眼科病床的合理安排数学建模竞赛论文.doc

医院眼科病床的合理安排优化模型摘要：眼科病床的合理安排，既可以提高医院的经济效益，又可以减小患者的排队就医时间，以便达到双赢的目的。通过对医院现有的综合分析及优化得到如下问题的优化结果：问题一，通过对问题的分析，我们给出了评价模型的指标：手术前的平均逗留时间，病床周转率，病人平均术前的准备时间。问题二，通过对数据的统计，我们得到在fcfs模型下的准备时间统计图。并在此基础上对医院原有的fcfs模型进行改进，得出了病床安排模型的四项基本原则，并由此原则建立了新的病床安排模型。我们运用问题一中所给出的评价模型的指标，对新的病床安排模型做出了评价，发现新的病床安排模型，较之fcfs模型，有了很大的改善。问题三，我们根据当天的住院病人的住院记录以及到当天为止的等候人数记录情况，计算出了当天在住院的人中每个人的曾经等候时间的统计加权平均值，即为平均等候时间。然后利用matlab作出所有这些等候天数的标准差，再找出当天住院病人等候时间的最大和最小值。从而给出了满足一定置信度的病人大致入住时间区间。问题四，该问题是一个对我们新建模型稳定性分析的问题。根据题目条件的变动和统计计算得到的数据，利用问题二的模型，求解出问题四医院安排手术的时间表，它在周六、周日安排手术的基础上发生了一定的变动，我们重新利用问题一的评价体系对我们的模型进行了评价。问题五，综合考虑各类病人占用病床比例大致固定和fcfs的服务策略，初始设定各类病床的参考基数，结合波动系数形成约束条件，以所有病人的平均逗留时间最短为目标，建立整数线性规划模型，求出最佳病床分配比例。关键词：统计加权平均 、置信度 、优先权、整数线性规划模型 问题重述 医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，我们考虑某医院眼科病床合理安排的数学建模问题，就要考虑医院资源的合理有效利用及患者的等待队长等因素。已知该医院目前情况如下：1该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张，眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。2白内障手术较简单，而且没有急症，目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。3外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。4其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。5该医院眼科手术条件比较充分，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照fcfs（first come， first serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，现提出以下问题：问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。符号说明 患第i类病的第j个病人的等待入院时间 患第i类病的第j个病人的术前的准备时间 病人手术前的平均等待入院时间 病人的平均术前的准备时间病床周转率一段时间内到门诊看病的第i类病人的人数患第i类病的第j个病人的住院时间 病人的平均住院时间 患第i类病的第j个病人的入院时间（=1，2，3如=1表示2008年7月13日，=2表示2008年7月14日，依此类推） 患第i类病的第j个病人的手术时间（的计数方式与相同，即=1表示2008年7月13日，=2表示2008年7月14日，依此类推）第j天第i类病人的在院人数（不包括当天新入院的人数）i=1、2、3、4、5类病分别表示白内障（单眼）疾病、白内障（双眼）疾病、视网膜疾病，、青光眼疾病、外伤疾病。第一问一、模型假设1：题目所给数据是合理、正确的 。2：视网膜与青光眼两类病不考虑急症 。3：白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天。 4：该医院眼科手术条件比较充分，在安排病床时不考虑手术条件的限制。 