高中数学 2-1 第1课时正弦定理同步导学案 北师大版必修5

第二章解 三 角 形本章概述课程目标1.双基目标（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量学、力学、运动学以及几何计算等有关的实际问题.2.情感目标（1）通过对任意三角形边角关系的研究，培养学生的归纳、猜想、论证能力及分析问题和解决问题的能力.（2）通过解决一些实际问题，培养同学们的数学应用意识，激发同学们学习数学的兴趣，感受到数学知识既来源于生活，又服务于生活.（3）正弦定理、余弦定理的探索和验证、使用计算器进行近似计算等.一方面，同学们借助技术手段，从事一些富有探索性和创造性的数学活动，可以培养同学们的探索精神和创新精神；另一方面，借助计算器可以解决计算量大的问题，也可以根据实际需要进行近似计算，有利于激发同学们学习数学的兴趣.重点难点重点：运用正弦定理、余弦定理探求任意三角形的边角关系，运用这两个定理解决一些测量以及与几何计算有关的实际问题.难点：正、余弦定理的推导以及运用正、余弦定理解决实际问题.方法探究1.注重知识形成的过程，通过从特殊到一般，再从一般到特殊的过程，引导我们从猜想、验证到证明等环节自主研究，从而养成良好的学习习惯.2.注重数学与日常生活及其他学科的联系，发展数学应用意识，提高实践能力.3.学习本章应注意的问题（1）重视数学思想方法的运用.解三角形作为几何度量问题，要突出几何背景，注意数形结合思想的运用，具体解题时， 要注意函数与方程思想的运用.（2）加强新旧知识的联系.本章知识与初中学习的三角形的边、角关系有密切联系.同时要注意与三角函数、平面向量等知识的联系，将新知识融入已有的知识体系，从而提高综合运用知识的能力.（3）提高数学建模能力.利用解三角形解决相关的实际问题，关键是读懂题意，找出量与量之间的关系，根据题意作出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型.1正弦定理与余弦定理第1课时正 弦 定 理知能目标解读1.通过对特殊三角形边长和角度关系的研究，发现正弦定理，并初步学会这种由特殊到一般的思想方法来发现数学中的规律.2.掌握用向量法证明正弦定理的方法，并能用正弦定理解决一些简单的三角形相关的度量问题.3.学会用三角函数及计算器求解一些有关解斜三角形的近似计算问题.重点难点点拨重点：正弦定理的证明及利用正弦定理解题.难点：已知三角形的两边和其中一边的对角，判定三角形解的情况.学习方法指导一、正弦定理1.正弦定理指出了任意三角形的三边与对应角的正弦之间的关系式.结合正弦函数在区间上的单调性知，正弦定理非常好的描述了任意三角形中的边与角的一种数量关系.2.正弦定理的证明正弦定理的证明，教材上通过构造向量投影相等的方法进行了证明.除此之外，还可以运用向量法和三角函数定义法给予证明.方法一：建立直角坐标系，借助三角函数的定义进行证明.在如图所示的直角坐标系中，点B,C的坐标分别是B（ccosA,csinA）,C(b,0).于是SABC=bcsinA.同理SABC还可以表示成absinC和acsinB.从而可得=.方法二：如图所示：当ABC为锐角三角形时，设边AB上的高为CD，根据三角函数的定义，有CD=bsinA,CD=asinB,所以bsinA=asinB,即;同理可得=.所以.如下图所示，当ABC为钝角三角形时，设A为钝角，AB边上的高为CD，则CD=asinB,CD=bsin(180A)=bsinA.所以asinB=bsinA,即;同理.所以.当ABC为直角三角形时，上式也成立.方法三:如下图所示：过A作单位向量j垂直于.由+=，两边同乘以单位向量j,得j（+）=.则j+j=j.j|cos90+|cos(90-C)=| j|cos(90-A).asinC=csinA.=.同理，过C作j垂直于，得=,=.二、利用正弦定理解三角形的类型（1）已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解.（2）已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解，在ABC中，已知a,b和A时，解的情况如下：.A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAabbsinAababab解的个数一解两解无解一解无解三、三角形常用面积公式（1）S=aha（ha表示边a上的高）；（2）S=absinC=bcsinA=acsinB； (3)S=r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).四、应用正弦定理的解题规律1.正弦定理揭示了任意三角形边角之间关系的客观规律，是解三角形的重要工具.