高中数学 第2章 平面向量 2_4 向量的数量积教学设计 苏教版必修41

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求2.4向量的数量积教学分析课本从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的5个重要性质、运算律向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来，这样为解决三角形的有关问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系既然向量可以进行加减运算，一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢？如果能，运算结果应该是什么呢？另外，距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系众所周知，向量概念的引入与物理学的研究密切相关，物理学家很早就知道，如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1)，那么力F所做的功图1W|F|s|cos.功W是一个数量，其中既涉及“长度”，也涉及“角”，而且只与向量F，s有关熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算，从而引进向量的数量积的定义ab|a|b|cos.这个定义不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等)，而且还可以用它来更加简捷地表述几何中的许多结果向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量平面向量的数量积，教材将其分为两部分，在第一部分向量的数量积中，首先研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定义，最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论；在第二部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上，利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式，得到了两向量垂直的判定的方法本节课可采用“启发探索”式的教学方法，从教材内容看，由于前面已经学习了平面向量的线性运算的坐标表示，因此在教学中运用指导探究为教学的主线，通过启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探索，将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位三维目标1通过经历探究过程，掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，并掌握向量垂直的条件2通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力3通过探究平面向量的数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表示方法；掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题4通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度，培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质重点难点教学重点：平面向量数量积的定义，平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用，平面向量坐标表示的应用课时安排2课时 第1课时导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答地更简捷、更清晰并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题认识更深刻物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W可由下式计算：W|F|s|cos.其中是F与s的夹角我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量(数量)故从力所做的功出发，我们就顺其自然的引入向量数量积的概念思路2.前面我们已学过，任意的两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算，就自然地会想到，任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能，其运算结果是什么呢？推进新课1平面向量数量积的概念，向量的夹角2数量积的重要性质及运算律3两向量垂直的条件活动：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a|b|cos叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos(0)，其中是a与b的夹角图2为两向量数量积的关系，并且可以知道向量夹角的范围是0180.