第九篇 第2讲 圆与圆的方程

第2讲 圆与圆的方程A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1(2013济宁一中月考)若直线3xya0过圆x2y22x4y0的圆心，则a的值为 ()A1 B1 C3 D3解析化圆为标准形式(x1)2(y2)25，圆心为(1,2)直线过圆心，3(1)2a0，a1.答案B2(2013上饶质检)设圆的方程是x2y22ax2y(a1)20，若0a1，则原点与圆的位置关系是 ()A原点在圆上 B原点在圆外C原点在圆内 D不确定解析将圆的一般方程化为标准方程(xa)2(y1)22a，因为0a0，所以原点在圆外答案B3圆(x2)2y25关于直线yx对称的圆的方程为 ()A(x2)2y25 Bx2(y2)25C(x2)2(y2)25 Dx2(y2)25解析由题意知所求圆的圆心坐标为(0，2)，所以所求圆的方程为x2(y2)25.答案D4(2013汉中模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为 ()Ax2y232 Bx2y216C(x1)2y216 Dx2(y1)216解析设P(x，y)，则由题意可得：2，化简整理得x2y216，故选B.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)5以A(1,3)和B(3,5)为直径两端点的圆的标准方程为_解析由中点坐标公式得AB的中点即圆的圆心坐标为(2,4)，再由两点间的距离公式得圆的半径为，故圆的标准方程为(x2)2(y4)22.答案(x2)2(y4)226已知直线l：xy40与圆C：(x1)2(y1)22，则圆C上各点到l的距离的最小值为_解析由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去半径，即.答案三、解答题(共25分)7(12分)求适合下列条件的圆的方程：(1)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(9,2)解(1)法一设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有解得a1，b4，r2.圆的方程为(x1)2(y4)28.法二过切点且与xy10垂直的直线为y2x3，与y4x联立可求得圆心为(1，4)半径r2，所求圆的方程为(x1)2(y4)28.(2)法一设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，则解得D2，E4，F95.所求圆的方程为x2y22x4y950.法二由A(1,12)，B(7,10)，得AB的中点坐标为(4,11)，kAB，则AB的垂直平分线方程为3xy10.同理得AC的垂直平分线方程为xy30.联立得即圆心坐标为(1,2)，半径r10.所求圆的方程为(x1)2(y2)2100.8(13分)已知以点P为圆心的圆经过点A(1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程解(1)直线AB的斜率k1，AB的中点坐标为(1,2)，直线CD的方程为y2(x1)，即xy30.(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得ab30.又直径|CD|4，|PA|2，(a1)2b240，由解得或圆心P(3,6)或P(5，2)，圆P的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1(2013榆林调研)已知圆C：x2y2mx40上存在两点关于直线xy30对称，则实数m的值为 () A8 B4 C6 D无法确定解析圆上存在关于直线xy30对称的两点，则xy30过圆心，即30，m6.答案C2圆心为C的圆与直线l：x2y30交于P，Q两点，O为坐标原点，且满足0，则圆C的方程为 ()A.2(y3)2 B.2(y3)2C.2(y3)2 D.2(y3)2解析法一圆心为C，设圆的方程为2(y3)2r2.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)由圆方程与直线l的方程联立得：5x210x104r20，x1x22，x1x2.由0，得x1x2y1y20，即：x1x2(x1x2)0，解得r2，经检验满足判别式0.故圆C的方程为2(y3)2.法二圆心为C，设圆的方程为2(y3)2r2，在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的，即2(y3)2，故选C.答案C二、填空题(每小题5分，共10分)3已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(xa)2(yb)2r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为_解析由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又OPQ为直角三角形，故其圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径为，圆C的方程为(x2)2(y1)25.答案(x2)2(y1)254已知圆C：(x3)2(y4)21，点A(1,0)，B(1,0)，点P是圆上的动点，则d|PA|2|PB|2的最大值为_，最小值为_解析设点P(x0，y0)，则d(x01)2y(x01)2y2(xy)2，欲求d的最值，只需求uxy的最值，即求圆C上的点到原点的距离平方的最值圆C上的点到原点的距离的最大值为6，最小值为4，故d的最大值为74，最小值为34.答案7434三、解答题(共25分)5(12分)(2013大连模拟)已知圆M过两点C(1，1)，D(1,1)，且圆心M在xy20上(1)求圆M的方程；(2)设P是直线3x4y80上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值解(1)设圆M的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，根据题意得：解得ab1，r2，故所求圆M的方程为(x1)2(y1)24.(2)因为四边形PAMB的面积SSPAMSPBM|AM|PA|BM|PB|，又|AM|BM|2，|PA|PB|，所以S2|PA|，而|PA|，即S2.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x4y80上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min3，所以四边形PAMB面积的最小值为S222.6(13分)(2013南昌模拟)已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值解(1)设圆心C(a，b)，则解得则圆C的方程为x2y2r2，将点P的坐标代入得r22，故圆C的方程为x