|P1P2|？思考3当x1x2，y1y2时，|P1P2|？梳理两点间的距离公式如图，在Rt P1QP2中，|P1P2|2|P1Q|2|QP2|2，所以|P1P2|.即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|.类型一两点间的距离问题例1如图，已知ABC的三顶点A(3,1)，B(3，3)，C(1,7)，(1)判断ABC的形状；(2)求ABC的面积反思与感悟(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理跟踪训练1已知点A(1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|PB|，并求|PA|的值类型二对称问题例2(1)求点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点P的坐标；(2)求直线3xy40关于点(2，1)的对称直线l的方程反思与感悟(1)点关于点的对称问题：若两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于点P(x0，y0)对称，则点P是线段AB的中点，并且(2)直线关于点的对称问题：若两条直线l1，l2关于点P对称，则：l1上任意一点关于点P的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于点P的对称点必在l1上；若l1l2，则点P到直线l1，l2的距离相等；过点P作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则点P是线段AB的中点跟踪训练2与直线2x3y60关于点(1，1)对称的直线方程是()A3x2y20 B2x3y70C3x2y120 D2x3y80例3点P(3,4)关于直线xy20的对称点Q的坐标是()A(2,1) B(2,5)C(2，5) D(4，3)反思与感悟(1)点关于直线的对称问题求点P(x0，y0)关于直线AxByC0的对称点P(x，y)时，利用可以求P点的坐标(2)直线关于直线的对称问题：若两条直线l1，l2关于直线l对称，l1上任意一点关于直线l的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于直线l的对称点必在l1上；过直线l上的一点P且垂直于直线l作一直线与l1，l2分别交于点A，B，则点P是线段AB的中点跟踪训练3一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x6y25反射后通过点P(4,3)，求反射光线的方程类型三运用坐标法解决平面几何问题例4在ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2|AC|22(|AD|2|DC|2)反思与感悟利用坐标法解平面几何问题常见的步骤(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上(2)用坐标表示有关的量(3)将几何关系转化为坐标运算(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系跟踪训练4已知：等腰梯形ABCD中，ABDC，对角线为AC和BD.求证：|AC|BD|.1已知点A(2，1)，B(a,3)，且|AB|5，则a的值为()A1 B5 C1或5 D1或52已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(2，3)，则点P(x，y)到原点的距离是()A2 B4 C5 D.3已知ABC的三个顶点是A(a,0)、B(a,0)和C(，a)，则ABC的形状是()A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D斜三角形4点A在第四象限，点A到x轴的距离为3，到原点的距离为5，则点A的坐标为_5已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为_1两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想2有关对称问题的两种主要类型(1)中心对称：点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P(x，y)满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(2)轴对称：点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点为A(m，n)，则有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决答案精析问题导学知识点思考1|P1P2|x2x1|.思考2|P1P2|y2y1|.思考3|P1P2|题型探究例1解(1)方法一|AB|，|AC|，又|BC|，|AB|2|AC|2|BC|2，且|AB|AC|，ABC是等腰直角三角形方法二kAC，kAB，kACkAB1，ACAB.又|AC|，|AB|，|AC|AB|，ABC是等腰直角三角形(2)SABC|AC|AB|()226，ABC的面积为26.跟踪训练1解设P(x,0)，|PA|，|PB|，|PA|PB|，得x1，P(1,0)，|PA|2.例2解(1)根据题意可知，点A(a，b)为线段PP的中点，设P点的坐标为(x，y)，则根据中点坐标公式，得所以所以点P的坐标为(2ax0,2by0)(2)方法一设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则M点关于点(2，1)的对称点为M1(4x，2y)，且M1在直线3xy40上，所以3(4x)(2y)40，即3xy100.所以所求直线l的方程为3xy100.方法二在直线3xy40上取两点A(0，4)，B(1，1)，则点A(0，4)关于点(2，1)的对称点为A1(4,2)，点B(1，1)关于点(2，1)的对称点为B1(3，1)可得直线A1B1的方程为3xy100，即所求直线l的方程为3xy100.跟踪训练2D例3B设对称点坐标为(a，b)，由题意，得解得即Q(2,5)跟踪训练3解设原点关于直线l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在直线l上，得解得点A的坐标为(4,3)反射光线的反向延长线过点A(4,3)，又反射光线过点P(4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y3.由方程组解得由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y3(x)例4证明设BC所在边为x轴，以D为原点，建立直角坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a,0)，则B(a,0)|AB|2(ab)2c2，|AC|2(ab)2c2，|AD|2b2c2，|DC|2a2，|AB|2|AC|22(a2b2c2)，|AD|2|DC|2a2b2c2，|AB|2|AC|22(|AD|2|DC|2)跟踪训练4证明如图所示，建立直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)