初二数学上册（青岛版）分式基础知识梳理及经典例题分析.doc

第三章分式一、基础知识梳理（本章主要与分数、四则运算、幂、方程式、分解因式等结合学习）1、分式的概念: 一般地，如果a、b表示两个整式，并且除式b中含有字母，那么式子 叫分式。 解析：(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别；分式a/b有意义，则b =0 (2)分式的分母的值不能等于零若分母的值为零，则分式无意义；反之，若分式a/b无意义，则b =0 (3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零反之，若分式a/b=0，则a =0，且b 0分式的相关概念：分式的约分：指把一个分式的分子与分母的公因式约去。 分式约分的根据是 分式的基本性质 分式约分的主要步骤是：(1)把分式的分子与分母化为积的形式;(2)约去分子与分母的公因式约分的关键是确定公因式。确定公因式分三步：确定因式（如果分母是多项式要首先分解因式）：选择所有因式中出现的相同因式；确定指数：选择相同因式中指数最低的次数；确定系数：求各个系数的最大公约数。最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，叫做最简分式，也叫既约分式分式的通分：指把几个异分母的分式分别化成与原来的分式 相等 的 同分母 的分式.分式通分的根据是分式的基本性质 通常取各分母的所有因式的 最高次幂的积 作公分母，这样的公分母，叫做最简公分母.确定最简公分母分三步：确定因式（如果分母是多项式要首先因式分解）：选择各个分母中出现的所有因式；确定指数：选择各个因式中指数最高的次数；确定系数：求各个系数的最小公倍数。2、分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示是：(其中是不等于零的整式)特别提示：(1)在解题过程中，分母不为0是作为隐含条件给出的若是分式，则说明分母中的字母一定能满足使分母不为0；(2)在运用分式的基本性质时，一定要重点强调c0这个条件，没有给出的，要讨论是否等于0分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变如：（1） （2）； （3）.但要注意下面的错误： = -1是错误的，应该是.3、分式的运算：分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。用式子表示是乘法法则： 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 用式子表示是除法法则： 分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方。表示为：(为整数)分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。用式子表示是：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减用式子表示是： 零指数幂的性质：，负指数幂的性质： (a0，n为整数)分式的混合运算原则 ：先乘方，再乘除，再算加减，有括号，先算括号内的。分式运算规律总结：(1)含有分式的加减运算中，整式可以看作是分母为1的式子，然后通过通分进行计算；(2)能约分的要先约分，可以减少计算步骤；(3)注意运算步骤，也是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；(4)另外可以结合交换律，结合律，分配律等，可以使运算更简便运算的结果要化为最简分式或整式；（5）分式的乘除运算中，整式可以看作分母为1的式子，然后依照分式的乘除法则进行运算；（6）乘方法则中“分子、分母分别乘方”指的是分子、分母整体分别乘方，而不是部分；（7）分式乘除法若无附加条件（如括号等），应按照从左到右的顺序进行；最好先将算式中的除式的分子、分母颠倒位置，将除法转化为乘法后再计算。4、分式方程 定义：分母里含有未知数的方程叫分式方程解分式方程的一般步骤： 1在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程 2解这个方程3把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零；使最简公分母为零的根不是原方程的解，必须舍去（1）为什么要检验根？ 在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根）。对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但变形后得到的整式方程则没有这个要求.如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的值为零，它就不适合原方程，则不是原方程的解。（2）验根的方法：一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解。应当舍去。列分式方程解应用题依据实际问题的数量关系，列代数式。依据等量关系，列出分式方程。与列一元一次方程解应用题的不同之处在于：所列的为分式方程，要检验是否为所列方程的根。二、纵深理解基础知识例题精讲经典例1 写出一个含有字母x的分式：_.（要求：不论x取任何实数，该分式都有意义，且分式的值为负）思路解析：这是一道开放性试题，解题的关键是正确理解分式的概念和有意义的条件，首先找出符合条件的字母，由于x本身取任意实数，所以当分母取ax2n+b（a、b同号且n是正整数）时，ax2n+b0.因此分母可以用x2+1，3x2+2，-2x2-5等来表示，而对于分子，由于分式的值为负，因此也可用ax2n+b来选取.但要注意分子、分母异号，分式要写成最简形式.答案：如(答案不唯一)经典例2 若的值为零，则x的值是( )a.1 b.1 c.-1 d.不存在思路解析：解得x=-1. 