高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一2基本不等式同步配套教学案新人教a版选修4_5

我带领班子成员及全体职工，积极参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识，全面提高了自身素质，增强职工工作积极性，杜绝了纪律松散2基本不等式 对应学生用书P41基本不等式的理解重要不等式a2b22ab和基本不等式，成立的条件是不同的前者成立的条件是 a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a0，b0仍然能使成立两个不等式中等号成立的充要条件都是ab.2由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式(1)a2b2；(2)ab；(3)ab()2；(4)()2；(5)(ab)24ab. 对应学生用书P5利用基本不等式证明不等式例1已知a，b，cR，且abc1.求证：9.思路点拨解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式来证明证明法一：a，b，cR，且abc1，3332229.当且仅当abc时，等号成立即9.法二：a，b，cR，且abc1，(abc)()111332229.当且仅当abc时，等号成立9.用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明1已知a，b，c，d都是正数，求证：(abcd)(acbd)4abcd.证明：因为a，b，c，d都是正数，所以0，0，所以abcd，即(abcd)(acbd)4abcd.当且仅当abcd，acbd，即ad，bc时，等号成立2已知a，b，c0，求证：abc.证明：a，b，c，均大于0，又b2 2a，c2 2b.a2 2c.(b)(c)(a)2(abc)即abc.当且仅当b，c，a，即abc时取等号.利用基本不等式求最值例2(1)求当x0时，f(x)的值域；(2)设0x0，y0，且1，求xy的最小值思路点拨根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件，求最值解(1)x0，f(x).x2，0.0f(x)1，当且仅当x1时取“”即f(x)值域为(0,1(2)0x0.y4x(32x)22x(32x)22.当且仅当2x32x，即x时，等号成立y4x(32x)的最大值为.(3)x0，y0，1，xy(xy)1061016.当且仅当，又1，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，有(xy)min16.在应用基本不等式求最值时， 分以下三步进行：(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(1)变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决3已知x0，则2x的最小值和取得最小值时的x值分别是()A8,2 B8,4C16,2 D16,4解析：2x28，当且仅当2x，即x2时，取“”号，故选A.答案：A4设x，yR，且满足x4y40，则lgxlgy的最大值是()A40 B10C4 D2解析：x，yR，.10.xy100.lg xlg ylg(xy)lg 1002.答案：D5(浙江高考)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()A. BC5 D6解析：x3y5xy，5，x0，y0，(3x4y)942 1325，5(3x4y)25，3x4y5，当且仅当x2y时取等号3x4y的最小值是5.答案：C利用基本不等式解决实际问题例3某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2014年巴西世界杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3x与t1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2014年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完(1)将2014年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数(2)该企业2014年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？思路点拨(1)两个基本关系式是解答关键，即利润销售收入生产成本促销费；生产成本固定费用生产费用；(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式解(1)由题意可设3x，将t0，x1代入，得k2.x3.当年生产x万件时，年生产成本年生产费用固定费用，年生产成本为32x3323.当销售x万件时，年销售收入为150%t.由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润年销售收入年生产成本促销费，得年利润y(t0)(2)y50502 502 42，当且仅当，即t7时，等号成立，ymax42，当促销费定在7万元时，年利润最大利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式yf(x)(x一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约6一商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件，分若干次等量进货(设每次进货x件)，每进一次货运费50元，且在销售完该货物时，立即进货，现以年平均件货储存在仓库里，库存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费最省，每次进货量x应是多少？解：设一年的运费和库存费共y元，由题意知：y502010x2104，当且仅当10x即x500时，ymin10 000，即每次进货500件时，一年的运费和库存费最省7.围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：元)(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用解：(1)如题图所示，设矩形的另一边长为a m.则y45x180(x2)1802a225x360a360.由已知xa360，得a，所以y225x360(x0)(2)x0，225x210 800.y225x36010 440，当且仅当225 x时，等号成立即当x24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元 对应学生用书P71下列不等式中，正确的个数是()若a，bR，则若xR，则x222若xR，则x212若a，b为正实数，则A0B1C2 D3解析：显然不正确；正确；对虽然x22无解，但x222成立，故正确；不正确，如a1，b4.答案：C2已知a0，b0，a，b的等差中项是，且a，b，则的最小值是()A3 B4C5 D6解析：ab21，a0，b0，ab115，当且仅当ab时取“”号答案：C3. “a1”是“对任意正数x,2x1”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析：当a1时，2x2x2(当且仅当x时取等号)，所以a12x1(x0)，反过来，对任意正数x，如当a2时，2x1恒成立，所以2x1/a1.答案：A4某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A5千米处 B4千米处C3千米处 D2千米处解析：由已知：y1，y20.8x(x为仓库到车站的距离)费用之和yy1y20.8x2 8.当且仅当0.8x，即x5时等号成立答案：A5若x0，则f(x)23x2的最大值是_，取得最值时x的值是_解析：f(x)23(x2)23410，当且仅当x2即x时取等号答案：106当x时，函数yx的最小值为_解析：因为x，所以x0，所以yx4，当且仅当x，即x时，取“”答案：7y(x0)的最小值是_解析：x0，yx1121.当且仅当x1时取等号答案：218已知a0，b0，ab1，求证：(1)8；(2)9.证明：(1)ab1，a0，b0，22244 48(当且仅当ab时，等号成立)，8.(2)1，由(1)知8.9.9设x0，y0且xy4，要使不等式m恒成立，求实数m 的取值范围解：由x0，y0且xy4.得1，.当且仅当 时等号成立即y2x(x0，y0，y2x舍去)此时，结合xy4，解得x，y.的最小值为.m.m的取值范围为.10某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)(1)若设休闲区的长和宽的比x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计？解：(1)设休闲区的宽为a米，则其长为ax米，由a2x4 000，得a.则S(x)(a8)(ax20)a2x(8x20)a1604 00