九年级数学下册 27_4 正多边形和圆课时练习（含解析）（新版）华东师大版

为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争第27章 第4节 正多边形和圆课时练习一、单选题（共15小题）1已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（）A 3B9C18D36答案：C解析：解答：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2，高为3，因而等边三角形的面积是3，正六边形的面积=18，故选C分析：掌握正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形2如图，正六边形ABCDEF内接于O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A 2，B2，C，D2，答案：D解析：解答：如图所示：连接OB，OB=4，BM=2，OM=2，= = ，故选D分析：正六边形的边长与外接圆的半径相等，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解3如图，O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（）A R2r2=a2Ba=2Rsin36Ca=2rtan36Dr=Rcos36答案：A解析：解答：如图所示：O是正五边形ABCDE的外接圆，BOC=360=72，1=BOC=72=36，R2r2=（a）2=a2，a=Rsin36，a=2Rsin36；a=rtan36，a=2rtan36，cos36=，r=Rcos36，所以，关系式错误的是R2r2=a2故选A分析：由圆内接正五边形的性质求BOC，再由垂径定理求出1后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可4一张圆心角为45的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A 5：4B5：2C：2D：答案：A解析：解答：如左图所示：连接OD，四边形ABCD是正方形，DCB=ABO=90，AB=BC=CD=2，AOB=45，OB=AB=2，由勾股定理得：OD=2，扇形的面积是=；如右图所示：连接MB、MC，四边形ABCD是M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，BMC=90，MB=MC，MCB=MBC=45，BC=2，MC=MB=，M的面积是（）2=2，扇形和圆形纸板的面积比是（2）=故选：A分析：求出扇形和圆的半径，根据扇形和圆的面积公式求出面积，最后求出比值5如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数位于第一象限的图象上，则k的值为（）A 9B9C3D3答案：B解析：解答：如图所示：连接OB，过B作BGOA于G，ABCDEF是正六边形，AOB=60，OB=OA，AOB是等边三角形，OB=OA=AB=6，BGOA，BGO=90，OBG=30，OG=OB=3，由勾股定理得：BG=3，即B的坐标是（3，3），B点在反比例函数上，k=33=9，故选B分析：连接OB，过B作BGOA于G，得出等边三角形OBA，求出OB，求出OG、BG，得出B的坐标，即可6正八边形的中心角是（）A 45B135C360D1080答案：A解析：解答：正八边形的中心角等于3608=45；故选A分析：中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角7如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于（）A10B20C18D20答案：B解析：解答：如图所示：作出正方形ABCDAEF中，AE=x，则AF=x，EF=x，正八边形的边长是x则正方形的边长是（2+）x根据题意得：x（2+）x=20，解得：x2=10（1）则阴影部分的面积是：2x（2+）x2x2=2（+1）x2=2（+1）10（1）=20故选B分析：设直角AEF中，AE=x，则AF=x，EF=x，正八边形的边长是x根据空白部分的面积是20即可列方程求得x的值，利用矩形和三角形的面积求解8如图，已知边长为2cm的正六边形ABCDEF，点A1，B1，C1，D1，E1，F1分别为所在各边的中点，则图中阴影部分的总面积是（）A BCD答案：A解析：解答：如图所示：边长是2cm的正六边形ABCDEF的面积是：6sin6022=6cm2作出连接中心O，连接OD1，OC在直角OCD1中，O=30，CD1=CD=1（cm）则OD1=CD1=，OG=OD1=，C1D1=则A1B1C1D1E1F1的面积是：6sin60（）2=cm2则图中阴影部分的总面积是（6）=故选A分析：六边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1都是正多边形，两个多边形的面积的差的一半就是阴影部分的面积9如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AC，AE，则的值是（）A 1BC2D答案：B解析：解答：如图所示：连接AG、GE、EC，则四边形ACEG为正方形，故=故选B分析：连接AG、GE、EC，四边形ACEG为正方形，根据正方形的性质求解10边长为1的正六边形的内切圆的半径为（）A 2B1CD答案：D解析：解答：如图所示：连接OA、OB，OG；六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，OAB是等边三角形，OA=AB=1，OG=OAsin60=1=，边长为a的正六边形的内切圆的半径为故选D分析：利用正六边形中的等边三角形的性质求解11若正多边形的一个外角为60，则这个正多边形的中心角的度数是（）A 30B60C90D120答案：B解析：解答：正多边形的一个外角为60，正多边形的边数为=6，其中心角为=60故选B分析：由正多边形的外角和是360求出正多边形的边数，再求出中心角12如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则BED的度数为（）A 30B45C50D60答案：B解析：解答：正六边形ADHGFE的内角为120，正方形ABCD的内角为90，BAE=36090120=150，AB=AE，BEA=（180150）=15，DAE=120，AD=AE，AED=30，BED=15+30=45故选B分析：由正六边形的内角为120，正方形的内角为90可得BEA=30，AED=30后求解13如图，边长为a的正六边形，里面有一菱形，边长也为a，空白部分面积为S1，阴影部分面积为S2，则=（）A