2016高中数学人教a必修1第二章2.2.1　对数与对数运算

2.2.1对数与对数运算1对数的概念来源:(1)定义：一般地，如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数释疑点 在对数logaN中规定a0，且a1，N0的原因(1)若a0，则N为某些数值时，x不存在，如式子(3)x4没有实数解，所以log(3)4不存在，因此规定a不能小于0；(2)若a0，且N0时，logaN不存在；N0时，loga0有无数个值，不能确定，因此规定a0，N0；(3)若a1，且N1时，x不存在；而a1，N1时，x可以为任何实数，不能确定，因此规定a1；(4)由axN，a0知N恒大于0(2)特殊对数名称记法说明常用对数lg N以10为底的对数，并把log10N记为lg N自然对数ln N以e(e2.718 28)为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N(3)对数的性质根据对数的概念，对数logaN(a0，且a1)具有以下性质：性质说明零和负数没有对数，即N0当a0，且a1时，ax0，即Nax0，所以对数logaN只有在N0时才有意义1的对数等于0，即loga10因为a01，由对数的定义得0loga1底的对数等于1，即logaa1因为a1a，由对数的定义得1logaa(4)对数与指数的互化关系当a0，且a1时如图所示：比如：43643log464；log52525225；以前无法解的方程2x3，学习了对数后就可以解得xlog23谈重点 对指数与对数的互化关系的理解(1)由指数式abN可以写成logaNb(a0，且a1)，这是指数式与对数式互化的依据从对数定义可知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式其关系如下表：式子来源:名称来源:来源:意义axN指数式axN底数指数幂a的x次幂等于N对数式logaNx底数对数真数以a为底N的对数等于x(2)根据指数与对数的互化关系，可以得到恒等式指数与对数的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效手段【例11】下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是()A1001与lg 10B与Clog392与3Dlog551与515解析：指数式与对数式的互化中，其底数都不变，指数式中的函数值与对数式中的真数相对应，对于C，log392329或3log93故选C答案：C【例12】完成下表指数式与对数式的转换题号指数式对数式(1)1031 000(2)log210x(3)e3x解析：(1)1031 000lg 1 0003(2)log210x2x10(3)e3xln x3答案：(1)lg 1 0003；(2)2x10；(3)ln x3【例13】求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)0；(2)log3(lg x)1；(3)logx27；(4)xlog84解：(1)log2(log5x)0，log5x1x515(2)log3(lg x)1，lg x313x1031 000(3)logx27，27x3481(4)xlog84，8x423x223x2，即x2对数的运算性质(1)对数的运算性质如果a0，且a1，M0，N0，那么：loga(MN)logaMlogaN；logaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)谈重点 对对数的运算性质的理解(1)对应每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，如log2(3)(5)log2(3)log2(5)是错误的(2)巧记对数的运算性质：两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的积；两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差；正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数(2)对数的运算法则与指数的运算法则的联系式子abNlogaNb运算性质amanamnloga(MN)logaMlogaNamnlogaMlogaN(am)namnlogaMnnlogaM谈重点 对数运算性质推导的基本方法利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题如“loga(MN)logaMlogaN”的推导：设logaMm，logaNn，则amM，anN，于是MNamanamn，因此loga(MN)logaMlogaNmn【例21】若a0，且a1，xy0，nN*，则下列各式：logaxlogayloga(xy)；logaxlogayloga(xy)；loga(xy)logaxlogay；(logax)nlogaxn；其中式子成立的个数为()A2 B3 C4 D5解析：序号对错理由例如log24log222，而log2(42)log262例如log28log241log2(84)2例如log2(42)log283，而log24log2223例如21例如(log24)38log2436logax1(logax)logax答案：A辨误区 应用对数的运算性质常见的错误常见的错误有：loga(MN)logaMlogaN；loga(MN)logaMlogaN；logaMn(logaM)n【例22】计算：(1)2log122log123；(2)lg 500lg 5；(3)已知lg 20.301 0，lg 30.477 1，求解：(1)原式log1222log123log124log123log12121(2)原式lg 100lg 1022lg 102(3)(lg 5lg 9)(1lg 22lg 3)，又lg 20.301 0，lg 30.477 1，(10.301 020.477 1)0.826 6析规律 对数的运算性质的作用(1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算；(2)由于lg 2lg 5lg 101，所以lg 51lg 2，这是在对数运算中经常用到的结论3换底公式(1)公式logab(a0，且a1；c0，且c1，b0)(2)公式推导：设，则logcbxlogcalogcax，baxxlogablogab(3)公式的作用换底公式的作用在于把以a为底的对数，换成了以c为底的对数，特别有：，利用它及常用对数表、自然对数表便可求任一个对数的值(4)换底公式的三个推论：(a，N0，且a1，m0，m，nR)；logab(a，b0，且a，b1)；logablogbclogcdlogad(a，b，c0，且a，b，c1，d0)证明：logamNnlogablogablogbclogcdlogad【例31】的值是()A B C1 