同时在三角形中与三角函数、平面向量有密切的联系.2.利用正弦定理可以解决两类解三角形问题：一类是已知两角和任一边，求其他两边和一角；另一类是已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角.3.解题时，要注意“三角形内角和为180”、“在一个三角形中，大边对大角”等平面几何性质的运用.4.要注意正弦定理的变式在解题中的应用，在解题时体会分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法的应用.知能自主梳理正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的相等，即=.答案正弦的比思路方法技巧命题方向正弦定理的理解例1有关正弦定理的叙述：正弦定理只适用于锐角三角形；正弦定理不适用于直角三角形；在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；在ABC中，sinA：sinB：sinC=a：b：c.其中正确的序号是.分析紧扣正弦定理进行推理判断.答案解析正弦定理适用于任意三角形,故均不正确；由正弦定理可知,三角形一旦确定,则各边与其所对角的正弦的比就确定了,故正确；由比例性质和正弦定理可推知正确.说明公式、定理的适用条件与公式、定理本身同样重要.变式应用1满足sinA：sinB：sinC=1：2：3的ABC是否存在？ 解析假设满足条件的ABC存在，并设内角A,B,C的对边分别是a,b,c.则由正弦定理知.又sinA：sinB： sinC=1：2：3,a：b：c=1：2：3.则,=2a,c=3a,a+b=c.与三角形中两边之和大于第三边矛盾.故满足sinA：sinB：sinC=1：2：3的ABC不存在.命题方向正弦定理的应用例2在ABC中，已知A=45,B=30,c=10,求b.分析先利用三角形内角和定理求角C，再利用正弦定理求边b.解析A+B+C=180,C=105,sin105 =sin(45+60)（+）=,b=c=5().说明本题属于已知两角与一边求解三角形的类型，此类问题的基本解法是：（1）若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；（2）若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.变式应用2已知ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=c=+，且A=75，则b=（）A.2B. C.4-2.4+2答案A解析由a=c=可知，C=A75，B=30,sinB=.又sinA=sin75=sin(30+45) =sin30cos45+cos30sin45=+=.由正弦定理，得b=故选A.例3（2012儋州高二检测）在ABC中，a=1, b=,A=30,求边c的长.分析由正弦定理求sinB判断B的范围确定B的值求边c解析由,得sinB=.aA=30B为60或120.(1)当B60时，C180603090.此时，c=2.(2)当B120时，C1801203030.此时，c=a=1.说明利用正弦定理解三角形，若已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍.变式应用3本例中，若a=3,A=60,其他条件不变，则B是多少度？解析由,得sinB=sinA=，得B=30或150，又ab,AB,而A60,B=30.探索延拓创新命题方向求三角形的面积例4在ABC中，B=30,AB=2,AC=2,求ABC的面积.分析首先要讨论三角形解的个数，然后利用三角形的面积公式求解.解析由正弦定理，得,sinC=.ABAC,CB=30,即C有两解.C=60或120.当C=60时，A=90,SABC=ABACsinA=22sin90=2;当C=120时，A=30,SABC=ABACsinA=22sin30=.综上可知，ABC的面积为2或.说明利用三角形的面积公式S=absinC=bcsinA=acsinB即可求出三角形的面积，同时要注意解的个数.变式应用4在ABC中，角A、B、C的对边分别是a,b,c,已知A=，b=1,ABC的外接圆半径为1，则ABC的面积S=.答案解析由正弦定理=2R,a=,sinB=,ab,AB,B=,C=.SABC=.名师辨误做答例5在ABC中，若tanA：tanB=a2：b2,试判断ABC的形状.误解由正弦定理得，,a2：b2=sin2A：sin2B,tanA：tanB=a2：b2,.sinA0,sinB0,sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,2A=2B,A=B.