高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第36讲 数列通项的求法一（归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法）

第36讲 数列通项的求法一（归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法）【知识要点】一、数列的通项公式如果数列的第项和项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.即.不是每一个数列都有通项公式.不是每一个数列只有一个通项公式.二、数列的通项的常见求法：通项五法 1、归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据与项数的关系，猜想数列的通项公式，最后再证明.2、公式法：若在已知数列中存在：的关系，可采用求等差数列、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在已知数列中存在：的关系，可以利用项和公式，求数列的通项.3、累加法：若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累加法”求通项. 4、累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累乘法”求通项. 5、构造法：(见下一讲)【方法讲评】方法一归纳法使用情景已知数列的首项和递推公式解题步骤观察、归纳、猜想、证明.【例1】在数列中，且，（1）求的值；（2）猜测数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【点评】（1）本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明.（2）归纳法在主观题中一般用的比较少，一是因为它要给予严格的证明，二是有时数列的通项并不好猜想.如果其它方法实在不行，再考虑利用归纳法.【反馈检测1】在单调递增数列中，且成等差数列，成等比数列，（1）分别计算，和，的值；（2）求数列的通项公式（将用表示）；（3）设数列的前项和为，证明：，方法二公式法使用情景已知数列是等差数列或等比数列或已知.解题步骤已知数列是等差数列或等比数列，先求出等差（比）数列的基本量，再代入等差（比）数列的通项公式；已知的关系，可以利用项和公式，求数列的通项. 【例2】已知数列，是其前项的和，且满足，对一切都有成立，设（1）求；（2）求证：数列 是等比数列；（3）求使成立的最小正整数的值【点评】利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项.【反馈检测2】已知等比数列中，,公比,又分别是某等差数列的第项，第项，第项.(1)求；(2)设,求数列的前项和.【例3】数列的前n项和为，=1， ( n),求的通项公式.【点评】（1）已知，一般利用和差法.如果已知也可以采用和差法.（2）利用此法求数列的通项时，一定要注意检验是否满足，能并则并，不并则分.【例4】已知函数 ，是数列的前项和，点（）在曲线上.（）求数列的通项公式；（）若，且是数列的前项和. 试问是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.【解析】（）因为点在曲线上，又，所以.当时，.当时，所以.（）因为 所以 得 .整理得， 方法一 利用差值比较法由式得，所以因为，所以.又，所以所以，所以. 所以Tn存在最大值方法三 利用放缩法由式得，又因为是数列的前项和，所以. 所以所以存在最大值.【反馈检测3】已知数列的前n项和()，求的通项公式.方法三累加法使用情景在已知数列中相邻两项存在：的关系解题步骤先给递推式中的从2开始赋值，一直到，一共得到个式子，再把这个式子左右两边对应相加化简，即得到数列的通项.【例4】已知数列，为数列的前项和，为数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）求证：.【解析】（1）法一：，【点评】（1）本题，符合累加法的使用情景，所以用累加法求数列的通项.（2）使用累加法时，注意等式的个数，是个，不是个.【反馈检测4】已知数列满足，求数列的通项公式.方法四累乘法使用情景若在已知数列中相邻两项存在：的关系.解题步骤先给递推式中的从2开始赋值，一直到，一共得到个式子，再把这个式子左右两边对应相乘化简，即得到数列的通项.【例5】已知数列满足【点评】（1）由已知得符合累乘法求数列通项的情景，所以使用累乘法求该数列的通项.（2）使用累乘法求数列的通项时，只要写出个等式就可以了，不必写个等式.【反馈检测5】 已知数列满足，求数列的通项公式.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第36讲：数列通项的求法一（归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法）参考答案【反馈检测1答案】，.当时，猜想成立；假设时，猜想成立，即,，那么, 时，猜想也成立由，根据数学归纳法原理，对任意的，猜想成立 当为奇数时，； 当为偶数时， 即数列的通项公式为 （方法2）由（2）得以下用数学归纳法证明，当时，；当时，时，不等式成立 假设时，不等式成立，即，那么，当为奇数时，；当为偶数时， 时，不等式也成立综上所述：【反馈检测2答案】（1）；(2) =.【反馈检测3答案】【反馈检测4答案】【反馈检测4详细解析】由得则 所以【反馈检测5答案】【反馈检测