【真题】2017年天津市高考文科数学试题含答案解析

绝密 启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类） 本试卷分为第 卷 （选择题）和第 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第 卷 1 至 2 页，第 卷 3 至 5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第 卷 注意事项： 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： 如果事件 A， 么 如果事件 A， 么 P(A B)=P(A)+P(B) P(P(A) P(B) 棱柱的体积公式 V= 圆 锥的体积公式 13V 其中 其中 一 、 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . （ 1）设集合 1 , 2 , 6 , 2 , 4 , 1 , 2 , 3 , 4 A B C ，则 ()A B C （ A） 2 （ B） 1,2,4 （ C） 1,2,4,6 （ D） 1, 2,3, 4, 6 【答案】 B （ A）充分而不必要条件 （ B）必要而不充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分也不必要条件 【答案 】 B 【解析】 20x ，则 2x ， 11x ，则 1 1 1 , 0 2 ， 据此可知：“ 20x ”是“ 11x ”的必要二不充分条件 . 本题选择 （ 3）有 5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿 、紫 支彩笔中任取 2支不同颜色的彩笔，则取出的 2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 （ A） 45（ B） 35（ C） 25（ D） 15 【答案】 C （ 4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 19，则输出 N 的值为 （ A） 0 （ B） 1（ C） 2（ D） 3 【答案】 C 【解析】 阅读流程图可得，程序执行过程如下： 首先初始化数值为 19N ， 第一次循环： 1 18 ，不满足 3N ； 第二次循环： 63，不满足 3N ； 第三次循环： 23，满足 3N ； 此时跳出循环体，输出 3N . 本题选择 （ 5）已知双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy 的左焦点为 F ，点 A 在双曲线的渐近线上， 是边长为 2的等边三角 形（ O 为原点），则双曲线的方程为 （ A） 2214 12（ B） 22112 4（ C） 2 2 13x y（ D） 22 13 【答案】 D （ 6）已知奇函数 () 上是 增函数 . 8221( l o g ) , ( l o g 4 . 1 ) , ( 2 )5a f b f c f ，则 ,（ A） （ B） （ C） c b a （ D） c a b 【答案】 C 【解析】由题意： 221l o g l o g 55a f f ， 且： 0 . 822l o g 5 l o g 4 . 1 2 , 1 2 2 ， 据此： 0 . 822l o g 5 l o g 4 . 1 2， 结合函数的单调性有： 0 . 822l o g 5 l o g 4 . 1 2f f f， 即 ,a b c c b a . 本题选择 （ 7）设函数 ( ) 2 s i n ( ) ,f x x x R，其中 0, | | 11 ( ) 2 , ( ) 0 ,88且 () ，则 （ A） 2 ,3 1 2（ B） 2 1 1 ,3 1 2 （ C） 1 1 1 ,3 2 4 （ D） 17,3 2 4 【答案】 A （ 8）已知函数 | | 2 , 1 ,() 2, 1 设 aR ，若关于 x 的不等式 ( ) | |2xf x a在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是 （ A） 2,2 （ B） 2 3, 2 （ C） 2, 2 3 （ D） 2 3 , 2 3 zx 答案】 A 【解析】满足题意时 下方， 当 23a 时，函数图象如图所示，排除 C, 当 23a 时，函数图象如图所示，排除 本题选择 第 卷 注意事项： 1 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上 。 2 本卷共 12小题，共 110分 。 二 . 填空题：本大题共 6小题，每 小题 5分，共 30分 . （ 9） 已知 aR ， 为实数 ， 则 . 【答案】 2 【解析】 ( ) ( 2 ) ( 2 1 ) ( 2 ) 2 1 22 ( 2 ) ( 2 ) 5 5 5a i a i i a a i a a ii i i 为实数， 则 2 0 , 25a a . （ 10）已知 aR ，设函数 ( ) x ax x 的图象在点 （ 1， (1)f ）处的切线为 l，则 l在 . 【答案】 1 【解析】 (1)，切点为 (1, )a ， 1()f x ，则切线的斜率为 (1) 1，切线方程为：( 1 ) ( 1 )y a a x ，令 0x 得出 1y ， l 在 y 轴的截距为 1 科 （ 11）已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 . 【答案】 92【解析】设正方体边长 为 a ， 则 226 1 8 3 ， 外接球直径为 34 4 2 7 92 3 3 , 3 3 8 2R a V R . （ 12）设抛物线 2 4的焦点为 F，学 科 &网准线为 在 20 ， 则圆的方程为 . 【答案】 22( 1 ) ( 3 ) 1 （ 13）若 a， bR ， 0， 则 4441的最小值为 . 【答案】 4 【解析】 4 4 2 24 1 4 1 4a b a ba b a b ， 当且仅当 21时取等号 . （ 14）在 60A ， ， C ， C （ R ），且 4E ，则 的值为 . 