D2解析：(思路一)将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即(思路二)将分母利用换底公式转化为以2为底的对数，即答案：A【例32】若log34log48log8mlog416，则m等于()A B9 C18 D27解析：log34log48log8mlog416，log4422，化简得lg m2lg 3lg 9m9答案：B4对数定义中隐含条件的应用根据对数的定义，对数符号logaN中实数a和N满足的条件是底数a是不等于1的正实数，真数N是正实数，即因此讨论对数问题时，首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件对数概念比较难理解，对数符号初学时不太好掌握，学习时要抓住对数与指数相互联系，深刻理解对数与指数之间的关系，将有助于掌握对数的概念【例41】已知对数log(1a)(a2)有意义，则实数a的取值范围是_解析：根据对数的定义，得解得2a0或0a1答案：(2,0)(0,1)【例42】若log(1x)(1x)21，则x_解析：由题意知1x(1x)2，解得x0，或x3验证知，当x0时，log(1x)(1x)2无意义，故x0不合题意，应舍去所以x3答案：x35对数的化简、求值问题应用对数的定义、有关性质及运算法则等可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算过程，加快计算速度(1)同底数的对数式的化简、求值一是“拆”，将积、商的对数拆成对数的和、差如log35log39log35log35log392二是“收”，将同底数的对数和、差合成积、商的对数如，log35log392三是“拆”与“收”相结合(2)不同底数的对数式的化简、求值常用方法是利用换底公式，转化为同底数的对数式，进而进行化简，化简后再将底数统一进行计算也可以在方向还不清楚的情况下，统一将不同的底换为常用对数等，再进行化简、求值对数式的化简、求值，要灵活运用对数的性质、运算性质、换底公式和一些常见的结论，如loga10，logaa1，alogaNN，lg 2lg 51，logablogba1等【例51】化简求值：(1)4lg 23lg 5；(2)；(3)2log32log38；(4)log2(1)log2(1)分析：依据对数的运算性质进行化简，注意运算性质的正用、逆用以及变形应用解：(1)原式lg 1044(2)原式3log32log233(3)原式2log32(log332log39)3log3235log32(5log322log33)31(4)原式log2(1)(1)log2(1)23log2(33)【例52】计算：(log43log83)(log32log92)分析：按照对数的运算法则，无法进行计算，因此可先用换底公式将其化为同底对数，再对代数式进行化简计算观察底数的特点，化成以2或以3为底的对数解：原式6条件求值问题对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题例如：设xlog23，求的值时，我们可由xlog23，求出2x3,2x，然后将它们代入，可得【例6】已知3a4b36，求的值解：(方法一)由3a4b36，得alog336，blog436故2log363log364log369log364log36361(方法二)由3a4b36，得log63alog64blog636，即alog63blog642于是log63，log62，log63log62log661析规律 与对数式有关的求值问题的解决方法(1)注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，而有些需要将指数式化为对数式；(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应7利用已知对数表示其他对数(1)换底公式的作用是将不同底的对数式转化成同底的对数式，将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算要注意换底公式的正用、逆用及变形应用(2)用对数logax和logby等表示其他对数时，首先仔细观察a，b和所要表示的对数底数的关系，利用换底公式把所要表示的对数底数换为a，b解决此类题目时，通常用到对数的运算性质和换底公式对数的运算性质总结：如果a0，且a1，M0，N0，那么：loga(MN)logaMlogaN；logaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)换底公式：logab(a0，且a1；c0，且c1；b0)(3)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式【例71】已知lg 2a，lg 3b，则log36()ABC D解析：由换底公式得log36答案：B【例72】已知log189a,18b5，求log3645(用a，b表示)分析：利用指数式和对数式的互化公式，将18b5化成log185b，再利用换底公式，将log3645化成以18为底的对数，最后进行对数运算即可解：(方法一)log189a,18b5，log185b于是log3645(方法二)log189a，且18b5，lg 9alg 18，lg 5blg 18log36458与对数有关的方程的求解问题关于对数的方程有三类：第一类是形如关于x的方程logaf(x)b，通常将其化为指数式f(x)ab，这样解关于x的方程f(x)ab即可，最后要注意验根例如：解方程，将其化为指数式为，又，则，所以x1，经检验x1是原方程的根第二类是形如关于x的方程logf(x)nb，通常将其化为指数式fb(x)n，这样解关于x的方程fb(x)n即可，最后要注意验根例如，解方程log(1x)42，将其化为指数式为(1x)24，解得x3或x1，经检验x3是增根，原方程的根是x1第三类是形如关于x的方程f(logax)0，通常利用换元法，设logaxt，转化为解方程f(t)0得tp的值，再解方程logaxp，化为指数式则xap，最后要注意验根【例81】已知lg xlg y2lg(x2y)，求的值解：由已知，可得lg(xy)lg(x2y)2，从而有xy(x2y)2，整理得x25xy4y20，即(xy)(x4y)0从而可得xy或x4y但由x0，y0，x2y0，可得x2y0，于是xy应舍去故x4y，即因此4辨误区 解对数方程易出现的错误在处理与对数有关的问题时，必须注意“真数大于零”这一条件，否则会出现错误例如，本题若不注意“真数大于零”，则会出现两个结果：4和0【例82】解方程lg2xlg x230解：原方程可化为lg2x2lg x30设lg xt，则有t22t30，解得t1或t3，于是lg x1或3，解得或1 000经检验，1 000均符合题意，因此原方程的根是，或x1 000辨误区 lg2x与lg x2的区别本题中，易混淆lg2x和lg x2的区别，lg2x表示lg x的平方，即lg2x(lg x)2，而lg x22lg x9对数运算的实际应用对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛，其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型(公式)，在此基础上进行一些实际求值计算