高三数学二轮复习1_6_2圆锥曲线的概念与性质与弦有关的计算问题课时巩固过关练理新人教版

我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺课时巩固过关练 十六 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2016石家庄一模)过点A(0,1)作直线,与双曲线x2-y29=1有且只有一个公共点,则符合条件的直线的条数为()A.0B.2C.4D.无数【解析】选C.过点A(0,1)和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点,这样的直线有两条,过点A(0,1)和双曲线相切的直线只有一个公共点,这样的直线也有两条,故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点.2.(2016海口二模)设点P是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上一点,F1,F2分别是椭圆的左,右焦点,I为SPF1F2的内心,若SIPF1+SIPF2=2SIF1F2,则该椭圆的离心率为()A.12B.22C.32D.3-12【解析】选A.因为SIPF1+SIPF2+SIF1F2=SPF1F2,所以3SIF1F2=SPF1F2,设内切圆的半径为r,则有322cr=12(|PF1|+|PF2|+2c)r,整理得|PF1|+|PF2|=4c,即2a=4c,所以e=12.3.(2016唐山二模)椭圆y2+x2m2=1(0m1)上存在点P使得PF1PF2，则m的取值范围是()A.22,1B.0,22C.12,1D.0,12【解析】选B.当点P是短轴的顶点时F1PF2最大，因此若椭圆上存在点P使得PF1PF2，则F1PF290，所以F2PO45(O是原点)，从而ca22，即1-m212，又0m1，所以00)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x【解析】选C.由抛物线定义得：MF=xM+3p4=5，xM=5-3p4yM2=15p-9p24，以MF为直径的圆的方程为(x-xM)(x-xF)+(y-yM)(y-yF)=00-5+3p40-3p4+ (2-yM)(2-0)=0yM=2+15p8-9p232=2+yM28yM=415p-9p24=16，p=43或p=163，C的方程为y2=4x或y2=16x.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2016合肥二模)双曲线M:x2-y2b2=1的左,右焦点分别为F1,F2,记|F1F2|=2c,以坐标原点O为圆心,c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P,若|PF1|=c+2,则P点的横坐标为_.【解析】根据双曲线的定义知PF1-PF2=2,又PF1=c+2,所以PF2=c,由勾股定理得(c+2)2+c2=4c2,即c2-2c-2=0,解得c=3+1,根据OPF2是等边三角形得P点的横坐标为3+12.答案:3+126.(2016邯郸二模)已知F1,F2为x2a2+y2b2=1的左、右焦点,M为椭圆上一点,则MF1F2内切圆的周长等于3,若满足条件的点M恰好有2个,则a2=_.【解析】由题意得内切圆的半径等于32,因此MF1F2的面积为1232(2a+2c) =3(a+c)2,即3(a+c)2=12|yM|2c,因为满足条件的点M恰好有2个,所以M为椭圆短轴端点,即|yM|=4所以3a=5c而a2-c2=16,所以a2=25.答案:25三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.(2016武汉一模)在ABC中,A(-1,0),B(1,0),若ABC的重心G和垂心H满足GH平行于x轴(G,H不重合).(1)求动点C的轨迹I的方程.(2)已知O为坐标原点,若直线AC与以O为圆心,以|OH|为半径的圆相切,求此时直线AC的方程.【解析】(1)由题意可设C(x,y),则Gx3,y3,Hx,y3,BH=x-1,y3,AC=(x+1,y),因为H为垂心,所以BHAC=x2-1+y23=0,整理可得x2+y23=1,即动点C的轨迹I的方程为x2+y23=1(xy0).(2)显然直线AC的斜率存在,设AC方程为y=k(x+1),C(x0,y0).将y=k(x+1)代入x2+y23=1得(3+k2)x2+2k2x+k2-3=0,解得x0=3-k23+k2,y0=6k3+k2,则H3-k23+k2,2k3+k2.原点O到直线AC的距离d=|k|1+k2,依题意可得k21+k2=9-2k2+k49+6k2+k4,即7k4+2k2-9=0,解得k2=1,即k=1或-1,故所求直线AC的方程为y=x+1或y=-x-1.8.(2016江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程.(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);求p的取值范围.【解析】(1)因为l:x-y-2=0,所以l与x轴的交点坐标为(2,0),即抛物线的焦点为(2,0),所以p2=2,所以y2=8x.