BCD答案：A解析：解答：如图所示：连接BC，找到正六边形的中心D，作DEF，正六边形边长为a，菱形边长为a且有一角为60，SDEF=SABC，S1=2SABC，S2=6SABC2SABC=4SABC；=故选A分析：连接BC，找到正六边形的中心D，作DEF，求出S1=2SABC，S2=6SABC2SABC=4SABC；再求比值14正多边形的中心角是36，那么这个正多边形的边数为（）A 10B8C6D5答案：A解析：解答：设这个正多边形的边数是n，正多边形的中心角是36，=36，解得n=10故选A分析：设正多边形的边数是n，根据正多边形的中心角是36求出这个正多边形的边数15已知某个正多边形的内切圆的半径是，外接圆的半径是2，则此正多边形的边数是（）A八B六C四D三答案：B解析：解答：根据勾股定理得：22（）2=1，正多边形的边长为2，正多边形的中心角为60，此正多边形是正六边形，故选B分析：由正多边形的内切圆的半径，外接圆的半径，正多边形的边长的一半构成直角三角形，可得出正多边形的中心角，从而得出正多边形的边数二、填空题（共5小题）16已知正六边形ABCDEF的边心距为cm，则正六边形的半径为cm答案：2解析：解答：如图所示：连接OA、OB，过O作ODAB，多边形ABCDEF是正六边形，OAD=60，OD=OAsinOAB=AO=，解得：AO=2故答案为：2分析：画出图形，连接OA、OB，过O作ODAB，根据正六边形的性质及锐角三角函数的定义求解17如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有个答案：8解析：解答：等边三角形有AML、BHM、CHI、DIJ、EKJ、FLK、ACE、BDF共有8个故答案是：8分析：在正六边形的六个顶点是圆的六等分点，可求得图中每个角的度数，即可判断等边三角形的个数18已知正六边形的边心距为，则这个正六边形的边长为答案：2解析：解答：如图所示：正六边形的边心距为，OB= ，OAB=60，AB= = =1，AC=2AB=2故答案为：2分析：用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理求解19如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（1，0），则点C的坐标为答案：（，）解析：解答：如图所示：连接OE，由正六边形是轴对称图形知：在RtOEG中，GOE=30，OE=1GE=，OG=A（1，0），B（，），C（，）D（1，0），E（，），F（，）故答案为：（，）分析：连接OE，由正六边形是轴对称图形，设EF交Y轴于G，则GOE=30；在RtGOE中，则GE=，OG=可求得E的坐标，和E关于Y轴对称的F点的坐标，其他坐标类似20如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则BAO的度数为答案：54解析：解答：如图所示：连接OB，则OB=OA，BAO=ABO，点O是正五边形ABCDE的中心，AOB=72，BAO=（18072）=54；故答案为：54分析：连接OB，则OB=OA，得出BAO=ABO，再求出正五边形ABCDE的中心角AOB的度数，由等腰三角形的性质和内角和定理即可得出结果三、解答题（共5小题）21如图：O的内接正方形ABCD，E为边CD上一点，且DE=CE，延长BE交O于F，连结FC，若正方形边长为1，求弦FC的长答案：解答：如图所示：连接BDCE= 1= ，BE= = ，在RtABD中，BD= = ，DBE=FCE，CFE=BDE，DEBFEC， = ，FC=解析：分析：连接BD，构造DBE，然后证出DBEFCE，列出，计算FC22已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A、D、E三点，求该圆半径的长答案：解答：如图所示：作AFBC，垂足为F，并延长AF交DE于H点 ABC为等边三角形，AF垂直平分BC，四边形BDEC为正方形，AH垂直平分正方形的边DE 又DE是圆的弦，AH必过圆心，记圆心为O点，并设O的半径为r在RtABF中，BAF=30，AF=ABcos30=2=OH=AF+FHOA=+2r 在RtODH中，OH2+DH2=OD2（2+r）2+12=r2解得r=2 该圆的半径长为2解析：分析：作AFBC，垂足为F，并延长交DE于H点根据轴对称，则圆心必定在AH上设其圆心是O，连接OD，OE根据等边三角形的性质和正方形的性质，可求AH，DH，设圆的半径是rBOH中，根据勾股定理列方程求解23如图，四边形ABCD内接于大圆O，且各边与小圆相切于点E，F，G，H求证：四边形ABCD是正方形答案：解答：证明：连结OE、OF、OG、OH四边形ABCD与小圆分别切于点E、F、G、H，OE=OF=OG=OH，OEAB、OFBC、OGCD、OHADAB=BC=CD=DAA、B、C、D是大圆O的四等分点四边形ABCD是正方形解析：分析：连结OE、OF、OG、OH，利用切线的性质以及弦心距相等则弦相等可证明A、B、C、D是大圆O的四等分点，进而可证明四边形ABCD是正方形24已知，如图，ABC内接于O，AB=AC，BAC=36，AB、AC的中垂线分别交O于点E、F证明：五边形AEBCF是O的内接正五边形答案：解答：证明：如图所示：连接BF，CE，AB=AC，ABC=ACB，又BAC=36，ABC=ACB=72又AB、AC的中垂线分别交O于点E、F，AF=CF，AE=BE，BAC=BCE=ACE=ABF=FBC=36，AE=AF=BE=BC=FC，EAF=AFC=FCB=CBE=BEA五边形AEBCD为正五边形解析：分析：要求证五边形是正五边形，就是证明这个五边形的五条边所对的弧相等25如图，某商标是由边长均为2的正三角形、正方形、正六边形的金属薄片镶嵌而成的镶嵌图案（1）求这个镶嵌图案中一个正三角形的面积；答案：解答：如图所示：过A作ADBC于D，ABC是等边三角形，BC=2，BD=CD=BC=1，在BDA中由勾股定理得：AD=，ABC的面积是BCAD=2=，答：这个镶嵌图案中一个正三角形的面积是（2）如果在这个镶嵌图案中随机确定一个点O，那么点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率为多少？（结果保留二位小数）答案：解答：由图形可知：由10个正三角形，11个正方形，2个正六边形，正方形的面积是22=4，连接OA、OB，图形是正六边形，OAB是等边三角形，且边长是2，即等边三角形的面积是，正六边形的面积是6=6，点O落在镶嵌图案中的正方形