高考数学二轮复习 上篇 专题整合突破 专题七 数学思想方法 第2讲 分类讨论思想转化与化归思想课件 文

第2讲讲 分类讨论类讨论 思想、转转化与化归归思想 高考定位 分类讨论思想，转化与化归思想近几年高 考每年必考，一般体现在解析几何、函数与导数及数 列解答题中，难度较大. 1.中学数学中可能引起分类讨论 的因素 (1)由数学概念而引起的分类讨论 ：如绝对值 的定义 、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等 . (2)由数学运算要求而引起的分类讨论 ：如除法运算中 除数不为零，偶次方根被开方数为非负数，对数运算 中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等 式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域 ，等比数列an的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论 ：如函数 的单调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论 ：如二次函数图象 、指数函数图象、对数函数图象等. (5)由参数的变化而引起的分类讨论 ：如某些含有参数的问 题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由 于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等. 2.常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题 时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转 化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问 题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略 ，同时也是获取成功的思维方式.常见的转化方 法有： (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式 或基本图形问题. (2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降 幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转 化为易于解 决的基本问题. (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形 式(图形)关系，通过互相变换获 得转化途径. (4)等价转化法：把原问题转 化为一个易于解决的等价命题 ，达到化归的目的. (5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证 明特殊化后的问题、结论适合原问题. (6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为 易于 解决的问题. (7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是 转化方法的一个重要途径. (8)类比法：运用类比推理，猜测问题 的结论，易于确定. (9)参数法：引进参数，使原问题转 化为熟悉的形式进行解 决. (10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结 果看做集合A，而把包含该问题 的整体问题的结果类比为全 集U，通过解决全集U及补集UA获得原问题的解决，体现 了正难则反的原则. 探究提高 由性质、定理、公式的限制引起的分 类整合法往往是因为有的数学定理、公式、性质 是分类给出的，在不同的条件下结论不一致的 情况下使用，如等比数列的前n项和公式、函数 的单调性等. 微题型2 由数学运算要求引起的分类 【例12】 (1)(2016苏、锡、常、镇调研改编)不等 式|x|2x3|2的解集是_. (2)已知mR，求函数f(x)(43m)x22xm在区 间0，1上的最大值为_. 探究提高 由数学运算要求引起的分类整合法，常见 的类型有除法运算中除数不为零，偶次方根为非负， 对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要 求，不等式两边同乘以一个正数、负数问题，含有绝 对值的不等式求解，三角函数的定义域等，根据相应 问题中的条件对相应的参数、关系式等加以分类分析 ，进而分类求解与综合. 微题型3 由参数变化引起的分类 【例13】 (2015全国卷)已知函数f(x)ln xa(1x). (1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范 围. 探究提高 由参数的变化引起的分类整合法 经常用于某些含有参数的问题，如含参数的 方程、不等式，由于参数的取值不同会导致 所得结果不同，或对于不同的参数值要运用 不同的求解或证明方法. 热点二 转化与化归思想 微题型1 换元法 【例21】 已知实数a，b，c满足abc0，a2b2c2 1，则a的最大值是_. 探究提高 换元法是一种变量代换，也是一种特殊的 转化与化归方法，是用一种变数形式去取代另一种变 数形式，是将生疏(或复杂)的式子(或数)，用熟悉(或 简单)的式子(或字母)进行替换；化生疏为熟悉、复 杂为简单 、抽象为具体，使运算或推理可以顺利进 行. 答案 2 016 探究提高 一般问题特殊化，使问题处 理变得 直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏 观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到 成批处理问题的效果. 微题型3 常量与变量的转化 【例23】 对任意的|m|2，函数f(x)mx22x1m恒 为负，则x的取值范围为_. 探究提高 在处理多变元的数学问题时 ，我们 可以选取其中的参数，将其看做是“主元”，而 把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化 运算的目的. 探究提高 否定性命题，常要利用正反的相互转化， 先从正面求解，再取正面答案的补集即可，一般地， 题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很 少，从反面考虑较简单 ，因此，间接法多用于含有“ 至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中. 1.分类讨论 思想的本质是“化整为零，积零为整”.用分类讨 论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动 机确定分类的标准逐类进行讨论归纳综 合结论检 验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集). 做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不 遗漏”的分析讨论. 常见的分类讨论问题 有： (1)集合：注意集合中空集讨论. (2)函数：对数函数或指数函数中的底数a，一般应分a1和 0a1的讨论；函数yax2bxc有时候分a0和a0的 讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论. (3)数列：由Sn求an分n1和n1的讨论；等比数列中分公 比q1和q1的讨论. (4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论. (5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等 条件是否满足的讨论. (6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的 讨论； (7)平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直线 截距式中分b0和b0的讨论；轨迹方程中含参数时曲 线类型及形状的讨论. (8)去绝对值时 的讨论及分段函数的讨论等. 2.转化与化归思想遵循的原则： (1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转 化为熟悉的问题，将未知 的问题转 化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验 和问题来解决. (2)简单化原则：将复杂问题 化归为简单问题 ，通过对简单问 题的解决，达到解决复杂问题 的目的，或获得某种解题的启示