高中数学 第1章 导数及其应用 1_3_2 极值点知识导航 苏教版选修2-21

1.3.2 极值点知识梳理1.设函数f(x)在x0附近有定义,_，则称f(x0)是f(x)的一个极大值;如果对于x0附近的所有的点,都有_,就说f(x0)是f(x)的一个_.2.函数f(x)在x0点处的导数为0,是f(x)在x0处取得极值的_条件.3.当函数f(x)在x0处可导,判断f(x0)为极值的方法是_;_.4.若x0为f(x)的极小值点,则_,导数为零的点_为极值点.知识导学1.函数的极值研究是导数应用的关键知识点,可加深对函数单调性与其导数关系的理解.y=f(x)的导数存在时,f(x0)=0是y=f(x)在x=x0处有极值的必要条件,如果再加之x0两侧附近的导数的符号相反,才能确定在x=x0处取得极值;y=f(x)在x=x0处没有导数时,x=x0也可能是y=f(x)的极值点,确定y=f(x)的疑点(可能是极值点)应分为f(x)=0,f(x)不存在两类.2.判断可导函数极值的方法设函数y=f(x)在点x0及其附近可导,且f(x0)=0.(1)如果f(x)的符号在点x0的左右由正变负,则f(x0)为函数f(x)的极大值.(2)如果f(x)的符号在点x0的左右由负变正,则f(x0)为函数f(x)的极小值.疑难突破 导数为零的点一定是极值点吗?函数的单调性与函数的极值有怎样的关系?剖析:确定函数的极值应从几何直观入手,导数为0的点不一定是极值点(如y=x3,当x=0时,y=3x2=0)，但可导函数的极值点必须是导数为0的点. 如果函数f(x)在(a,b)内为单调函数,那么f(x)在(a,b)内没有极值,即单调函数在单调开区间内没有极值点.典题精讲【例1】 求函数y=x4-2x2-1的极值.思路分析:先求导数f(x),再求方程f(x)=0的根,最后检查f(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.解:y=4x3-4x,令y=0,得x1=-1,x2=0,x3=1.将x，y在相应区间上y的符号关系列表如下：x(-,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)y-0+0-0+y极小值-2极大值-1极小值-2 所以当x=-1时，函数有极小值-2，当x=0时，函数有极大值-1，当x=-1时，函数有极小值-2.绿色通道：使y=0的点未必是极值点,但可导函数的极值点处导数必为0,极大(极小)值与最值是不同的概念,极大值不一定比极小值大.变式训练：求函数y=的极值.思路分析:首先判断出函数的定义域,然后步骤同例1的解析.解:函数定义域为(-,1)(1,+),y=，令y=0，得x1=-1,x2=2.令x变化时,y,y的变化情况如下表：x(-,-1)-1(-1,1)1(1,2)2(2,+)y+0-+0+y3故当x=-1时，y极大值=.【例2】 求下列函数的极值.(1)f(x)=x3-12x;(2)f(x)=x2e-x;(3)f(x)=-2.思路分析:按照求极值的基本方法,首先从方程f(x)=0求出在函数f(x)定义域内所有可能的极值点,然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值.解:(1)函数定义域为R.f(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2).令f(x)=0,得x=2.当x2或x-2时,f(x)0,函数在(-,2)和(2,+)上是增函数;当-2x2时,f(x)0,函数在(-2,2)上是减函数.当x=-2时,函数有极大值f(-2)=16,当x=2时,函数有极小值f(2)=-16.(2)函数定义域为R.f(x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x,令f(x)=0,得x=0或x=2.当x0或x2时,f(x)0,函数f(x)在(-,0)和(2,+)上是减函数;当0x2时,f(x)0,函数f(x)在(0,2)上是增函数.当x=0时,函数取得极小值f(0)=0,当x=2时,函数取得极大值f(2)=4e-2.(3)函数的定义域为R.f(x)=,令f(x)=0,得x=1.当x-1或x1时,f(x)0,函数f(x)在(-,-1)和(1,+)上是减函数;当-1x1时,f(x)0,函数f(x)在(-1,1)上是增函数.当x=-1时,函数取得极小值f(-1)=-3,当x=1时,函数取得极小值f(1)=-1.绿色通道：解答本题时,应注意f(x0)=0,只是f(x)在x0处有极值的必要条件,如果再加上x0附近导数的符号相反,才能断定函数在x0处取得极值,反映在解题上,错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误.变式训练：求函数f(x)=在R上的极值(a0).思路分析：按照求极值的基本方法，考虑函数的定义域，先从方程f(x)=0求出可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值.解:f(x)=，令f(x)=0,得x=0.此外该函数定义域为R,而在x=a处不可导,因此列表时应将x=a点考虑进去.x变化时,y、y的变化情况如下表：x(-,-a)-a(-a,0)0(0,a)a(a,+)y-+0-+y00由表知f(x)在x=a处取得极小值0，在x=0处取得极大值.【例3】 求函数y=2x+的极值，并结合单调性、极值作出该函数的图象.思路分析:利用函数求极值的步骤:(1)先求函数的定义域;(2)求导数f(x);(3)求方程f(x)=0的根;(4)检查f(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.解:函数的定义域为xR且x0.y=,令y=0，得x=2.当x变化时,y、y的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,0)0(0,2)2(2,+)y+0-0+y-88因此当x=-2时，y极大值=-8.图1-3-1当x=2时，由表易知y=2x+的草图应为图1-3-1，y极小值=8.绿色通道：(1)列表时应将定义域内的间断点(如x=0)考虑进去.(2)极大值不一定比极小值大,这是因为极值是相对某一区域讨论的.(3)借助函数的性质(如奇偶性、单调性、极值、周期等)研究函数图象是重要手段.问题探究问题1:极值点附近函数切线的斜率的正负变化与函数的极值有什么关系?导思:可以通过导数的几何意义,直观地得出答案.探究:曲线在极值点处切线的斜率为0,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右