高中数学 2_4 逆变换与逆矩阵 2_4_1 逆矩阵的概念教学案 苏教版选修4-2

24.1逆矩阵的概念1逆矩阵的定义对于二阶矩阵A、B，若有ABBAE，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，记为A1.2逆矩阵的性质(1)若二阶矩阵A、B均可逆，则AB也可逆，且(AB)1B1A1.(2)已知A、B、C为二阶矩阵且ABAC，若A存在逆矩阵，则BC.3逆矩阵的求法(1)公式法：对于二阶矩阵A，若adbc0，则A必可逆，且A1.(2)待定系数法(3)逆变换法逆矩阵的求法例1求矩阵A的逆矩阵思路点拨设出逆矩阵，利用待定系数法求解或直接利用公式法求解精解详析法一：待定系数法：设A1，则 .即，故解得x1，z2，y2，w3，从而A的逆矩阵为A1.法二：公式法：adbc312210，A1.用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵A的逆矩阵A1，再由AA1E得相等矩阵，最后利用相等矩阵的概念求出A1.1(江苏高考)已知矩阵A，B，求矩阵A1B.解：设矩阵A的逆矩阵为，则 ，即故a1，b0，c0，d，从而A的逆矩阵为A1，所以A1B .2已知矩阵M所对应的线性变换把点A(x，y)变成点A(13,5)，试求M的逆矩阵及点A的坐标解：由M，得2(1)(3)110，故M 1.从而由 得 ，故即A(2，3)为所求例2用几何变换的观点求下列矩阵的逆矩阵(1)A；(2)B.思路点拨A为伸压变换矩阵，B为旋转变换矩阵，只需找到它们的逆变换，再写出逆变换对应的矩阵即为所求精解详析(1)矩阵A为伸压变换矩阵，它对应的几何变换为平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x轴方向拉伸为原来2倍的伸缩变换，因此它存在逆变换TA1：将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x轴方向压缩为原来的，所对应的变换矩阵为A1.(2)矩阵B为旋转变换矩阵，它对应的几何变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转90.它存在逆变换TB1：将平面内的点绕原点逆时针旋转90，所对应的变换矩阵为B1.从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换，就是观察在变换下是否能“走过去又能走回来”，即对应的变换是一一映射关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变换等常用变换对应的矩阵，根据矩阵对应的几何变换找出其逆变换，再写出逆变换对应的矩阵，即为所求逆矩阵3已知矩阵A，求A1.解：矩阵A对应的变换是旋转变换R240，它的逆变换是R240A1.4已知矩阵A，求A1.解：因矩阵A所对应的变换为伸缩变换，所以A1.逆矩阵的概念与性质的应用例3若矩阵A，B，求矩阵AB的逆矩阵思路点拨根据公式(AB)1B1A1，先求出B1、A1，再利用矩阵乘法求解精解详析因为矩阵A所对应的变换为伸缩变换，所以A1.而矩阵B对应的变换为切变变换，其逆矩阵B1，(AB)1B1A1.(1)要避免犯如下错误(AB)1A1B1.(2)此题也可以先求出AB再求其逆5已知A ，求A1.解：设M，N，则AMN.110(1)10，M1，同理N1.由逆矩阵的性质，得A1(MN)1N1M1 .6若矩阵A，B，求曲线x2y21在矩阵(AB)1变换下的曲线方程解：(AB)1B1A1 .设P(x，y)是圆x2y21上任意一点，P点在(AB)1对应变换下变成Q(x，y)则 .故P(x2y，y)又P点在圆上，(x2y)2(y)21.展开整理为(x)24xy5(y)21.故所求曲线方程为x24xy5y21.例4已知矩阵A，B，C，求满足AXBC的矩阵X.思路点拨由AXBC得XA1CB1，从而求解精解详析A1，B1，XA1CB1 .此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩阵，若位置错误，则得不到正确结果，原因是矩阵乘法并不满足交换律7已知矩阵A.若矩阵X满足AX，试求矩阵X.解：设A1，则，即，所以解得故所求的逆矩阵A1.因为AX，所以A1AXA1，所以XA1 .8若点A(2,2)在矩阵M对应变换的作用下得到的点为B(2,2)，求矩阵M的逆矩阵解：因为M，即，所以解得所以M.法一：由M，知M是绕原点O逆时针旋转90的旋转变换矩阵，于是M1.法二：由M，则adbc10.M1.1求下列矩阵的逆矩阵(1)A；(2)B.解：法一：利用逆矩阵公式(1)注意到132110，故A存在逆矩阵A1，且A1.(2)注意到254320，故B存在逆矩阵B1，且B1.法二：利用待定系数法(1)设矩阵A的逆矩阵为，则 ，即.故解得a3，c2，b1，d1.从而A1.(2)设矩阵B的逆矩阵为，则 ，即.故解得x，z2，y，w1.从而B1.2已知可逆矩阵A的逆矩阵A1，求a，b的值解：根据题意，得AA1E，所以 ，即，所以解得a5，b3.3已知A，B，求证B是A的逆矩阵证明：因为A，B，所以AB ，BA ，所以B是A的逆矩阵4求矩阵乘积AB的逆矩阵(1)A，B；(2)A，B.解：(1)(AB)1B1A1 .(2)(AB)1B1A1 .5已知变换矩阵A把平面上的点P(2，1)，Q(1,2)分别变换成点P1(3，4)，Q1(0,5)(1)求变换矩阵A；(2)判断变换矩阵A是否可逆，如果可逆，求矩阵A的逆矩阵A1；如果不可逆，请说明理由解：(1)设A，依题意，得 ， ，即解得所以A.(2)变换矩阵A是可逆的，理由如下：设矩阵A的逆矩阵为，则由 ，得解得故矩阵A的逆矩阵为A1.6已知矩阵M，N，试求曲线ycos x在矩阵M1N对应的线性变换作用下的函数解析式解：M1，M1N . 即代入ycos x得ycos 2x故曲线ycos x在矩阵M1N对应的变换作用下解析式为y2cos 2x.7已知矩阵A.(1)求矩阵A的逆矩阵B；(2)若直线l经过矩阵B变换后的方程为yx，求直线l的方程解：(1)设矩阵A的逆矩阵为B，则 ，得解得所以B.(2)设直线l上任一点P(x，y)经过B对应变换变为点P(x，y)，则 ，即又yx，所以2xyxy，即直线l的方程为7x3y0.8已知曲线C在矩阵对应的变换作用下的象为x2y21，求曲线C的方程解：矩阵对应的变换为：平面内点的纵坐标沿y轴方向缩短为原来的，横坐标沿x轴方向缩短为原来的，其逆变换为：将平面内点的纵坐标沿y轴方向拉伸为原来的2倍，横坐标沿x轴方向拉伸为原来的3倍，故1.设圆x2y21上