故ABC是等腰三角形.辨析在ABC中，若sin2A=sin2B,则2A=2B或2A+2B=,误解中漏掉2A+2B=这一情况.正解由正弦定理得，,a2：b2=sin2A：sin2B,tanA：tanB=a2：b2,.sinA0,sinB0,sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,2A=2B或2A+2B=，A=B或A+B=,故ABC是等腰三角形或直角三角形.课堂巩固训练一、选择题1.一个三角形的内角分别为45与30，如果45角所对的边长是4，则30角所对的边长为（）A.2 B.3 C.2 D.3答案C解析设所求边长为x,由正弦定理得，=,x=2,故选C.2.已知ABC中，a=1,b=,A=30,则B=（）A. B. C. 或D. 或答案C解析由 ,得sinB=,sinB= =,B=或.3.已知ABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，那么对应的三边之比a：b：c等于（）A.3：2：1B. ：2：1C. ：1D.2：1答案DA：B：C=3：解析A+B+C=180A=90,B=60,C=30.a：b：c=sinA：sinB：sinC=1：=2：1.二、填空题4.在ABC中，若b=1,c=,C=,则a=.答案1解析由正弦定理，得=,sinB=.C为钝角，B必为锐角，B=,A=,a=b=1.5.在ABC中，a、b、c分别是A、B、C所对的边，若A=105，B=45，b=2，则c=.答案2解析由已知，得C=180-105-45=30. =c=2.三、解答题6.在ABC中，已知A=45，B=30，c=10，求b.解析A+B+C=180,C=105.=,b=,又sin105=sin(6045)+=,b=5().课后强化作业一、选择题1.在ABC中，下列关系中一定成立的是（）A.absinAB.a=bsinAC.absinAD.absinA答案D解析由正弦定理，得,a=,在ABC中，00),从而解出a=x,b=x,c=x.a：b：c=7：5：3.sinA：sinB：sinC=7：5：3.3.已知锐角ABC的面积为3，BC=4，CA=3，则角C的大小为（）A.75B.60C.45D.30答案B解析由题意，得43sinC3,sinC=,又0Cb,A=150,故应有一解；对于C,absinA,故无解；对于D，csinBbb,A=60,B为锐角.cosB= =.7.在ABC中，a=10,B=60,C=45,则c等于 ()A.10+B.10（-1）C.10（+1）D.10答案B解析由已知得A=75,sinA=sin(30+45)=sin30cos45+cos30sin45=,c=10(-1).8.已知ABC中，a=x，b=2，B=45，若三角形有两解，则x的取值范围是（）A.x2B.x2C.2x2D.2x2解析由题设条件可知xsin4522x2.二、填空题9.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A,a=,b=1,则c=.答案2解析由正弦定理得sinB=sinA=,又b=1a=,BA=,而0B,B=,C=,由勾股定理得c=2.10.在ABC中，A=60,C=45,b=2.则此三角形的最小边长为.答案2-2解析A=60，C=45，B=75,最小边为c,由正弦定理，得,=,又sin75=sin(45+30)=sin45cos30+cos45sin30=+,c=2-2.11.ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a=b,A=2B,则cosB=.答案解析由正弦定理，得 =,a=b可转化为=.又A=2B，=,cosB=.12.在ABC中，已知tanB=,cosC=,AC=3,求ABC的面积.答案6+8解析设在ABC中AB、BC、CA的边长分别为c、a、b.由tanB=,得B60，sinB=，cosB=.又cosC=,sinC=.由正弦定理，得c=8.又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=+,SABC=bcsinA=38(+)=6+8.三、解答题13.在ABC中，已知a=,b=,B=45，求A、C及边c.解析由正弦定理得，sinA= =，ab,AB=45,A为锐角或钝角（或asinBba），A=60或A=120，当A=60时，C=180-45-60=75，sin75=sin(45+30)= +=,c=，当A=120时，C=180-45-120=15，sin15=sin(45-30)= ,c= =，A=60,C=75,c，或A=120，C=15，c=.14.在ABC中，a