图2教师在与学生的一起探究活动中，应特别点拨引导学生注意：(1)两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积；(2)零向量与任一向量的数量积为0，即a00；(3)符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替；(4)当00，从而ab0；当时，cos0，从而ab0，则ABC是锐角三角形；在ABC中，若0，则ABC为钝角三角形；ABC为直角三角形0；ABC为斜三角形0.其中为真命题的是()A B C D3设|a|8，e为单位向量，a与e的夹角为60，则a在e方向上的投影为()A4 B4 C4 D.4设a，b，c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，有下列四个命题：(ab)c(ca)b0；|a|b|ab|；(bc)a(ca)b不与c垂直；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中正确的是()A B C D5在ABC中，设b，c，则等于()A0 B.SABCCSABC D2SABC6设i、j是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上的单位向量，且a(m1)i3j，bi(m1)j，如果(ab)(ab)，则实数m_.7若向量a，b，c满足abc0，且|a|3，|b|1，|c|4，则abbcca_.8设|a|3，|b|4，a与b的夹角为150，求：(1)(a3b)(2ab)；(2)|3a4b|.9已知|a|，|b|3，a与b的夹角为45，且向量ab与ab的夹角为锐角，求实数的取值范围10已知|a|2，|b|1，a与b的夹角为，求向量m2ab与向量na4b的夹角的余弦值参考答案：1C2.B3.B4.D5.D627.138(1)3030；(2).9|且110解：由向量的数量积的定义得ab21cos1.m2ab，m24a2b24ab4414121，|m|.又na4b，n2a216b28ab416812.|n|2.设m与n的夹角为，则mn|m|n|cos.又mn2a27ab4b224743，把mn3，|m|，|n|2代入式，得32cos，cos，即向量m与向量n的夹角的余弦值为.(设计者：仇玉法)第2课时导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，其运算的表示方式也会改变向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便上一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题思路2.在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示，在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示推进新课1平面向量的数量积的坐标表示和运算，向量垂直的坐标表示2由向量的坐标计算其数量积并由坐标形式求两个向量的夹角3运用向量垂直的坐标表示的条件解决一些综合问题活动：平面向量的数量积这个实数如何用坐标表示，是培养学生数形结合这种重要思想方法的很好内容，在教学中抓住数形结合这条主线，不但推出了两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，推出平面内两点间的距离公式，并应用平面向量的数量积的坐标表示解决问题，这样不但能够提高学生的解题能力，而且培养学生会运用数形结合这种重要思想方法本节课开始时应向学生指出：对平面向量的数量积的研究不能仅仅停留在几何角度，还要寻求其坐标表示；在引入新知识之前应复习前面的有关知识，如平面向量，两个向量的和与差，实数与向量的积的坐标表示，以及平面向量的基本定理应将平面向量数量积的两种形式结合起来，交待等式ab|a|b|cosx1x2y1y2，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)这个等式体现了数与形的结合，揭示了数与形的内在联系教学中还应注意设计综合性问题，加强与前段知识的联系若两个向量为a(x1，y1)，b(x2，y2)，如何用a，b的坐标来表示它们的数量积ab?设i，j分别是x轴和y轴上的单位向量，则ii1，jj1，ijji0.ax1iy1j，bx2iy2j，ab(x1iy1j)(x2iy2j)x1x2i2x1y2ijx2y1ijy1y2j2.又ii1，jj1，ijji0，abx1x2y1y2.教师给出结论性的总结，由此可归纳如下：(1)平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(2)向量模的坐标表示若a(x，y)，则|a|2x2y2，或|a|.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，那么a(x2x1，y2y1)，|a|.