二、 问题分析此题研究的是某医院眼科病床合理安排的数学建模问题。要对病床进行合理的安排，就要有合理的安排规则，尤其是在医院病床不够的时候。当前该住院部对全体非急症病人是按照fcfs（first come， first serve）规则安排住院，这样虽然对病人很公平，但缺乏合理性。在病床不够的情况下，从医院的角度讲，医院自然希望在多做手术的同时，减小病人占用病床的时间。为了得到合理的安排规则，首先要确定合理的评价指标体系，用此评价按该规则建立病床安排模型的优劣。 从病人的角度看，病人到医院看病分为以下几个阶段:挂号看病时间即门诊时间，入院，手术前的准备，手术，手术后的观察，出院。合理的安排就是让病人从挂号看病到出院的时间尽量的短。但根据实际情况知病人的术后观察时间是由病情决定的，故所建立的模型只能缩短门诊看病到接受手术的时间间隔即病人手术前的逗留时间，所以模型的评价指标可以是病人手术前的平均逗留时间，平均术前准备时间。从医院的角度看，我们可以将病床的周转率作为评价指标。而病床使用率只能说明病床的工作负荷情况，不能说明病床的工作效率。在一定时间内，病床周转次数多，说明病人平均住院天数少，床位利用率高。所以，综合考虑我们把病人手术前的平均逗留时间，平均术前准备时间，病床周转率作为评价指标，当前两个指标值越小，最后一个指标值越大的时候，病床安排模型越好。三、模型建立与求解我们研究的是某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题，对于病床安排模型的优劣，不能凭人们的主观感受进行判断，而要确定合理的评价指标体系进行判断，为此我们确定了如下的评价指标体系： 指标一：手术前的平均逗留时间 手术前的平均逗留时间指门诊到第一次手术的平均时间，其数学表达式为 ：该指标值越小，表示病床安排模型越好。 指标二：病床周转率 病床周转率定义为在某一时间段内，入院人数与病床数之比。病床周转率高，说明入院人数多，从心理上能降低病人等待入院的焦虑，表示病床安排模型越优。 指标三：病人平均术前的准备时间 病人平均术前准备时间的数学表达式为：该指标值越小，表示病床分配模型越优。 计算结果：对于题目中给出的以fcfs为原则（急症除外）的病床安排模型，我们通过代入附录中的数据求解得到其三个评价指标分别为：手术前的平均逗留时间为病床周转率为病人平均术前的准备时间为第二问该眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分4大类:白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。目前已掌握2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况(门诊日期、入院日期、第一/二次手术日期及出院日期)。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，但大致住院以后23天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三， 且可不考虑急症情况。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术(急症除外)不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照fcfs( first come， first serve)规则安排住院。我们从病人在医院的逗留时间入手，分别讨论原fcfs规则所存在的问题及其解决对策。根据题目所给条件，所有病人手术之前所需的准备时间都是基本确定的:急症1天， 白内障(单眼和双眼) 12天，其他眼科2 3天。通过对数据的统计，我们得到在fcfs模型下的准备时间统计图(见图1)：图1 准备时间统计图其中，急症因为其特殊性，准备时间全部为1天，我们不再作图分析。从图1不难发现视网膜和青光眼疾病病人的准备时间都控制在所给的一个良好的范围之内( 2 3 天)。因此，我们认为目前医院的fcfs规则对这两种疾病的安排就准备时间这个指标而言是高效率的。但是，单眼和双眼的白内障病人则分别有37%和60%在病床上准备了超过实际所需的时间，这浪费了医院的病床资源。