2016新人教a版高中数学必修一第二章 基本初等函数（i）学案

【三维设计】2015高中数学 第二章 基本初等函数（I）学案 新人教A版必修12.1指数函数21.1指数与指数幂的运算第一课时根式根式提出问题(1)若x29，则x是9的平方根，且x3；(2)若x364，则x是64的立方根，且x4；(3)若x481，则x是81的4次方根，且x3；(4)若x532，则x是32的5次方根，且x2.问题1：观察(1)(3)，你认为正数的偶次方根都是两个吗？提示：是问题2：一个数的奇次方根有几个？提示：1个问题3：由于224，小明说，2是4的平方根；小李说，4的平方根是2，你认为谁说的正确？提示：小明导入新知根式及相关概念(1)a的n次方根定义：如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*.(2)a的n次方根的表示：n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数Rn为偶数0，)(3)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数化解疑难根式记号的注意点(1)根式的概念中要求n1，且nN*.(2)当n为大于1的奇数时，a的n次方根表示为(aR)；当n为大于1的偶数时，(a0)表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是，从而na.根式的性质提出问题问题1：3，3，4分别等于多少？提示：2，2,2.问题2：， ，分别等于多少？提示：2,2,2,2.问题3：等式a及()2a恒成立吗？提示：当a0时，两式恒成立；当a1)(2)(3)0.(4)负数没有偶次方根化解疑难()n与的区别(1)当n为奇数，且aR时，有()na；(2)当n为偶数，且a0时，有()na.根式的概念例1(1)下列说法：16的4次方根是2；的运算结果是2；当n为大于1的奇数时，对任意aR都有意义；当n为大于1的偶数时，只有当a0时才有意义其中说法正确的序号为_(2)若有意义，则实数a的取值范围是_解析(1)16的4次方根应是2；2，所以正确的应为.(2)要使有意义，则a30，即a3.a的取值范围是a|a3答案(1)(2)a|a3类题通法判断关于n次方根的结论应关注两点(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号活学活用已知m102，则m等于()A. BC. D解析：选Dm102，m是2的10次方根又10是偶数，2的10次方根有两个，且互为相反数m.利用根式的性质化简求值例2化简：(1)(x，nN*)；(2).解(1)x，x0，y0 Bx0，y0Cx0，y0 Dx0，y0(2)设3x3，求的值(1)解析2|xy|2xy，xy0.又xy0，xy0，故选B.答案B(2)解原式|x1|x3|.3x3，当3x1时，原式(x1)(x3)2x2.当1x3时，原式(x1)(x3)4.原式类题通法有条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负活学活用若nm0，则等于()A2m B2nC2m D2n解析：选C原式|mn|mn|，nm0，mn0，原式(mn)(mn)2m.典例化简_.解析(1)|1|112.答案2易错防范1本题易忽视0，而误认为1而导致解题错误2对于根式的化简一定要注意n为正奇数还是正偶数，因为a(aR)成立的条件是n为正奇数，如果n为正偶数，那么|a|.活学活用当a，bR时，下列各式恒成立的是()A()4abB()4abC.abD.ab解析：选B当且仅当ab0时，()4ab；当且仅当a0，b0时，ab；当且仅当ab0时，ab.由于a，b符号未知，因此选项A，C，D均不一定恒成立选项B中，由可知ab0，所以()4ab.故选B.随堂即时演练1化简的结果是()A12xB0C2x1 D(12x)2解析：选C|12x|，x，12x3，则|2x|_.解析：|2x|2x|x3|2x|x3(x2)1.答案：14化简()2_.解析：由根式有意义可得a10，即a1，原式(a1)(a1)(1a)a1.答案：a15已知ab1，nN*，化简.解：ab0，ab0，ab0.当n是奇数时，原式(ab)(ab)2a；当n是偶数时，原式|ab|ab|(ba)(ab)2a.课时达标检测一、选择题1.(a4)0有意义，则a的取值范围是()Aa2 Ba2Ca4 D2a4或a4解析：选D要使原式有意义，只需即a2且a4.2.的值为()A6 B22C2 D6解析：选A6，|4|4，4，原式6446.3化简得()A6 B2xC6或2x D6或2x或2x解析：选C注意开偶次方根要加绝对值，|x3|(x3)故选C.4.等于()A4 B2C2 D4解析：选D(2)(2)4.5.已知二次函数yax2bx0.1的图象如图所示，则的值为()Aab B(ab)Cab Dba解析：选D由图象知a(1)2b(1)0.10，ab，|ab|ba.二、填空题6设m0，则()2_.解析：m0，()2m.答案：m7若x4，则实数x的取值范围是_解析：|x4|又x4，|x4|x4，x4.