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则y12=2px1y22=2px2x1=y122p,x2=y222p,则kPQ=y1-y2y122p-y222p=2py1+y2,又因为P,Q关于直线l对称,所以kPQ=-1,即y1+y2=-2p,所以y1+y22=-p,又因为P,Q的中点一定在直线l上,所以x1+x22=y1+y22+2=2-p,所以线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).因为中点坐标为(2-p,-p),y1+y2=-2p,x1+x2=y12+y222p=4-2p,即y1+y2=-2p,y12+y22=8p-4p2,所以y1+y2=-2p,y1y2=4p2-4p,即方程y2+2py+4p2-4p=0有两个不等实根.所以0,(2p)2-4(4p2-4p)0p0,43.【加固训练】(2016无锡二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0),若直线3x+4y+5=0上有且仅有一个点M,使得F1MF2=90.(1)求椭圆C的标准方程.(2)设圆T的圆心T(0,t)在x轴上方,且圆T经过椭圆C两焦点,点P,Q分别为椭圆C和圆T上的一动点,若PQQT=0时,|PQ|取得最大值为52,求实数t的值.【解析】(1)因为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A1(-2,0), A2(2,0),所以a2=2.又因为直线3x+4y+5=0上恰存在一个点M,使得F1MF2=90,即以原点O为圆心,半径为r=|OF1|=c作圆O,使得圆O与直线3x+4y+5=0相切即可.又圆心O到直线3x+4y+5=0的距离d=|30+40+5|32+42=1,所以c=1,b2=a2-c2=1,所以椭圆C的标准方程为x22+y2=1.(2)设P(x0,y0),因为点P在椭圆上,所以有x022+y02=1,因为圆T的圆心T(0,t)在x轴上方,且圆T经过椭圆C两焦点.所以圆T的方程为x2+(y-t)2=t2+1(t0),由PQQT=0得|PQ|2=|PT|2-|QT|2=x02+(y0-t)2-(t2+1),又x022+y02=1,所以|PQ|2=-(y0+t)2+t2+1.当-t-1即t1时,当y0=-1时,|PQ|取得最大值2t,因为|PQ|的最大值为52,所以2t=52,解得t=58,又t1,故舍去.当-t-1即0t1时,当y0=-t时,|PQ|取得最大值t2+1,所以t2+1=52,解得t2=14,又0t1,所以t=12.综上,当t=12时,|PQ|取得最大值52.(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.点P到图形C上所有点的距离的最小值称为点P到图形C的距离,那么平面内到定圆C的距离与到圆C外的定点A的距离相等的点的轨迹是()A.射线B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线【解析】选C.设定圆C的半径为r,由题意知动点P在圆C外,且PC-r=PA,所以PC-PA=r0)上一点,O为坐标原点,若以点M(0,8)为圆心,|OA|的长为半径的圆交抛物线C于A,B两点,且ABO为等边三角形,则p的值是()A.38B.2C.6D.23【解析】选D.由题意知MA=OA,所以点A的纵坐标为4,又ABO为等边三角形,所以点A的横坐标为433,又点A是抛物线C上一点,所以163=2p4,解得p=23.【加固训练】过抛物线C:y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A,B两点,若A到抛物线的准线的距离为4,则|AB|=_.【解析】设A(xA,yA),B(xB,yB),因为y2=4x,所以抛物线的准线为x=-1,F(1,0).又A到抛物线准线的距离为4,所以xA+1=4,所以xA=3.因为xAxB=p24=1,所以xB=13,所以|AB|=xA+xB+p=3+13+2=163.答案:1633.已知焦点在x轴上的椭圆方程为x24a+y2a2+1=1,随着a的增大,该椭圆的形状()A.越接近于圆B.越扁C.先接近于圆后越扁D.先越扁后接近于圆【解题导引】先求a的取值范围,然后写出离心率e的表达式,根据离心率的变化情况选择.【解析】选D.由题意知4aa2+1且a0,解得2-3a0,b0)的右焦点,A为双曲线虚轴的一个顶点,过点F,A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B,若AB=(2-1)AF,则此双曲线的离心率是_.【解题导引】设F(c,0),A(0,b),渐近线方程为y=bax,求出AF的方程与y=bax,联立可得B,利用AB=(2-1)AF,可得a,c的关系,即可求出双曲线的离心率.【解析】设F(c,0),A(0,b),渐近线方程为y=bax,则直线AF的方程为xc+yb=1,与y=bax联立可得Bacc+a,bcc+a,因为AB=(2-1)AF,所以acc+a,bcc+a-b=(2-1)(c,-b),所以c=(2+1)acc+a,所以e=ca=2.答案:2【加固训练】已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.0,32B.0,34C.32,1D.34,1【解析】选A.不妨设左焦点为F2,连接AF2,BF2,由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分,所以四边形AFBF2为平行四边形,所以AF+BF=BF2+BF=2a=4,所以a=2,设M(0,b),所以d=45b45b1,所以e=1-b2a2=1-b241-14=32,又e(0,1),所以e0,32.6.