于是，我们认为目前医院的fcfs规则对白内障病人而言在准备时间这个指标上是低效率的。下面，我们首先从这一角度对原模型进行改进。通过分析，我们发现造成这种低效率情况的原因主要是因为白内障手术只有在星期一和星期三才能完成，并且出于节约病床和更好地促进病人恢复等方面的考虑，双眼白内障病人都被安排在星期一和星期三分别进行第一次和第二次手术。这样，一旦白内障病人在住入病房时错过了最佳入院时间(如星期天和星期二)就需要等待一段相对而言较长的非必要准备时间。因此， 新的病床安排模型的第一条原则为:1)若明天为星期六和星期日:在满足急症病人的需求之后，尽量满足双眼白内障病人的需求;2)若明天为星期一或星期二:在满足急症病人的需求之后，尽量满足单眼白内障病人的需求;3)对于其他眼科疾病的病人，只要两天准备时间过后时间不冲突的即可进行相应手术。根据以上原则，新模型能在准备时间这一指标上改善了原有的fcfs规则。进一步分析发现，最初的fcfs模型并没有将等待入院的病人按照疾病种类的不同进行分类，这样虽然在一定程度上保证了病人之间的公平性，但很可能导致在效率相同的条件下使整体的满意率很低。于是，在总效率相等的情况下，我们考虑通过提高满意度来进一步优化新的病床安排模型。由于满意度和整体的平均逗留时间成反比，而每位病人的等待时间又和前面病人的恢复时间相关联。具体来说，如果其他情况相同(排除急症的情况)但恢复时间不同的两位不同病症的病人同时等待排队，显然，让恢复时间较短的病人排在前面可以使整体的平均逗留时间最短。虽然这时可能会出现不公平的情况:门诊时间较晚的病人反而先住入医院。但从全体病人的角度来考虑，即便不能在时间提高效率，这样的安排方法也会使平均满意度更高，一定程度上优化了原有的安排模型。因此，新的病床安排模型的第二条原则为:在其他情况(排除急症)相同的等待者中，尽量使恢复时间短的病人先入院接受治疗。通过对所有数据的统计，各种疾病的平均恢复时间如表1所示: 表1 平均恢复时间 单位：天2.904.968.0810.176.04其中为白内障(单眼)， 为白内障(双眼)， 为青光眼， 为视网膜疾病， 为外伤(下同)。以上数据进一步支持了我们在满足急症病人需求的基础上首先考虑白内障患者以缩短准备时间的第一条原则，同时，也说明青光眼患者的恢复时间平均较视网膜疾病患者低20%左右。根据第二条原则，青光眼患者的优先性应该高于视网膜疾病患者。虽然从理论上来说将所有青光眼患者都安排在视网膜疾病患者的前面可以使最低，但这样的可操作性并不强。因此，我们考虑在一个相对较短的周期内使青光眼病人安排在视网膜疾病病人的前面，这样就能达到既提高满意度又不完全丧失公平性的结果。下面，我们将一周内各种疾病病人进入系统的平均数量统计在表2中: 表2 各疾病就诊人数 单位：人疾病种类每周就诊平均人数11.3615.3110.3621.007.33取整后的最少人数121611218表2说明每周至少要分别安排治疗位第i类病人才能保证整个排队队伍的长度保持在一个相对稳定的状态甚至逐渐缩短。给出了各类病人每周最少接待量后，还需要就可能出现的剩余病床的分配原则予以进一步的讨论。新的病床安排模型的第三条原则为:1)如果剩余床次出现在星期二和星期日，根据第一条原则首先都给白内障患者(星期二的给单眼白内障，星期日的给双眼白内障患者);2)如果剩余床次出现在星期五，根据第二条原则全部给与青光眼患者。新的病床安排模型的第四条原则为:得到第二天各类疾病的住院人数后，虽然各人的体质不同，但都可以认为其恢复时间是服从一定分布函数的，因此，此时所有同类病人即可视为同质的，先后顺序根据其门诊的先后顺序来确定。综上，我们给出以下病床安排模型如表3所示：表3日期第一准则第二准则第三准则第四准则星期一安排急诊病人安排白内障患者(单)星期二安排急诊病人安排白内障患者(单)直到本周该病接待人数达到12人安排青光眼患者或无人排队星期三安排急诊病人安排青光眼患者直到本周接待人数达到11人安排视网膜疾病患者或无人排队星期四安排急诊病人安排视网膜疾病患者星期五安排急诊病人安排视网膜疾病患者直到本周该病接待人数达到21人安排青光眼患者或无人排队星期六安排急诊病人安排白内障(双)患者星期日安排急诊病人安排白内障(双)患者直到本周该病接待人数达到16人安排视网膜疾病患者直到本周该病接待人数达到21人安排白内(双)患者或无人排队所给出模型和医院原来安排方案相比减少了病人在系统内的平均逗留时间，减少了病人等待手术的时间， 加快了病床的周转率，则系统在等待住院病人队列越来越长的趋势将得到控制。