答案：x48设f(x)，若0a1，则f_.解析：f，由于0a1，所以a，故fa.答案：a9写出使下列等式成立的x的取值范围：(1)；(2)(5x).解：(1)要使 成立，只需x30即可，即x3.(2).要使(5x)成立，只需即5x5.10化简()2.解：由题意可知有意义，a1.原式(a1)|1a|(a1)a1a1a13a3.第二课时指数幂及运算分数指数幂的意义提出问题问题1：判断下列运算是否正确(1) a2a4(a0)；(2)a4a (a0)提示：正确问题2：能否把， 写成下列形式：a (a0)；b (b0)；c (c0)提示：能导入新知分数指数幂的意义(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a(a0，m，nN*，且n1)(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a(a0，m，nN*，且n1)(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义化解疑难对分数指数幂的理解(1)指数幂a不可以理解为个a相乘，它是根式的一种新写法在定义的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以分数指数幂与根式可以相互转化；(2)通常规定分数指数幂的底数a0，但要注意在像(a)中的a，则需要a0.有理指数幂的运算性质导入新知有理数指数幂的运算性质(1)arasars(a0，r，sQ)；(2)(ar)sars(a0，r，sQ)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)化解疑难有理指数幂的运算性质的理解与巧记(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的幂，底数不变，指数相乘；积的幂等于幂的积(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘根式与分数指数幂的互化例1(1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是()A(x) (x0)B.y (y0) Dx(x0)(2)用分数指数幂的形式表示下列各式a2(a0)；(a0)； (b0)；(x0，y0)(1)解析x (x0)；(y)2 y (y0)；x(x0)答案C(2)解a2a2aa2a. a.原式bb.法一：从外向里化为分数指数幂y.法二：从里向外化为分数指数幂 y.类题通法根式与分数指数幂的互化技巧(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a和a，其中字母a要使式子有意义(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂活学活用将下列根式化为分数指数幂的形式：(1) (a0)；(2) (x0)；(3) (a0，b0)解：(1)原式a.(2)原式x.(3)原式ab3(ab5) aab3(b5) ab.指数幂的运算例2计算下列各式：(1)0220.010.5；(2)0.0640(2)3 160.75；(3) (a0，b0)解(1)原式11.(2)原式0.411(2)4231.(3)原式aabba0b0.类题通法利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示活学活用计算下列各式的值：(1)0.02720；(2) 0160.750.25；(3)21.0303.解：(1)原式2149145.(2)原式1160.5180.510.(3)原式4213165221.典例(12分)已知xy12，xy9，且xy，求：(1)xy；(2)xy；(3)xy.解题流程(1)将xy，xy平方后即可建立其与xy及xy的关系；,(2)可利用平方差公式将xy分解成(xy)(xy)求解 规范解答(1)2xy218，(2分)xy3.(4分)(2)2xy26，(6分)又xy，xy.(8分)(3)xy22 (10分)3()32236.(12分)名师批注 活学活用已知aa15，求下列各式的值；(1)a2a2；(2)aa.解：(1)法一：由aa15两边平方得：a22aa1a225，即：a2a223；法二：a2a2a22aa1a22aa1(aa1)2225223；(2)(aa)2aa12523，|aa|.aa.随堂即时演练1若2a3，化简的结果是()A52aB2a5C1 D1解析：选C由于2a3，所以2a0，所以原式a23a1.2(2ab(ab)6(3ab)等于()A.abBaCabD.ab解析：选A原式(2)(1)6(3)(ab)(a3b2)(ab)ab=ab注意符号不能弄错3若10x3,10y4，则102xy_.解析：10x3，102x9，102xy.答案：4化简的结果是_解析： a.答案：a5计算(或化简)下列各式：(1)4123264；(2).解：(1)原式(22)1232(26) 22223224222324212.(2)原式ab0.课时达标检测一、选择题1.