(3)两向量垂直的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab x1x2y1y20.(4)两向量夹角的坐标表示设a、b都是非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：cos.特别地，若ab，则x1x2y1y20；反之，若x1x2y1y20，则ab.例1课本本节例2.例2课本本节例3.变式训练1(1)已知三点A(2，2)，B(5,1)，C(1,4)，求BAC的余弦值；(2)a(3,0)，b(5,5)，求a与b的夹角活动：教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a(x1，y1)与b(x2，y2)的数量积abx1x2y1y2和模|a|，|b|的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值，即cos.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时，需注意两向量夹角的范围是0.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚，以免出现不必要的错误解：(1)(5,1)(2，2)(3,3)，(1,4)(2，2)(1,6)，3(1)3615.又|3，|，cosBAC.(2)ab3(5)0515，|a|3，|b|5.设a与b的夹角为，则cos.又0，.点评：本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高2设a(5，7)，b(6，4)，求ab及a、b间的夹角(精确到1)解：ab5(6)(7)(4)30282.|a|，|b|，由计算器得cos0.03.利用计算器得92.例3课本本节例4.变式训练1已知A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，试判断ABC的形状，并给出证明活动：教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题判断平面图形的形状，特别是三角形的形状时主要看边长是否相等，角是否为直角可先作出草图，进行直观判定，再去证明在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模长相等，则此平面图形与平行四边形有关；若三角形的两条边所在的向量模长相等或者有两边所在向量的数量积为零，则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法解：在平面直角坐标系中标出A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)三点，我们发现ABC是直角三角形下面给出证明(21,32)(1,1)，(21,52)(3,3)，1(3)130.ABC是直角三角形点评：本题考查的是向量数量积的应用，利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状当给出要判定的三角形的顶点坐标时，首先要作出草图，得到直观判定，然后对你的结论给出充分的证明2在ABC中，(2,3)，(1，k)，且ABC的一个内角为直角，求k的值解：由于题设中未指明哪一个角为直角，故需分别讨论若A90，则，所以0，于是213k0.故k.同理可求，若B90时，k的值为.若C90时，k的值为.故所求k的值为或或.例4已知|a|3，b(2,3)，试分别解答下面两个问题：(1)若ab，求a；(2)若ab，求a.活动：对平面中的两向量a(x1，y1)与b(x2，y2)，向量垂直的坐标表示x1x2y1y20与向量共线的坐标表示x1y2x2y10很容易混淆，要让学生在应用中深刻领悟其本质属性，两向量垂直是ab0，而共线是方向相同或相反教师可多加强反例练习，多给出这两种类型的同式变形训练，以此巩固并能熟练地掌握和运用解：(1)设a(x，y)，由|a|3且ab，得解得或a(，)或a(，)(2)设a(x，y)，由|a|3且ab，得解得或a(，)或a(，)点评：本题主要考查学生对公式的掌握情况，学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线，也能熟练地进行公式的逆用，利用已知关系来求向量的坐标.变式训练求证：一次函数y2x3的图象(直线l1)与一次函数yx的图象(直线l2)互相垂直证明：在l1：y2x3中，令x1得y1；令x2得y1，即在l1上取两点A(1，1)，B(2,1)同理，在直线l2上取两点C(2,1)，D(4,2)，于是：(2,1)(1，1)(21,11)(1,2)，(4,2)(2,1)(42,21)(2,1)由向量的数量积的坐标表示，可得1(2)120，即l1l2.