2013高考数学一轮复习单元练习--空间向量与立体几何.doc

2013高考数学一轮复习单元练习-空间向量与立体几何i 卷一、选择题1点m在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s(1，1,1)的直线l的距离为，则点m的坐标是()a(0,0，2)b(0,0，3)c(0,0，) d(0,0，1)【答案】b2在空间四边形abcd中，若，则等于 ( ）abcd【答案】d3四棱柱中，ac与bd的交点为点m，设，则下列与相等的向量是 ( ）ab cd【答案】4在三棱柱中，设m、n分别为的中点，则等于 ( ）abcd【答案】b5平面，的法向量分别是n1(1,1,1)，n2(1,0，1)，则平面，所成角的余弦值是()a bc d【答案】c6 空间任意四个点a、b、c、d，则等于 ( ）abcd【答案】c7以下命题中，不正确的命题个数为() 已知a、b、c、d是空间任意四点，则abcd0若a，b，c为空间一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底；对空间任意一点o和不共线三点a、b、c，若oxyz(其中x，y，zr)，则p、a、b、c四点共面a0b1c2d3【答案】b8已知向量a，b，c是空间的一基底，向量ab，ab，c是空间的另一基底，一向量p在基底a，b，c下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底ab，ab，c下的坐标是()a(4,0,3)b(3,1,3)c(1,2,3)d(2,1,3)【答案】b9在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，p为正方体内一动点(包括表面)，若xyz，且0xyz1.则点p所有可能的位置所构成的几何体的体积是()a1b c d【答案】d10在90的二面角的棱上有a、b两点，ac，bd分别在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱ab，已知ab5，ac3，bd4，则cd()a5 b5 c6d7【答案】a11如图abcda1b1c1d1是正方体，b1e1d1f1，则be1与df1所成角的余弦值是()a bc d【答案】a12如图所示，在四面体pabc中，pc平面abc，abbccapc，那么二面角bapc的余弦值为()a bc d【答案】cii卷二、填空题13 设a12ijk，a2i3j2k，a32ij3k，a46i4j5k，其中i，j，k是空间向量的一组基底，试用a1，a2，a3表示出a4，则a4_.【答案】a12a2a314平面经过点a(0,0,2)且一个法向量n(1，1，1)，则x轴与平面的交点坐标是_【答案】(2,0,0)15在三棱柱abca1b1c1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点d是侧面bb1c1c的中心，则ad与平面bb1c1c所成角的大小是_【答案】6016已知a(1t，1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值为_【答案】三、解答题17如图，四边形abcd为正方形，pd平面abcd，pdqa，qaabpd.(1)证明：平面pqc平面dcq；(2)求二面角qbpc的余弦值【答案】如图，以d为坐标原点，线段da的长为单位长，射线oa为x轴的正半轴建立空间直角坐标系dxyz.(1)依题意有q(1,1,0)，c(0,0,1)，p(0,2,0)则(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0)所以0，0.即pqdq，pqdc.故pq平面dcq.又pq平面pqc，所以平面pqc平面dcq。(2)依题意有b(1,0,1)，(1,0,0)，(1,2，1)设n(x，y，z)是平面pbc的法向量，即即因此可取n(0，1，2)设m是平面pbq的法向量，则可取m(1,1,1)，所以cosm，n故二面角qbpc的余弦值为18如图，在平行四边形abcd中，ab2bc，abc120，e为线段ab的中点，将ade沿直线de翻折成ade，使平面ade平面bcd，f为线段ac的中点.(）求证：bf平面ade;(）设m为线段de的中点，求直线fm与平面ade所成角的余弦值.【答案】()取ad的中点g，连结gf，ce，由条件易知fgcd，fg=cd. becd,be=cd.