(a0)的值是()A1 BaCa Da解析：选D原式a3aaa3a.2化简的结果为()A5 B.C D5解析：选B(5)5.3.0(10.52)的值为()A B.C. D.解析：选D原式1(122)21(3).故选D.4若a1，b0，abab2，则abab等于()A. B2或2C2 D2解析：选Da1，b0，abab，(abab)2(abab)24(2)244，abab2.5设x，y是正数，且xyyx，y9x，则x的值为()A. B.C1 D.解析：选Bx9x(9x)x，(x9)x(9x)x，x99x.x89.x.二、填空题6化简(a0，b0)的结果是_解析：原式a1b12.答案：7已知x(55)，nN*，则(x)n的值为_解析：因为1x2(525)(55)2，所以(x)nnn5.答案：58设a2b4m(a0，b0)，且ab6，则m等于_解析：a2b4m(a0，b0)，am，bm，ab2.由ab6得b2b60，解得b2或b3(舍去)m2，m2416.答案：16三、解答题9化简求值：(1)0.50.1230；(2)(0.002)10(2)1()0；(3)(a2b3)(4a1b)(12a4b2c)；(4)243.解：(1)原式31003100.(2)原式(1)1(500)10(2)11010201.(3)原式4a21b31(12a4b2c)a3(4)b2(2)c1ac1.(4)原式2a(4ab)(3b)ab3bab.10已知a3，求的值解：1.21.2指数函数及其性质第一课时指数函数及其性质指数函数的定义提出问题观察下列从数集A到数集B的对应：AR，BR，f：xy2x；AR，B(0，)，f：xyx.问题1：这两个对应能构成函数吗？提示：能问题2：这两个函数有什么特点？提示：底数是常数，指数是自变量导入新知指数函数的定义函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.化解疑难指数函数的概念中规定a0且a1的原因(1)若a0，则当x0时，ax0；当x0时，ax无意义(2)若a0，且a1.在规定以后，对于任何xR，ax都有意义，且ax0.指数函数的图象与性质提出问题问题1：试作出函数y2x(xR)和y()x(xR)的图象提示：问题2：两函数图象有无交点？提示：有交点，其坐标为(0,1)问题3：两函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？提示：定义域都是R；值域都是(0，)；函数y2x是增函数，函数yx是减函数导入新知指数函数的图象和性质a10a1图象性质定义域R值域(0，)过定点过点(0,1)即x0时，y1单调性是R上的增函数是R上的减函数化解疑难透析指数函数的图象与性质(1)当底数a大小不确定时，必须分a1和0a1时，x的值越小，函数的图象越接近x轴；当0a0且a1解析(1)中，3x的系数是2，故不是指数函数；中，y3x1的指数是x1，不是自变量x，故不是指数函数；中，y3x,3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故是指数函数；中，yx3中底数为自变量，指数为常数，故不是指数函数所以只有是指数函数(2)由指数函数定义知所以解得a3.答案(1)B(2)C类题通法判断一个函数是否为指数函数的方法判断一个函数是否是指数函数，其关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征：(1)底数a0，且a1.(2)ax的系数为1.(3)yax中“a是常数”，x为自变量，自变量在指数位置上活学活用下列函数中是指数函数的是_(填序号)y2()x；y2x1；yx；yxx；y3；yx.解析：中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；中y2x12x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；中指数不是x，故不是指数函数；中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数故填.答案：指数函数的图象问题例2(1)如图是指数函数yax，ybx，ycx，ydx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()Aab1cdBba1dcC1abcdDab1d0，且a1)的图象过定点_解析(1)由图象可知的底数必大于1，的底数必小于1.过点(1,0)作直线x1，如图所示，在第一象限内直线x1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1dc，ba1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为ba1d0，且a1)的图象过定点(0,1)，所以在函数yax33中，令x3，得y134，即函数的图象过定点(3,4)法二：将原函数变形，得y3ax3，然后把y3看作是(x3)的指数函数，所以当x30时，y31，即x3，y4，所以原函数的图象过定点(3,4)答案(1)B(2)(3,4)类题通法底数a对函数图象的影响(1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a1时，指数函数的图象“上升”；当0a1，还是0ab1时，若x0，则axbx1；若xbxax0.