第三问问题三提出根据当时住院病人和等待住院病人的统计情况，我们理解是只能根据当天的住院病人的住院记录以及到当天为止的等候人数记录情况，我们原题中的数据第二部分和数据第三部分就刚好符合情况。根据当天在住院的人数n=79-x，其中x表示表示住院人中外伤病人的人数，因为外伤属于急症，等候时间不是按照fcfs原则。对这n人每个人的曾经等候时间tj (入院日期-门诊日期)算出统计加权平均值， 即平均等候时间（ni表示等候相同天数的住院人数，n1+ n2+ nk= n ，一共有k个不同的天数）然后利用matlab作出所有这些等候天数的标准差s， x=(t1，t2，tn)，s=std(x)， 再找出当天住院病人等候时间tj 的最大和最小值tmax， tmin ，另外已有等候住院人中有没有人已经等候的天数fi (当天日期-门诊日期)有比tmin还小的fmin，比tmax还大的fmax， 如果有，那么我们可以告知来门诊的病人等候的时间区间是fmin- s -1， fmax+ s +1 ( 注: s表取整)。如果没有，就是tmin- s -1， tmax+ s +1.如果我们为了提高病人的满意程度，可以直接取以平均等候时间t为中心，标准差s为半径的区间 t- s -1， t + s +1.现在我们以题目已有数据第二部分和数据第三部分，按照上述方法实际处理如下: 数据第二部分中去掉外伤病人8人， n=71.等候时间情况如表4:表4等候天数1213141516人数23288102则在matlab中输入x= 12 1212 13 131315 16 16， s=std(x)，运行后结果是s=1. 1088.数据第二部分等候的人中已等候时间没有比12还小，也没有比16还大的，所以2008年9月12日来看病的人可告知其等候区间是 10， 18，为了提高病人的满意程度，取 11， 15.第四问一、问题分析（1）如果医院周六周日安排手术，那么周四、周五来院就诊的视网膜疾病和青光眼患者可以安排住院；周五、周六来院就诊的外伤患者也可以安排住院，住院病人安排情况见下表：星期可以安排住院的各类病人星期一外伤，白内障（单），视网膜疾病，青光眼星期二外伤，白内障（单），视网膜疾病，青光眼星期三外伤，视网膜疾病，青光眼星期四外伤 ，视网膜疾病，青光眼星期五外伤，视网膜疾病，青光眼星期六外伤，白内障（单），白内障（双），视网膜疾病，青光眼星期日外伤，白内障（单），白内障（双），视网膜疾病，青光眼*注：表中打“.”的病人在当天病床优先安排给其它疾病后还有空时才安排住院。 手术安排情况见下表：星期安排手术的各类病人星期一外伤，白内障（单），白内障（双）星期二外伤，视网膜疾病，青光眼星期三外伤，白内障（单），白内障（双），视网膜疾病，青光眼星期四外伤 ，视网膜疾病，青光眼星期五外伤，视网膜疾病，青光眼星期六外伤，视网膜疾病，青光眼星期日外伤，视网膜疾病，青光眼（2）若该住院部周六周日不安排手术，则由题意可知：该医院每周一、三做白内障手术；视网膜疾病和青光眼手术只安排在周二、周四、周五；外伤则安排在除周六、周日以外的五个工作日。具体住院病人安排情况见下表：星期可以安排住院的各类病人星期一外伤，白内障（单），视网膜疾病，青光眼星期二外伤，白内障（单），视网膜疾病，青光眼星期三外伤，视网膜疾病，青光眼星期四外伤 星期五视网膜疾病，青光眼星期六白内障（单），白内障（双），视网膜疾病，青光眼星期日外伤，白内障（单），白内障（双），视网膜疾病，青光眼根据上述分析，我们可以得出医院的手术时间安排肯定会发生变化，具体情况见模型求解。二、模型的建立与求解 由问题四的分析，我们可以知道：周六、周日安排手术时，一周内安排各类病人住院情况见下表：星期可以安排住院的各类病人星期一外伤，白内障（单），视网膜疾病，青光眼星期二外伤，白内障（单），视网膜疾病，青光眼星期三外伤，视网膜疾病，青光眼星期四外伤 星期五视网膜疾病，青光眼星期六白内障（单），白内障（双），视网膜疾病，青光眼星期日外伤，白内障（单），白内障（双），视网膜疾病，青光眼*注：表中带“.”