课本练习18.1在知识层面上，先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示，向量的模，两向量的夹角，向量垂直的条件其次引导学生总结数量积的坐标运算规律，夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示2在思想方法上，教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法，定义法，待定系数法等课本习题2.48、9、10.1由于本节课是对平面向量的进一步探究与应用，是对平面向量几何意义的综合研究提高，因此教案设计流程是探究、发现、应用、提高，这符合新课程理念，符合新课标要求我们知道平面向量的数量积是本章最重要的内容，也是高考中的重点，既有选择题、填空题，也有解答题(大多与立体几何、解析几何一起综合考查)，故学习时要熟练掌握基本概念和性质及其综合运用而且数量积的坐标表示又是向量运算的一个重要内容，用坐标表示直角坐标平面内点的位置，是解析几何的一个基本特征，从而以坐标为桥梁可以建立向量与解析几何的内在联系以三角函数表示点的坐标，又可以沟通向量与三角函数的相互关系，由此就产生出一类向量与解析几何及三角函数交汇的综合性问题2本节课学习的重点是两个向量数量积的坐标表示；两个向量垂直的坐标表示以及利用向量数量积的坐标表示解决有关的几何问题本节学习的难点是建立向量与坐标之间的关系平面向量数量积的坐标表示使得向量数量积的应用更为方便，也拓宽了向量应用的途径，通过学习本节的内容，要更加加深对向量数量积概念的理解同时善于运用坐标形式运算解决数量问题，尤其是有关向量的夹角、长度、垂直等，往往可以使问题简单化灵活使用坐标形式，综合处理向量的线性运算、数量积、平行等，综合地解决向量综合题，体现数形结合的思想在本节的学习中可以通过对实际问题的抽象来培养学生分析问题、解决问题和应用知识解决问题的意识与能力一、|ab|a|b|的应用若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则平面向量的数量积的性质|ab|a|b|的坐标表示为x1x2y1y2 (x1x2y1y2)2(xy)(xy)不等式(x1x2y1y2)2(xy)(xy)有着非常广泛的应用，由此还可以推广到一般(柯西不等式)：(a1b1a2b2anbn)2(a1a2an)(b1b2bn)例1(1)已知实数x，y满足xy40，则x2y2的最小值是_；(2)已知实数x，y满足(x2)2y21，则2xy的最大值是_解析：(1)令m(x，y)，n(1,1)|mn|m|n|，|xy|，即2(x2y2)(xy)216.x2y28.故x2y2的最小值是8.(2)令m(x2，y)，n(2，1)，2xyt.由|mn|m|n|，得|2(x2)y|，即|t4|，解得4t4，故所求的最大值是4.答案：(1)8(2)4例2已知a，bR，(0，)，试比较与(ab)2的大小解：构造向量m(，)，n(cos，sin)，由|mn|m|n|得(cossin)2()(cos2sin2)，(ab)2.同类变式：已知a，bR，m，nR，且mn0，m2n2a2m2b2n2，令M，Nab，比较M、N的大小解：构造向量p(，)，q(n，m)，由|pq|p|q|得(nm)2()(m2n2)(m2n2)N.例3设a，bR，A(x，y)|xn，ynab，nZ，B(x，y)|xm，y3m215，mZ，C(x，y)|x2y2144是直角坐标平面xOy内的点集，讨论是否存在a和b，使得AB与(a，b)C能同时成立解：此问题等价于探求a、b是否存在的问题，它满足设存在a和b满足两式，构造向量m(a，b)，n(n,1)由|mn|2|m|2|n|2得(nab)2(n21)(a2b2)，(3n215)2144(n21) n46n290.解得n，这与nZ矛盾，故不存在a和b满足条件二、备用习题1若a(2，3)，b(x,2x)，且ab，则x等于()A3B.CD32设a(1,2)，b(1，m)，若a与b的夹角为钝角，则m的取值范围是()Am Bm Dm3若a(cos，sin)，b(cos，sin)，则()Aab BabC(ab)(ab) D(ab)(ab)4与a(u，v)垂直的单位向量是()A(，)B(，)C(，)D(，)或(，)5已知a，b都是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角6已知ABC的三个顶点为A(1,1)，B(3,1)，C(4,5)，求ABC的面积参考答案：1C2.D3.C4.D5解：由已知(a3b)(7a5b) (a3b)(7a5b)0 7a216ab15b20，又(a4b)(7a2b) (a4b)(7a2b)0 7a230ab8b20，得46ab23b2，即ab.将代入式可得7|a|28|b|215|b|20，即|a|2|b|2，有|a|b|，若记a与b的夹角为，则cos.又0，180，60，即a与b的夹角为60.6分析：SABC|sinBAC，而|，|易求，要求sinBAC可先求出cosBAC.解：(2,0)，(3,4)，|2，|5，cosBAC.sinBAC.SABC|sinBAC254.