当1ab0时，若x0，则1axbx0；若xax1.活学活用若函数yax(b1)(a0，且a1)的图象不经过第二象限，则有()Aa1且b1 B0a1且b1C0a0 Da1且b0解析：选D由指数函数图象的特征可知0a0，且a1)的图象必经过第二象限，故排除选项B、C.又函数yax(b1)(a0，且a1)的图象不经过第二象限，则其图象与y轴的交点不在x轴上方，所以当x0时，ya0(b1)0，即b0，故选项D正确.与指数函数有关的定义域、值域问题例3求下列函数的定义域和值域：(1)y；(2)y2；(3)y.解(1)要使函数式有意义，则13x0，即3x130，因为函数y3x在R上是增函数，所以x0，故函数y的定义域为(，0因为x0，所以00且y1(3)要使函数式有意义，则|x|0，解得x0，所以函数y的定义域为x|x0而y01，则函数y的值域为y|y1类题通法指数型函数的定义域、值域的求法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是yax型还是yaf(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，)，切记准确运用指数函数的单调性活学活用求函数yx22x3的定义域和值域解：定义域为R.x22x3(x1)244，x22x3416.又x22x30，函数yx22x3的值域为(0,16典例(12分)已知函数ya2x2ax1(a0，且a1)，当x0时，求函数f(x)的值域解题流程随堂即时演练1已知1nm0，则指数函数ymx，ynx的图象为()解析：选C由于0mn1，解得a0且a1)，又f(2)a24，f(2)f(4)a2a44424364.答案：644函数f(x)x1，x1,2的值域为_解析：1x2，x3.x12.值域为.答案：5已知函数f(x)ax1(x0)的图象经过点(2，)，其中a0且a1.(1)求a的值；(2)求函数yf(x)(x0)的值域解：(1)因为函数图象过点(2，)，所以a21，则a.(2)f(x)()x1(x0)，由x0得，x11，于是00，且a1)；y1x；y()2x1.A0个B1个C3个 D4个解析：选B由指数函数的定义可判定，只有正确2函数y(1)x在R上是()A增函数 B奇函数C偶函数 D减函数解析：选D由于010时，函数f(x)(a21)x的值总大于1，则实数a的取值范围是()A1|a| B|a|1 D|a|解析：选D依题意得a211，a22，|a|.4函数y(0a0时，yax(0a1)，故去掉A、B，当x0时，yax，与yax(0a1，x1，1b1，且1b0，故其图象如图所示二、填空题6给出函数f(x)则f(2)_.解析：f(2)f(3)238.答案：87.图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数yax的图象，而a，则图象C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是_，_，_，_.解析：由底数变化引起指数函数图象变化的规律，在y轴右侧，底大图高，在y轴左侧，底大图低则知C2的底数C1的底数1C4的底数C3的底数，而，故C1，C2，C3，C4对应函数的底数依次是，.答案：8若x1，x2是方程2x1的两个实数解，则x1x2_.解析：2x1，2x21，x1，x2x10.x1x21.答案：1三、解答题9画出函数y2|x|的图象，观察其图象有什么特征？根据图象指出其值域和单调区间解：当x0时，y2|x|2x；当x0且a1)在1,1上的最大值为14，求a的值解：函数ya2x2ax1(ax1)22，x1,1若a1，则x1时，函数取最大值a22a114，解得a3.若0a0，a1)图象的位置与底数a之间有什么关系？ 4指数函数的单调性与底数之间有什么关系？ 利用指数函数的单调性比较大小例1(1)已知a，函数f(x)ax，若实数m，n满足f(m)f(n)，则m，n的大小关系为_(2)比较下列各题中两个值的大小：1.8，2.5；0.5，0.5；0.20.3,0.30.2.(1)解析因为a(0,1)，所以函数f(x)ax在R上是减函数由f(m)f(n)得mn.答案mn(2)解因为02.5，所以1.80.5.因为00.20.31，所以指数函数y0.2x与y0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，)上函数y0.2x的图象在函数y0.3x的图象的下方，所以0.20.20.30.2.又根据指数函数y0.2x的性质可得0.20.30.20.2，所以0.20.31，所以函数y3x在定义域R上单调递增，又1.82.5，所以31.832.5.(2)依据指数函数中底数a对函数图象的影响，画出函数y7x与y8x的图象(图略)，可得70.580.5.(3)因为167，所以指数函数y6x与函数y7x在定义域R上是增函数，且60.81，所以60.870.7.