高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 1_2 椭圆的简单性质（一）学案 北师大版选修2-1

1.2椭圆的简单性质(一)学习目标1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形.知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考1观察椭圆1(ab0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？思考2在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？梳理椭圆的简单性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程_(ab0)_(ab0)图形焦点坐标对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)范围|x|_，|y|_|x|_，|y|_长轴、短轴长轴A1A2长为_，短轴B1B2长为_知识点二椭圆的离心率思考如何刻画椭圆的扁圆程度？梳理(1)椭圆的焦距与长轴长的比e_称为椭圆的离心率.(2)对于1，b越小，对应的椭圆越_，反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当ab时，c0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x2y2a2.(如图)类型一由椭圆方程研究其简单性质例1求椭圆9x216y2144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.引申探究本例中若把椭圆方程改为“9x216y21”求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量.跟踪训练1求椭圆9x2y281的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.类型二椭圆的性质的简单应用命题角度1依据椭圆的性质求标准方程例2如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为，求这个椭圆的方程. 反思与感悟此类问题应由所给的性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置.跟踪训练2根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，6)；(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.命题角度2对称性问题例3讨论方程x3yx2y2xy31所表示的曲线关于x轴，y轴，原点的对称性.反思与感悟研究曲线关于x轴，y轴，原点的对称性，只需用“y”代替方程中的“y”，用“x”代替方程中的“x”，同时代替，若方程不变，则得到相应的对称性.跟踪训练3曲线x22y10的对称轴为()A.x轴 B.y轴C.直线yx D.无法确定类型三椭圆的离心率的求解例4已知椭圆1(ab0)的两个焦点分别为F1，F2，斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A，B，与y轴的交点为C，且B为线段CF1的中点，若|k|，求椭圆离心率e的取值范围.反思与感悟求e的取值范围有以下几个步骤(1)切入点：已知|k|，求e的取值范围，需建立关于e的不等式.(2)思考点：e与k有什么关系？建立e与k的等量关系式；利用B在椭圆上且为CF1的中点，构建关于e与k的等式；如何求e的范围？先用e表示k，再利用|k|，求e的取值范围.(3)解题流程：先写出l的方程，求出B点的坐标，由点B在椭圆上，建立e与k的关系式，再求e的范围.跟踪训练4已知点P(m,4)是椭圆1(ab0)上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若PF1F2的内切圆的半径为，则此椭圆的离心率为_.1.已知椭圆的方程为2x23y2m(m0)，则此椭圆的离心率为()A. B. C. D.2.与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是()A.1 B.x21C.y21 D.13.若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为_.4.已知点(m，n)在椭圆8x23y224上，则2m4的取值范围是_.5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为_.1.可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题.而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理.2.椭圆的定义式：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|PF2|看成一个整体灵活应用.3.利用正弦、余弦定理处理PF1F2的有关问题.4.椭圆上的点到一焦点的最大距离为ac，最小距离为ac.提醒：完成作业第三章11.2(一)答案精析问题导学知识点一思考1(1)范围：axa，byb；(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b).思考2在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b).梳理11(c,0)(0，c)abba2a2b知识点二思考用离心率刻画扁圆程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁.梳理(1)(2)扁题型探究例1解已知方程化成标准方程为1，于是a4，b3，c ，椭圆的长轴长和短轴长分别是2a8和2b6，离心率e，又知焦点在x轴上，两个焦点坐标分别是(，0)和(，0)，四个顶点坐标分别是(4,0)，(4,0)，(0，3)和(0,3).引申探究解由已知得椭圆标准方程为1，于是a，b，c .长轴长2a，短轴长2b，离心率e.焦点坐标(，0)和(，0)，顶点坐标(，0)，(0，).跟踪训练1解椭圆的标准方程为1，则a9，b3，c6，长轴长2a18; 短轴长2b6；焦点坐标(0,6)，(0，6)；顶点坐标(0,9)，(0，9)，(3,0)，(3,0).离心率e.例2解依题意，设椭圆的方程为1(ab0)，由椭圆的对称性知|B1F|B2F|，又B1FB2F，B1FB2为等腰直角三角形，|OB2|OF|，即bc，|FA|，即ac，且a2b2c2，将上面三式联立，得解得所求椭圆方程为1.跟踪训练2解(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为1(ab0).依题意有解得椭圆方程为1.同样地可求出当焦点在y轴上时，椭圆方程为1.故所求的椭圆方程为1或1.(2)依题意有bc6，a2b2c272，所求的椭圆方程为1.例3解用“y”代替方程x3yx2y2xy31中的“y”，得x3yx2y2xy31，它改变了原方程，因此方程x3yx2y2xy31所表示的曲线不关于x轴对称.同理，方程x3yx2y2xy31所表示的曲线也不关于y轴对称.而用“x”代替原方程中的“x”，用“y”代替原方程中的“y”，得(x)3(y)(x)2(y)2(x)(y)31，即x3yx2y2xy31，故方程x3yx2y2xy31所表示的曲线关于原点对称.跟踪训练3B例4解依题意得F1(c,0)，直线l：yk(xc)，则C(0，kc).因为点B为CF1的中点，所以B(，).因为点B在椭圆上，所以1，即1.所以1，所以k2