【答案】 311【解析】 0 123 2 c o s 6 0 3 ,33A B A C A D A B A C ,则 1 2 2 1 2 3( ) ( ) 3 4 9 3 43 3 3 3 3 3 1 1A D A E A B A C A C A B . 三 . 解答题：本大题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （ 15）（本小题满分 13 分） 在 中，内 角 ,对的边分别为 ,s s B ， 2 2 25 ( )a c a b c . （ I） 求 值； （ )的值 . 【答案】 (1) 55(2) 2554 5 3 2 5 2 5s i n ( 2 ) s i n 2 c o s c o s 2 s i n ( )5 5 5 5 5B A B A B A . （ 16）（本小题满分 13 分） 某电视台播放甲 、 乙两套连续剧 ， 每次播放连续剧时 ， 需要播放广告 两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示： 连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长 （ 分钟 ） 收视人次 （ 万 ） 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知电视台每周安排甲 、 乙连续剧的总播放时间不多于 600分钟，广告的总播放时间不少于 30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2倍 x ， y 表示每周计划播出的甲 、 乙两套连续剧的次数 . （ I）用 x ， y 列出满足题目条件的数学关系式 ， 并画出相应的平面区域 ； （ 电视台每周播出甲 、 乙两套连续剧各多少次 ， 才能使收视人次最多 ？ 【答案】 (1)见解析（ 2）电视台每周播出甲连续剧 6次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多 . 【解析】（）解：由已知， , 6 0 6 0 0 ,5 5 3 0 ,2,0,0, 即7 6 6 0 ,6,2 0 ,0,0, 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1中的阴影部分： 所以，电视台每周播出甲连续剧 6次、乙连续剧 3次时才能使总收视人次最多 . （ 17）（本小题满分 13 分） 如图， 在四棱锥 P 中 ， 平面 C ， B ， 1， 3，4， 2. （ I） 求异面直线 成角的余弦值 ； （ 证： 平面 （ 求直线 平面 成角的正弦值 . 【答案】 (1) 55(2) 55 （）过点 D 作 平行线交 点 F，连结 平面 成的角等于 平面 因为 面 以 为直线 平面 由于 D=1，由已知，得 C D 得 5s i P . 所以，直线 5. （ 18）（本小题满分 13 分） 已知 前 ()N， 的等比数列，且公比大于 0， 2 3 3 4 1 1 1 41 2 , 2 , 1 1b b b a a S b . （）求 （）求数列2 ()nN . 【答案】（ 1） 32. 2.（ 2） 2( 3 4 ) 2 1 6 . 由此可得 32 科 &网 所以， 2， . （）设数列2n 项和为2 62，有 234 2 1 0 2 1 6 2 ( 6 2 ) 2 ， 2 3 4 12 4 2 1 0 2 1 6 2 ( 6 8 ) 2 ( 6 2 ) 2n n ， 上述两式相减，得 2 3 14 2 6 2 6 2 6 2 ( 6 2 ) 2 121 2 ( 1 2 ) 4 ( 6 2 ) 2 ( 3 4 ) 2 1 612 n . 得 2( 3 4 ) 2 1 6 . 所以，数列2n 项和为 2( 3 4 ) 2 1 6. （ 19）（本小题满分 14 分） 设 , ， | | 1a 科网已知函数 32( ) 6 3 ( 4 )f x x x a a x b ，( ) e ( )xg x f x . （）求 () （）已知函数 ()y g x 和 的图象在公共点 （ 有相同的切线， （ i）求证： ()的导数等于 0； （ 关于 ) 在区间00 1, 1上恒成立 ， 求 【答案】（ 1）递 增区间为 ( , )a ， (4 ,)a ，递减区间为 (),4.（ 2）（） ()f x 在0的导数等于 0.（） b 的取值范围是 7 ,1 . 【解析】 （ I）由 32 4( ) 6 3 ( )f x x a b ，可得 （ 为 ( ) x ，00 1 1,x x x ， 由 ， 可得 ( ) 1f x . 又因为0()1f x ，0( ) 0fx ，学 0)f x 的极大值点 ，由 （ I）知0 另一方面，由于 | | 1a ， 故 14 ， 由 （ I）知 ()f x 在 ( , )1内单调递增 ， 在 (),1内单调递减 ， 故当0 ， ( ) ( ) 1在 1, 1上恒成立 ， 从而 ( ) x 在00, 1 1上恒成立 . 由 32( ) 6 3 ( ) 14a a a a b ， 得 322 6 1b a a ， 11a 。 令 32( ) 2 6 1t x ， 1,1x ， 所以 2( ) 6 1 2t x ， 令 ( ) 0tx ， 解得 2x （舍去），或 0x . 因为 ( 1) 7t ， (1) 3t ， (0) 1t ， 故 ()值域为 7 ,1 . 所以， b 的取值范围是 7 ,1 . （ 20）（本小题满分 14分） 已知 椭圆 22 1 ( 0 )xy 的左焦点为 ,()0F c ，右顶点为 A ， 点E 的坐标为 (0, )c ， 的面积为 22b. （ I） 求椭圆的离心率； （ 设 点 Q 在线段 ， 3|2FQ c， 延长线段 椭圆交于点 P ，点 M ， N 在 x 轴 上，N ，且直线 直线 的距离为 c ， 四边形 面积为 3c . （ i）求直线 斜率； （ 椭圆的方程 . 【答案】（ 1） 12（ 2）（） 34（） 22116 12得 ( 2 2 ) 3,22m c ， 即点 2 2 ) 3( , )22m c . 由已知 |32c， 有 2 2 2( 2 2