解简单的指数不等式例2(1)已知3x30.5，求实数x的取值范围(2)已知0.2x1，所以指数函数f(x)3x在R上是增函数由3x30.5，可得x0.5，即x的取值范围为0.5，)(2)因为00.21，所以指数函数f(x)0.2x在R上是减函数又2520.22，所以0.2x2，即x的取值范围为(2，)类题通法解指数不等式应注意的问题(1)形如axab的不等式，借助于函数yax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0ab的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数yax的单调性求解活学活用如果a5xax7(a0，且a1)，求x的取值范围解：当a1时，a5xax7，5xx7，解得x.当0aax7，5x.综上所述，当a1时，x(，)；当0a1时，x(，).指数函数性质的综合应用例3已知函数f(x)2x2axb，且f(1)，f(2).(1)求a，b的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)判断并证明函数f(x)在0，)上的单调性，并求f(x)的值域解(1)根据题意得解得故a，b的值分别为1,0.(2)由(1)知f(x)2x2x，f(x)的定义域为R，关于原点对称因为f(x)2x2xf(x)，所以f(x)为偶函数(3)设任意x1x2，且x1，x20，)，则f(x1)f(x2)(2x12x1)(2x22x2)(2x12x2)(2x12x2).因为x1x2，且x1，x20，)，所以2x12x21，所以2x1x210，则f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以f(x)在0，)上为增函数当x0时，函数取得最小值，为f(0)112，所以f(x)的值域为2，)类题通法解决指数函数性质的综合问题应关注两点(1)指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义(2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质活学活用已知函数f(x).(1)求证：f(x)是奇函数；(2)用单调性的定义证明：f(x)在R上是增函数证明：(1)f(x)的定义域是R，对任意的xR，都有f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数(2)f(x)1(可以不分离常数，但分离常数后计算较简单)设x1，x2是R上的任意两个值，且x1x2，则f(x1)f(x2)(1).因为x1x2，所以2x11,2x211，所以2x12x20，则f(x1)f(x2)0，即f(x1)0，a1)在区间1,2上的最大值是最小值的2倍，则实数a的值为_解析当0a1时，f(x)ax为增函数，最小值为a，最大值为a2.故a22a，解得a2.综上，a或a2.答案或2易错防范1解决上题易忽视对a的讨论，错认为a22a，从而导致得出a2的错误答案2求函数f(x)ax(a0，a1)在闭区间s，t上的最值，应先根据底数的大小对指数函数进行分类当底数大于1时，指数函数为s，t上的增函数，最小值为as，最大值为at.当底数大于0小于1时，指数函数为s，t上的减函数，最大值为as，最小值为at.活学活用f(x)ax(a0，且a1)在1,2上的最大值与最小值之和为6，则a_.解析：由于ax(a0，且a1)在1,2上是单调函数，故其最大值与最小值之和为a2a6，解得a3(舍去)，或a2，所以a2.答案：2随堂即时演练1若2x11，则x的取值范围是()A(1,1)B(1，)C(0,1)(1，) D(，1)解析：选D不等式2x1120，y2x是增函数，x10，即xbc BbcaCcba Dacb解析：选Da60.7601，c0.80.70.70.70.70.8b，且c0.80.7cb.3不等式2x223x的解集是_解析：由2x223x得x23x，即x，解集为x|x答案：x|x0，且a1)在区间1,2上的最大值比最小值大，则a的值为_解析：(1)若a1，则f(x)在1,2上递增，a2a，即a或a0(舍去)(2)若0a0.(1)求a的值；(2)判断f(x)在(0，)上的单调性解：(1)f(x)是R上的偶函数，f(1)f(1)，即ae.e，a0，a21.又a0，a1.(2)f(x)exex，设x1，x20，且x10，x1ex1且ex1ex21，(ex2ex1)0，即f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上为增函数课时达标检测一、选择题1函数y2x1的图象是()解析：选A函数y2x的图象是经过定点(0,1)、在x轴上方且呈上升趋势的曲线，依据函数图象的画法可得函数y2x1的图象过点(0,2)、在x轴上方且呈上升趋势故选A.2若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义域均为R，则()Af(x)与g(x)均为偶函数Bf(x)为偶函数，g(x)为奇函数Cf(x)与g(x)均为奇函数Df(x)为