过抛物线y2=4x焦点F的直线交其于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则AOB的面积为_.【解析】设直线AB的倾斜角为(00)与圆C2:x2+y2=5的两个交点之间的距离为4.(1)求p的值.(2)设过抛物线C1的焦点F且斜率为k的直线与抛物线交于A,B两点,与圆C2交于C,D两点,当k0,1时,求|AB|CD|的取值范围.【解析】(1)由题意知交点坐标为(-2,1),(2,1)代入抛物线C1:x2=2py解得p=2.(2)抛物线C1的焦点F(0,1),设直线方程为y=kx+1与抛物线C1:x2=4y联立化简得x2-4kx-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4,所以|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2(4k)2-4(-4)=4(1+k2).圆心C2到直线y=kx+1的距离为d=11+k2,|CD|=25-d2=25-11+k2=25k2+41+k2.|AB|CD|=4(1+k2)25k2+41+k2=8(1+k2)(5k2+4)=85k4+9k2+4,又k0,1,所以|AB|CD|的取值范围为16,242.8.如图,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,右顶点、上顶点分别为点A,B,且|AB|=52|BF|.(1)求椭圆C的离心率.(2)若点M-1617,217在椭圆C内部,过点M的直线l交椭圆C于P、Q两点,M为线段PQ的中点,且OPOQ.求直线l的方程及椭圆C的方程.【解析】(1)由已知|AB|=52|BF|,即a2+b2=52a,4a2+4b2=5a2,4a2+4(a2-c2)=5a2,所以e=ca=32.(2)由(1)知a2=4b2,所以椭圆C:x24b2+y2b2=1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),由x124b2+y12b2=1,x224b2+y22b2=1,可得x12-x224b2+y12-y22b2=0,即(x1+x2)(x1-x2)4b2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,即-3217(x1-x2)4+417(y1-y2)=0,从而kPQ=y1-y2x1-x2=2,所以直线l的方程为y-217=2x-1617,即2x-y+2=0.由2x-y+2=0x24b2+y2b2=1x2+4(2x+2)2-4b2=0,即17x2+32x+16-4b2=0.=322+1617(b2-4)0b21717,x1+x2=-3217,x1x2=16-4b217.因为OPOQ,OPOQ=0,即x1x2+y1y2=0,x1x2+(2x1+2)(2x2+2)=0,5x1x2+4(x1+x2)+4=0,从而5(16-4b2)17-12817+4=0,解得b=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.【加固训练】设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1ab0,点O为坐标原点,点A的坐标为a,0,点B的坐标为0,b,点M在线段AB上,满足BM=2MA,直线OM的斜率为510.(1)求E的离心率e.(2)设点C的坐标为0,-b,N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72,求E的方程.【解析】(1)由题意可知点M的坐标是23a,13b,又kOM=510,所以b2a=510,进而得a=5b,c=a2-b2=2b,故e=ca=255.(2)直线AB的方程为x5b+yb=1,点N的坐标为52b,-12b,设点N关于直线AB的对称点S的坐标为x1,72,则NS的中点T的坐标为54b+x12,-14b+74,又点T在直线AB上,且kNSkAB=-1,从而有5b4+x125b+-14b+74b=1,72+12bx1-52b=5b=3,所以a=35,故椭圆的方程为x245+y29=1.1.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点为F1,F2,其离心率为e=12,点P为椭圆上的一个动点,PF1F2内切圆面积的最大值为43.(1)求a,b的值.(2)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四个点,且满足F1AF1C,F1BF1D,ACBD=0,求|AC|+|BD|的取值范围.【解析】(1)当P为椭圆上下顶点时,PF1F2内切圆面积取得最大值,设PF1F2内切圆半径为r,因为43=r2,所以r=233.SPF1F2=12|F1F2|b=bc=12(|F1F2|+|PF1|+|PF2|)r=12(2c+2a)233,化为bc=233(a+c),又ca=12,a2=b2+c2,联立解得a=4,c=2,b=23.(2)因为满足F1AF1C,F1BF1D,ACBD=0,所以直线AC,BD垂直相交于点F1,由(1)椭圆方程x216+y212=1,F1(-2,0).直线AC,BD有一条斜率不存在时,|AC|+|BD|=6+8=14.当AC斜率存在且不为0时,设方程为y=k(x+2),A(x1,y1),C(x2,y2),联立y=k(x+2)x216+y212=1,化为(3+4k2)x2+16k2x+16k2-48=0.x1+x2=-16k23+4k2,x1x2=16k2-483+4