高中数学 课时跟踪训练（十二）直线与平面的夹角 北师大版选修2-1

课时跟踪训练(十二)直线与平面的夹角1已知直线l的一个方向向量为a(1,1,0)，平面的一个法向量为(1,2，2)，则直线l与平面夹角的余弦值为()A.BC D.2已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为4的正方形，长方体的高为AA13，则BC1与对角面BB1D1D夹角的正弦值等于()A. B.C. D.3.如图所示，点P是ABC所在平面外的一点，若PA，PB，PC与平面的夹角均相等，则点P在平面上的投影P是ABC的()A内心 B外心C重心 D垂心4(大纲全国卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1的夹角的正弦值等于()A.B.C.D.5正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的正弦值是_6.如图所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC夹角的正弦值为_7.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，点D是A1B1的中点求直线AD和平面ABC1夹角的正弦值8.如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABDC，AA11，AB3k，AD4k，BC5k，DC6k(k0)(1)求证：CD平面ADD1A1；(2)若直线AA1与平面AB1C夹角的正弦值为，求k的值答 案1选Acosa，则直线l与平面的夹角的正弦值sin |cosa，|，cos .2选C建立如图所示的空间直角坐标系，底面是边长为4的正方形，AA13，A1(4,0,0)，B(4,4,3)，C1(0,4,0)而面BB1D1D的法向量为(4,4,0)，BC1与对角面BB1D1D所成角的正弦值即为|cos，|.3选B由于PA，PB，PC与平面的夹角均相等，所以这三条由点P出发的平面ABC的斜线段相等，故它们在平面ABC内的投影PA，PB，PC也都相等，故点P是ABC的外心4选A法一：如图，连接AC，交BD于点O，由正四棱柱的性质，有ACBD.因为CC1平面ABCD，所以CC1BD.又CC1ACC，所以BD平面CC1O.在平面CC1O内作CHC1O，垂足为H，则BDCH.又BDC1OO，所以CH平面BDC1，连接DH，则DH为CD在平面BDC1上的射影，所以CDH为CD与平面BDC1所成的角设AA12AB2.在RtCOC1中，由等面积变换易求得CH.在RtCDH中，sinCDH.法二：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA12AB2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以有令y2，得平面BDC1的一个法向量为n(2，2,1)设CD与平面BDC1的夹角为，则sin |cosn，|.5解析：如图，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易证是平面A1BD的一个法向量(1,1,1)，(1,0,1)cos，.所以BC1与平面A1BD夹角的正弦值为.答案：6解析：不妨设正三棱柱ABCA1B1C1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(，1,0)，B1(，1,2)，D，则(，2)，(，1,2)，设平面B1DC的法向量为n(x，y,1)，由解得n(，1,1)又，sin |cos，n|.答案：7.解：如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系不妨设AA1，则AB2，相关各点的坐标分别是A(0，1,0)，B(，0,0)，C1(0,1，)，D.易知(，1,0)，(0,2，)，.设平面ABC1的一个法向量为n(x，y，z)，则有解得xy，zy.故可取n(1，)所以cosn，.即直线AD和平面ABC1夹角的正弦值为.8解：(1)证明：取CD的中点E，连接BE，如图ABDE，ABDE3k，四边形ABED为平行四边形，BEAD且BEAD4k.在BCE中，BE4k，CE3k，BC5k，BE2CE2BC2，BEC90，即BECD.又BEAD，CDAD.AA1平面ABCD，CD平面ABCD，AA1CD.又AA1ADA，CD平面ADD1A1.(2)以D为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，(4k,6k,0)，(0,3k,1)，(0,0,1)设平面AB1C的法向量n(x，y，z)，则由得取y2，得n(3,2，6k)设AA1与平面AB1C的夹角为，则s