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文档简介
1.2椭圆的简单性质(一)学习目标1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程,并利用曲线的方程研究它的性质、图形.知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考1观察椭圆1(ab0)的形状(如图),你能从图中看出它的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?思考2在画椭圆图形时,怎样才能画的更准确些?梳理椭圆的简单性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程_(ab0)_(ab0)图形焦点坐标对称性关于x轴、y轴轴对称,关于坐标原点中心对称顶点坐标A1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a),B1(b,0),B2(b,0)范围|x|_,|y|_|x|_,|y|_长轴、短轴长轴A1A2长为_,短轴B1B2长为_知识点二椭圆的离心率思考如何刻画椭圆的扁圆程度?梳理(1)椭圆的焦距与长轴长的比e_称为椭圆的离心率.(2)对于1,b越小,对应的椭圆越_,反之,e越接近于0,c就越接近于0,从而b越接近于a,这时椭圆越接近于圆,于是,当且仅当ab时,c0,两焦点重合,图形变成圆,方程变为x2y2a2.(如图)类型一由椭圆方程研究其简单性质例1求椭圆9x216y2144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.引申探究本例中若把椭圆方程改为“9x216y21”求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,再利用a,b,c之间的关系和定义,求椭圆的基本量.跟踪训练1求椭圆9x2y281的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.类型二椭圆的性质的简单应用命题角度1依据椭圆的性质求标准方程例2如图所示,已知椭圆的中心在原点,它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1,B2的连线互相垂直,且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为,求这个椭圆的方程. 反思与感悟此类问题应由所给的性质充分找出a,b,c所应满足的关系式,进而求出a,b,在求解时,需注意椭圆的焦点位置.跟踪训练2根据下列条件,求中心在原点,对称轴在坐标轴上的椭圆方程:(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,6);(2)焦点在x轴上,一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直,且半焦距为6.命题角度2对称性问题例3讨论方程x3yx2y2xy31所表示的曲线关于x轴,y轴,原点的对称性.反思与感悟研究曲线关于x轴,y轴,原点的对称性,只需用“y”代替方程中的“y”,用“x”代替方程中的“x”,同时代替,若方程不变,则得到相应的对称性.跟踪训练3曲线x22y10的对称轴为()A.x轴 B.y轴C.直线yx D.无法确定类型三椭圆的离心率的求解例4已知椭圆1(ab0)的两个焦点分别为F1,F2,斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A,B,与y轴的交点为C,且B为线段CF1的中点,若|k|,求椭圆离心率e的取值范围.反思与感悟求e的取值范围有以下几个步骤(1)切入点:已知|k|,求e的取值范围,需建立关于e的不等式.(2)思考点:e与k有什么关系?建立e与k的等量关系式;利用B在椭圆上且为CF1的中点,构建关于e与k的等式;如何求e的范围?先用e表示k,再利用|k|,求e的取值范围.(3)解题流程:先写出l的方程,求出B点的坐标,由点B在椭圆上,建立e与k的关系式,再求e的范围.跟踪训练4已知点P(m,4)是椭圆1(ab0)上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,若PF1F2的内切圆的半径为,则此椭圆的离心率为_.1.已知椭圆的方程为2x23y2m(m0),则此椭圆的离心率为()A. B. C. D.2.与椭圆9x24y236有相同焦点,且短轴长为2的椭圆的标准方程是()A.1 B.x21C.y21 D.13.若椭圆的对称轴为坐标轴,且长轴长为10,有一个焦点坐标是(3,0),则此椭圆的标准方程为_.4.已知点(m,n)在椭圆8x23y224上,则2m4的取值范围是_.5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(10,0),则焦点坐标为_.1.可以应用椭圆的定义和方程,把几何问题转化为代数问题,再结合代数知识解题.而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密,因此,涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理.2.椭圆的定义式:|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|),在解题中经常将|PF1|PF2|看成一个整体灵活应用.3.利用正弦、余弦定理处理PF1F2的有关问题.4.椭圆上的点到一焦点的最大距离为ac,最小距离为ac.提醒:完成作业第三章11.2(一)答案精析问题导学知识点一思考1(1)范围:axa,byb;(2)对称性:椭圆关于x轴、y轴、原点都对称;(3)特殊点:顶点A1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b).思考2在画椭圆时,可先画一个矩形,矩形的顶点为(a,b),(a,b),(a,b),(a,b).梳理11(c,0)(0,c)abba2a2b知识点二思考用离心率刻画扁圆程度,e越接近于0,椭圆越接近于圆,反之,越扁.梳理(1)(2)扁题型探究例1解已知方程化成标准方程为1,于是a4,b3,c ,椭圆的长轴长和短轴长分别是2a8和2b6,离心率e,又知焦点在x轴上,两个焦点坐标分别是(,0)和(,0),四个顶点坐标分别是(4,0),(4,0),(0,3)和(0,3).引申探究解由已知得椭圆标准方程为1,于是a,b,c .长轴长2a,短轴长2b,离心率e.焦点坐标(,0)和(,0),顶点坐标(,0),(0,).跟踪训练1解椭圆的标准方程为1,则a9,b3,c6,长轴长2a18; 短轴长2b6;焦点坐标(0,6),(0,6);顶点坐标(0,9),(0,9),(3,0),(3,0).离心率e.例2解依题意,设椭圆的方程为1(ab0),由椭圆的对称性知|B1F|B2F|,又B1FB2F,B1FB2为等腰直角三角形,|OB2|OF|,即bc,|FA|,即ac,且a2b2c2,将上面三式联立,得解得所求椭圆方程为1.跟踪训练2解(1)当焦点在x轴上时,设椭圆方程为1(ab0).依题意有解得椭圆方程为1.同样地可求出当焦点在y轴上时,椭圆方程为1.故所求的椭圆方程为1或1.(2)依题意有bc6,a2b2c272,所求的椭圆方程为1.例3解用“y”代替方程x3yx2y2xy31中的“y”,得x3yx2y2xy31,它改变了原方程,因此方程x3yx2y2xy31所表示的曲线不关于x轴对称.同理,方程x3yx2y2xy31所表示的曲线也不关于y轴对称.而用“x”代替原方程中的“x”,用“y”代替原方程中的“y”,得(x)3(y)(x)2(y)2(x)(y)31,即x3yx2y2xy31,故方程x3yx2y2xy31所表示的曲线关于原点对称.跟踪训练3B例4解依题意得F1(c,0),直线l:yk(xc),则C(0,kc).因为点B为CF1的中点,所以B(,).因为点B在椭圆上,所以1,即1.所以1,所以k2
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