高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2_1_1 曲线与方程的概念学案 新人教b版选修2-1

2.1.1曲线与方程的概念学习目标1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法知识点一曲线与方程的概念思考1设平面内有一动点P，属于下列集合的点组成什么图形？(1)P|PAPB(A，B是两个定点)；(2)P|PO3 cm(O为定点)思考2到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？梳理一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的_一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)0的形式，其中F(x，y)是关于x，y的解析式在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)0之间具有如下关系：_都是方程F(x，y)0的解；以方程F(x，y)0的解为坐标的点都在_C上那么，方程F(x，y)0叫做_；曲线C叫做_知识点二曲线的方程与方程的曲线解读思考1曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解，能否说f(x，y)0是曲线C的方程？试举例说明思考2方程0 能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线？方程xy0呢？梳理(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法曲线C的点集和方程f(x，y)0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上定义中的条件说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了_关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质类型一曲线与方程的概念理解与应用命题角度1曲线与方程的判定例1命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是正确的，下列命题中正确的是()A方程f(x，y)0的曲线是CB方程f(x，y)0的曲线不一定是CCf(x，y)0是曲线C的方程D以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上反思与感悟解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程跟踪训练1设方程f(x，y)0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是()A坐标满足方程f(x，y)0的点都不在曲线C上B曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)0C坐标满足方程f(x，y)0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)0命题角度2曲线与方程的概念应用例2证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xyk.反思与感悟解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程跟踪训练2写出方程(xy1)0表示的曲线类型二曲线与方程关系的应用例3已知方程x2(y1)210.(1)判断点P(1，2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值反思与感悟判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断跟踪训练3若曲线y2xy2xk0过点(a，a)(aR)，求k的取值范围1曲线f(x，y)0关于直线xy30对称的曲线方程为()Af(x3，y)0 Bf(y3，x)0Cf(y3，x3)0 Df(y3，x3)02方程xy2x2y2x所表示的曲线()A关于x轴对称 B关于y轴对称C关于原点对称 D关于直线xy0对称3方程4x2y26x3y0表示的图形为_4若曲线ax2by24过点A(0，2)，B(，)，则a_，b_.5方程(x24)2(y24)20表示的图形是_1判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上2已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题提醒：完成作业第二章2.1.1答案精析问题导学知识点一思考1(1)线段AB的垂直平分线；(2)以O为圆心，3 cm为半径的圆思考2yx.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0x0或y0x0，即(x0，y0)是方程yx的解；反之，如果(x0，y0)是方程yx或yx的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等梳理轨迹方程曲线C上点的坐标曲线曲线的方程方程的曲线知识点二思考1不能还要验证以方程f(x，y)0的解为坐标的点是否都在曲线上例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与“方程x2y24”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2y24.思考2方程0不能表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线因为第一、三象限角平分线上的点不全是方程0的解例如，点A(2，2)不满足方程，但点A是第一、三象限角平分线上的点方程xy0能够表示第一、三象限的角平分线梳理(2)一一对应题型探究例1B跟踪训练1D例2证明如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|y0|k，即(x0，y0)是方程xyk的解设点M1的坐标(x1，y1)是方程xyk的解，则x1y1k，即|x1|y1|k.而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点由可知，xyk是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k0)的点的轨迹方程跟踪训练2解由方程(xy1)0可得或0.即xy10(x1)或x1，方程表示直线x1和射线xy10(x1)例3解(1)12(21)210，()2(31)2610，P(1，2)在方程x2(y1)210表示的曲线上，Q(，3)不在此曲线上(2)M在方程x2(y1)210表示的曲线上，2(m1)210.解得m2或m.跟踪训练3解曲线y2xy2xk0