答案：c解题关键：分式的值为零，必须同时满足两个条件：一是分子等于零；二是分母不等于零。列出条件后，将分子等于0的x值，代入分母中，若分母为0，则此值舍去。经典例3 小明说：“可以化简为x-3，所以应该是整式.”你认为他的说法正确吗？说明理由.思路解析：这里的化简即约分，依据是分式的基本性质，在分式中,字母x的取值范围是x-3，而在x-3中x的取值范围是任意实数. 解题关键：在分式的约分中，默认的是字母的取值使分母不等于零；而在整式中，字母可取任意实数.答案：不正确，化简后x的取值范围不同，因此x-3不能代替.举一反三提高训练1 下列分式的变形是否正确？为什么？（1）； （2）.思路解析：两题计算都应用了分式的基本性质：分子、分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.在以上变形中，没有指明（x-1）和a不为零.如果指明了就正确答案：都不正确，因为无法保证（1）中分子、分母同乘以的x-1和（2）中的a不为零.举一反三提高训练2 下列分式变形是否正确?为什么?（1）; （2）.思路解析：两个变形也是利用分式的基本性质，原来的两个分式中隐含了x-10和a0，故变形正确.答案：变形正确，因为原分式中隐含了x-10和a0的条件,可以进行约分.经典例4：分式中，当x=-a时，下列结论正确的是( )a.分式的值为零 b.分式无意义c.若a时,分式的值为零 d.若a时,分式的值为零思路解析：由条件x=-a,知=0，但分母为0时,分式无意义,则x,故a-.答案：c经典例5：约分：.思路分析：分子、分母是多项式时，应先分解因式，再约分.解:.经典例6.通分：.思路分析：因为-a+b=-(a-b)，a2-b2=(a+b)(a-b)，所以最简公分母是(a-b)(a+b)2.解:最简公分母是(a-b)(a+b)2， ,.经典例7计算分析：对于这道题，一般采用直接通分后相加、减的方法，显然较繁，注意观察到此题的每个分式的分子都是一个二项式，并且每个分子都是分母与1的和，所以可以采取“裂项法” 解：原式 经典例8：解方程：思路解析：若直接去分母，运算量很大且复杂，因本题的构成比较特殊，如果方程两边分别通分，则具有相同的分子，可以使解方程的过程大大的简化.解：原方程变形为所以： （x-8）(x-9)= (x-5)(x-6) 解得x=7将x=7代入(x-5)(x-6) (x-8) (x-9)中不为0 所以x=7是原分式方程的解仿照此解法，你能解下面的一道题吗？试试看！经典例9 已知，求的值。思路解析：分式的化简求值，适当运用整体代换及因式分解可使问题简化。略解： ，（由已知0） 7 =.经典例10.已知、为实数，且满足，求的值。解：由题设有，根据一个数的平方值、绝对值、算术平方根都是非负数可解得2，2 4经典例11已知a22a10，求（）的值思路解析：此题将分式的加减和乘除结合起来，先算括号里的减法，再将除法转化成乘法化简后再代值求出结果解：原式 因为a22a10，所以a22a1，所以1经典例12已知=1，求分式的值.思路分析：由已知变形得a-b=-ab,把原式变形，使式子中字母部分只有a-b和ab这样的式子，用整体代入法代入、约分、求值.解:由已知得a-b=-ab. 原式=三、应用与探究 拓展思维拓展思维例1、阅读理解题： 阅读下列材料，关于x的方程： （1） x+=c+的解是x1=c，x2=； （2） x-=c-的解是x1=c，x2=-； （3） x+=c+的解是x1=c，x2=； （4）x+=c+的解是x1=c，x2= （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+（m0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证 （2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数，方程右边的形式与左边完全相同，只把其中未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：x+. 思路解析：一定要将独立的x 化为x-1的形式解：（1） 拓展思维例2.福兴商场文具专柜以每枝a（a为整数）元的价格购进一批“英雄”牌钢笔，决定每枝加价2元销售.由于这种品牌的钢笔价格优、质量好、外表美，很快就销售一空.结账时，售货员发现这批钢笔的销售总额为399a+805(元).你能根据上面的信息求出文具专柜共购进多少枝钢笔及每枝钢笔的进价a是多少元吗？思路分析：依题意,知购进钢笔的枝数为，显然,仅仅通过不能求出a，因此，挖掘条件中的内涵是解决问题的关键.这里a为正整数，也是正整数.解:设文具专柜共购进钢笔y枝，则有y=.a0且为整数，y为正整数，a+2是7的约数. a+2=7或a+2=1.a=5，a=-1（不合题意）. 当a=5时，y=400.故文具专柜共购进钢笔400枝，每枝进价5元.拓展思维例3：两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪个队的施工速度快？分析：甲队一个月完成总工程的，设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的，那么甲队半个月完成总工程的，乙队半个月完成总工程的，两队半个月完成总工程的 。 等量关系为：甲、乙两个工程总量总工程量，则有+1 解：工程总量为1. 设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的，根据题意，甲队一个月完成总工程的。甲、乙共同工作半个月分别完成总工程量的、。1、 乙完成的工程总量为+1 解分式方程：两边同乘6x 得：x=1 将x=1代入6x不为0，所以x=1是分式方程的解（解分式方程一定验根）因为1，所以乙工程队施工快拓展思维例4 已知：a,b,c为正数，满足如下两个条件： a+b+c=32， .证明：以为三边长可构成一个直角三角形证法1 将两式相乘，得，即，即，即，即，即，即，即，即， 所以b-c+a=0或c+a-b=0或c-a+b=0，即b+a=c或c+a=b或