高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题5 平面解析几何 突破点15 圆锥曲线中的综合问题（酌情自选）专题限时集训 理

系统掌握蕴含其中的马克思主义立场观点方法，要在系统学习、深刻领会、科学把握习近平教育思想上下功夫。精心组织开展学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神知识问答活动。专题限时集训(十五) 圆锥曲线中的综合问题 建议用时：45分钟1(2016中原名校联盟二模)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点B(0，)为短轴的一个端点，OF2B60.图154(1)求椭圆C的方程；(2)如图154，过右焦点F2，且斜率为k(k0)的直线l与椭圆C相交于D，E两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AD分别交直线x3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k.试问kk是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由解(1)由条件可知a2，b，故所求椭圆方程为1.4分(2)设过点F2(1,0)的直线l的方程为yk(x1)由可得(4k23)x28k2x4k2120.5分因为点F2(1,0)在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，即0恒成立设点E(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2.6分因为直线AE的方程为y(x2)，直线AD的方程为y(x2)，令x3，可得M，N，所以点P的坐标.8分直线PF2的斜率为k，所以kk为定值.12分2已知椭圆C：1(ab0)，F1，F2是左右焦点，A，B是长轴两端点，点P(a，b)与F1，F2围成等腰三角形，且SPF1F2.(1)求椭圆C的方程；(2)设点Q是椭圆上异于A，B的动点，直线x4与QA，QB分别交于M，N两点(i)当时，求Q点坐标；()过点M，N，F1三点的圆是否经过x轴上不同于点F1的定点？若经过，求出定点坐标，若不经过，请说明理由解(1)F1(c,0)，F2(c,0)，由题意可得F1F2PF2，(ac)2b24c2.1分由SPF1F2可得，2cbbc.2分两式联立解得a2，b，椭圆的方程为1.4分(2)()，QF1MN，QF1x轴.5分由(1)知，c21，F1(1,0)设Q(1，y)，则有1，y，Q.7分()设Q(x0，y0)，则kQA，直线QA的方程为y(x2)令x4得M点坐标为.9分同理kQB，直线QB的方程为y(x2)，得N点坐标为，10分MN.11分设圆心坐标为O(m，n)，若x轴上存在定点E(，0)满足条件，则有m，n.12分由题意可得(m4)2n2，13分代入得2.即29，整理得7，x轴上存在点E(7,0)满足题意.14分3(2016淄博二模)已知点是等轴双曲线C：1上一点，抛物线x22py(p0)的焦点与双曲线C的一个焦点重合图155(1)求抛物线的方程；(2)若点P是抛物线上的动点，点A，B在x轴上，圆x2(y1)21内切于PAB，求PAB面积的最小值解(1)将代入双曲线可得，1，解得a2，c2a2a2，2分由题意可知，p1，所以抛物线方程为x22y.4分(2)设P(x0，y0)，A(m,0)，B(n,0)，不妨设nm.直线PA的方程：y(xm)，化简得y0x(mx0)ymy00.6分又圆心(0,1)到PA的距离为1，1，上式化简得(y2y0)m22x0y0my0，同理有(y2y0)n22x0y0ny08分所以mn，mn，则(mn)2.10分因P(x0，y0)是抛物线上的点，有x2y0，则(mn)2，易知y02，所以nm.所以SPAB(nm)y0y0(y02)4248.12分当(y02)24时，上式取等号，此时y04，x02.因此SPAB的最小值为8.13分4(2016开封二模)已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点.图156(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求OPQ面积的取值范围. 【导学号：67722057】解(1)由题意可设椭圆方程为1(ab0)，则(其中c2a2b2，c0)，且1，故a2，b1.所以椭圆的方程为y21.4分(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0.故可设直线l：ykxm(m0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y得(14k2)x28kmx4(m21)0，5分则64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0，且x1x2，x1x2.6分故y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，7分因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以k2，即m20.8分又m0，所以k2，即k.9分由于直线OP，OQ的斜率存在，且0，得0m22，且m21.设d为点O到直线l的距离，则d，10分|PQ|，11分所以S|PQ|d1(m21)，故OPQ面积的取值范围为(