的为在其他病人优先安排住院后还有空床剩的情况下再安排住院的病人。若周六、周日不安排手术的话，必然会导致周四不能安排视网膜疾病和青光眼病人住院，周五不能安排外伤病人住院。具体手术时间安排调整后见下表：星期安排手术的各类病人星期一外伤，白内障（单），白内障（双），视网膜疾病，青光眼星期二外伤，白内障（单），白内障（双），视网膜疾病，青光眼星期三外伤，白内障（单），视网膜疾病，青光眼星期四外伤，白内障（单），视网膜疾病，青光眼星期五外伤，视网膜疾病，青光眼星期六星期日第五问一、问题分析针对文中第五问的要求通过采取使各类病人占用病床的比率大致固定的方案，来让所有的病人的平均逗留时间（含等待入院即排队时间和住院时间两个部分）最短。显然我们可以通过规划的方法来让目标函数达到全局最优（即平均的时间最短）。 我们可以假设当采用一定的比例分配床位以后，那么针对不同的病的类型我们可以将单独的一类病的系统视为具有一定的独立性，而且是动态平衡的（即输入和输出通过一段时间的波动系数之后相等，而队列长度的长度可以保持不变）。这样就构成了一个并联的，独立的排队服务系统。理论上就存在一个不同病类的床位比例让平均逗留时间最短。二、模型的假设1. 由于不同类病的排队时间不相等，但同一类病的排队时间是相同的。那么我们可以视不同的病类为一个常数：。 2. 同一类病的从入院到出院的时间取这类病的均值：。 3. 每天到医院门诊的人，按照不同的病类得出它们占总数的比例：。 4. 我们根据入院人数的不同可以初步确定不同种类病的参考床位数： 三、模型建立与求解我们通过建立波动系数来给出更精确的床位安排的值。即假设不同病类的床的个数在一定范围波动，我们可以用一个波动系数来确定波动范围。波动系数的确定我们可以用一下公式：波动系数 确立优化模型： 1、 目标函数的确立： 人均的逗留时间包含两部分：人均等待入院的时间和人均入院到出院的时间。由【附录】 2008-07-13到2008-09-11的病人信息中病人等待入院的时间变化趋势可以看出，等待入院的时间在中期稳定以后就是一个常数，可以不用考虑 ，那么我们只可以优化人均从入院到出院的时间。所以我们的目标函数就可以改为：求人均入院到出院的时间最短，即 2 、约束条件： 就是分到的床位数应该在包含着波动系数波动的最大值和最小值的范围内。同时分配到的床位数应该为正的整数。 我们通过提取数据第一部分的数据有效信息，可以得到： 表5 同一类病人从入院到出院的时间的均值入院到出院均值取值（天）5.23618.560910.487112.54457.0363表6 不同种类病人的比例不同病人的比率取值20.63%23.50%11.17%28.94%1%表7 不同类的平均逗留时间类型白内障（单眼）白内障（双眼）青光眼视网膜疾病外伤 平均逗留时间均值（天）17.902721.073122.743525.089118.0363通过上面给出的公式计算出：和波动系数目标函数： 约束条件： （i=1、2、3、4、5）代入以上数据，利用lingo进行求解即可得结果。表8 各类病房的床位数每类病分配的床数取值1922 81713所占比例24.05%27.85%10.13% 21.52%16.46% 模型的评价与改进第一问中，我们根据分析建立了一套科学全面的评价指标体系，具有代表性。第二问中，我们逐步挖掘现有模型的弊端及其影响，进而在此基础之上提出了改进模型，并以列表的形式清晰地展现出来，为以后该模型的应用推广奠定了基础。第三问中，我们所建的模型只根据当天的住院病人和等候病人的数据而得出，不需要以往的数据，便于实际工作安排，但是我们也要看到这种方法的缺点，那就是这个等候时间t的确定只是当天不超过79个住院病人和等候人数的统计数据得到，精度不高， 所以这个区间的置信度有待提高。要想提高置信度，一般要扩大区间，但是这样会降低满意度，我们建议修正t和标准差。可如下操作:在按照这种方法行使一段时间后，比如行使m天后，那么就应该有m个t，求这些t的平均值，更符合统计规律。第四问中，我们按要求重新做了第二问。发现假如按照模型二安排的住院时刻表，则将会有一些与周六、周日不做手术的条件相冲突。为了解决这个问题，使得病床安排能够更加合理，我们在周六、周日不做手术的前提下对病人手术时间安排进行调整。调整结果符