三、新教材新教法的二十四个“化”字诀新课导入新颖化，揭示概念美丽化；纵横相联过程化，探索讨论热烈化；探究例题多变化，引导思路发散化；学生活动主体化，一石激浪点拨化；大胆猜想多样化，论证应用规律化；变式训练探究化，课堂教学艺术化；学法指导个性化，对待学生情感化；作业抛砖引玉化，选题质量层次化；学生学习研究化，知识方法思想化；抓住闪光激励化，教学相长平等化；教学意识超前化，与时俱进媒体化；灵活创新智慧化，学生素质国际化(设计者：仇玉法)附：24向量的数量积第1课时作者：蒋国庆，江苏省泰兴市第四高级中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛一等奖在普通高中课程标准实验教科书数学4(必修)中，2.4平面向量的数量积约用3课时完成本文从教材分析、目标分析、教学过程、设计说明等几个方面系统阐述第1课时的教学设计教材分析1教材的地位和作用向量在物理学中的应用非常广泛，在解析几何中应用更为直接，用向量方法特别便于研究涉及空间里直线与平面的各种问题平面向量的数量积是向量的基本运算之一，在处理有关长度、角度和垂直问题等方面有很好的应用“平面向量的数量积”是平面向量中的基础知识与重点内容2教学重点与难点本节课的重点是理解平面向量的数量积的概念及运算律，这也是本节课的难点目标分析通过本节课的教学，预计达到下面三个目标：1知识目标：理解平面向量的数量积的概念；能用公式和运算律进行计算2能力目标：培养学生的理性思维能力、创造性思维能力、逻辑思维能力和思维的批判性3情感目标：鼓励学生探索发现规律，激发学生学习数学的兴趣学法分析向量的数量积的结果是一个数量，而不是一个向量像这样的运算结果与运算对象不在同一“范围”内的运算，学生首次接触，理解上有一定的困难，本文的教学设计准备通过预设的系列问题，发动学生进行合作讨论，调动学生参与到探索中来，让他们总结规律，从而充分经历，体验“发现定义”的过程本节课共分四大环节：理解定义、总结性质、学习运算律、巩固训练1理解定义教学设想：首先引导学生复习已学过的向量运算，并与实数的加法、减法及实数的乘法进行比较，让学生大胆思维，猜想有无这样的向量运算，结果是一个数量而不是一个向量？在数学上，以前肯定没学过引导学生进一步联想，在物理上见过两个矢量运算的结果是一个标量的例子吗？有部分学生联想到力对物体作用产生的位移所做的功，力F是一个向量，位移s是一个向量，而功W是一个标量，这时又让学生思考相应的物理公式W|F|s|cos，这样就为向量数量积概念的引入做了一个积极的铺垫通过学生联想类比物理学中的“功”，找到向量数量积的原型；通过讨论求功运算的特点，进而抽象出向量数量积的定义这一过程培养了学生的发散性思维能力及创造性思维能力复习思考：运算结果向量的加法向量向量的减法向量实数与向量的乘法向量两个向量的乘法？(1)物理意义下的“功”：一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？W|F|s|cos.图1其中力F和位移s是向量，是F与s的夹角，而功W是数量(2)向量的夹角已知非零向量a与b，作a，b，则AOB(0)叫作a与b的夹角若0，a与b同向若180，a与b反向若90，a与b垂直记作ab图2(3)平面向量的数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即规定：零向量与任意向量的数量积为0，即a00.教学设想：讲授了数量积的意义之后，学生虽然可以从表面上接受这个概念，但并不深刻，为了加深对数量积概念的理解，可让学生启动类比联想思维，因为数量积是一种积，所以让学生去类比实数的乘积，通过类比寻找它们的不同之处小组讨论下列问题：(1)在实数乘积中，由ab0可推出a0或b0，而对数量积ab0，一定可以推出a0或b0吗？(2)在实数乘积中，若abbc(b0)，可以在等式两边同时约去b，得到ac；对数量积abbc(b0)，能否得到ac?(3)两个向量的数量积的大小由哪些量确定？(4)当两个向量都不是零向量时，这两个向量的数量积能否等于零？此时这两个向量有什么位置关系？通过这样的类比，认识深刻了，对概念的理解升华了，预定的教学目标达到了，而发散思维能力和创造性思维能力也得到了培养2总结性质教学设想：把需要总结的数量积的性质，设计成7个讨论题，调动所有学生参与到探索中来，发动学生进行合作讨论，让他们总结规律这7个讨论题是：(1)向量的数量积的正负如何确定？(2)单位向量与任意向量的数量积有什么规律？(3)互相垂直的向量的数量积有什么特点？(4)共线向量的数量积有什么规律？(5)如何求两个向量的夹角？(6)比较两个向量的数量积的模与两个向量模的积的大小的关系(7)两个相等向量的数量积等于什么？数量积的性质：设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则(1)eaae|a|cos；(2)ab ab0(判断两向量垂直的依据)；(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|，特别地，aa|a|2或|a|(用于计算向量的模)；(4)cos(用于计算向量的夹角)；(5)|ab|a|b|.教学设想：在小组合作讨论的基础上，再由老师归纳性质由于向量的数量积的性质是由学生在合作中发现出来的，学生从对性质的不知到完成已知，这本身就是一个创造过程，也是一个创新过程小组合作学习方式是教学中行之有效的方式，尤其是对一些比较难理解、需要深入研究和继续探讨的问题，通过小组合作讨论的形式，使学生之间的知识差异、性格差异相互补充，使他们学会合作，学会探索，学会发现，学会创新3学习运算律教学设想：教材中给出了向量的数量积的三个运算律，对于前两个运算律(交换律、实数与两个向量乘积的结合律)要求学生自己证明，而对分配律则要求学生课后预习数量积的几何意义再作证明然后采取与实数乘法运算律列表比较的方法，让学生比较二者运算律，并