所以fgbe,fg=be. 故四边形begf为平行四边形.所以bf平面ade.()在平行四边形abcd中，因为ab2bc，abc=120，设bc=4，作mgab于g，则.如图所示建立空间直角坐标系mxyz，则，所以.设平面ade的法向量为，由得，所以.设直线fm与平面ade所成角为，则.所以直线fm与平面ade所成角的余弦值为.19如图，四棱锥的底面是正方形，点e在棱pb上.(）求证：平面； (）当且e为pb的中点时，求ae与平面pdb所成的角的大小.【答案】（）四边形abcd是正方形，acbd.，pdac.ac平面pdb.平面.(）设acbd=o，连接oe，由（）知ac平面pdb于o，aeo为ae与平面pdb所的角.o，e分别为db、pb的中点，oepd，.又，oe底面abcd，oeao.在rtaoe中，即ae与平面pdb所成的角的大小为.【解法2】如图，以d为原点建立空间直角坐标系，设则，(），.acdp，acbd，ac平面pdb.平面.(）当且e为pb的中点时，设，则，连结oe，由（）知ac平面pdb于o，aeo为ae与平面pdb所成的角.，即ae与平面pdb所成的角的大小为.20已知长方体abcda1b1c1d1中，ab2，bc4，aa14，点m是棱d1c1的中点求直线ab1与平面da1m所成角的正弦值【答案】建立如图所示的空间直角坐标系，可得有关点的坐标为d(0,0,0)，a(4,0,0)，b(4,2,0)，c(0,2,0)，a1(4,0,4)，b1(4,2,4)，c1(0,2,4)，d1(0,0,4)于是，m(0,1,4).(0,1,4)，(4,0,4)，(0,2,4)设平面da1m的法向量为n(x，y，z)，则，即取z1，得x1，y4.所以平面da1m的一个法向量为n(1,4，1)设直线ab1与平面da1m所成角为，则sin ，所以直线ab1与平面da1m所成角的正弦值为21如图，四棱锥sabcd中，sd底面abcd，abcd，adcd，abad1，dcsd2，e为棱sb上的一点，平面edc平面sbc.(1)证明：se2eb；(2)求二面角adec的大小【答案】方法一(1)证明如图所示，连结bd，取dc的中点g，连结bg，由此知dggcbg1，即dbc为直角三角形，故bcbd.又sd平面abcd，故bcsd，所以bc平面bds，bcde.作bkec，k为垂足因为平面edc平面sbc，故bk平面edc，bkde，即de与平面sbc内的两条相交直线bk、bc都垂直，所以de平面sbc，所以deec，desb.又db，sb，de，eb，sesbeb，所以se2eb.(2)由sa，ab1，se2eb，absa，知 ae1.又ad1.故ade为等腰三角形取ed中点f，连结af，则afde，af连结fg，则fgec，fgde.所以afg是二面角adec的平面角连结ag，ag，fgcosafg所以二面角adec的大小为120.方法二(1)证明以d为坐标原点，线段da，dc，ds所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的直角坐标系dxyz，设a(1,0,0)，则b(1,1,0)，c(0,2,0)，s(0,0,2)s(0,2，2)，b(1,1,0)设平面sbc的法向量为n(a，b，c)，由ns，nb，得ns0，nb0.故2b2c0，ab0.令a1，则b1，c1，n(1,1,1)又设s(0)，则e，d，d(0,2,0)设平面cde的法向量m(x，y，z)，由m，m，得m0，m0.故0,2y0.令x2，则m(2,0，)由平面dec平面sbc，得mn所以mn0,20，2.故se2eb.(2)解由(1)知，取de中点f，则f，故0，由此得fade.又，故0，由此得ecde，向量f与e的夹角等于二面角adec的平面角于是cosf，e，所以二面角adec的大小为120.22如图142，三棱柱abca1b1c1中，bca90，acbc2，a1在底面abc上的射影恰为ac的中点d，又知ba1ac1.(1)求证：ac1平面a1bc；(2)求二面角aa1bc的余弦值图142【答案】 (1)如图，设a1dt(t0)，取ab的中点e，则debc，因为bcac，所以deac，又a1d平面abc，以de，dc，da1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则a(0，1,0)，c(0,1,0)，b(2,1,0)，a1(0,0，t)，c1(0,2，t)，(0,3，t)，(2，1，t)，(2,0,0)，由10