考研数学综合大题解析

三、解答题三、解答题 (15)【详解】 方法一方法一： 43 00 sinsin(sin )sinsinsin(sin ) limlim xx xxxxx xx 2 222 000 1 sin coscos(sin )cos1 cos(sin )1 2 limlimlim 3336 xxx x xxxx xxx 方法二方法二： 33 1 sin() 6 xxxo x 33 1 sin(sin )sinsin(sin) 6 xxxox 44 444 00 sinsin(sin )sinsin(sin)1 limlim 66 xx xxxxox xxx 本题的难度值为 0.823. (16)【详解】 方法一方法一：由得，积分并由条件得，即20 x dx te dt 2 x e dxtdt 0t x 2 1 x et 2 ln(1)xt 所以 2 22 2 ln(1) 2 (1)ln(1) 2 1 dy dytt dt tt dxt dx dtt 22 22 2 2 (1)ln(1) 2 ln(1)2 2 1 d tt d yddyttt dt dxt dxdxdx dtt 22 (1)ln(1) 1tt 方法二方法二：由得，积分并由条件得，即20 x dx te dt 2 x e dxtdt 0t x 2 1 x et 2 ln(1)xt 所以 2 22 2 ln(1) 2 (1)ln(1) 2 1 x dy dytt dt tte x dxt dx dtt 所以 2 2 (1) x d y ex dx 本题的难度值为 0.742. (17)【详解】 方法一方法一：由于，故是反常积分. 2 2 1 arcsin lim 1 x xx x 2 1 20 arcsin 1 xxdx x 令，有，arcsin xtsinxt0,2)t 22 1 2 222 20000 arcsinsincos2 cossin() cos22 1 xxttttt dxtdtttdtdt t x - 2 - 22 2 2 22 00 0 0 1sin21 sin2sin2 441644 ttt tdttdt 22 2 0 11 cos2 168164 t 方法二：方法二： 2 1 20 arcsin 1 xxdx x 1 22 0 1 (arcsin ) 2 x dx 1 2 11 2222 00 0 1 (arcsin )(arcsin )(arcsin ) 28 xxxxdxxxdx 令，有，arcsin xtsinxt0,2)t 1 22 22 000 11 (arcsin )sin2cos2 24 xxdxtdtt dt 2 2 2 2 0 0 111 (cos2 )cos2 42164 ttttdt 故，原式 2 1 164 本题的难度值为 0.631. (18)【详解】 曲线将区域分成两1xy 个区域和，为了便于计算继续对 1 D 23 DD 区域分割，最后为 max,1 D xydxdy 123 DDD xydxdydxdydxdy 11 2222 2 111 000 22 11 x x dxdydxdydxxydy 15 12ln2ln2 4 19 ln2 4 本题的难度值为 0.524. (19)【详解】旋转体的体积，侧面积，由题设条件知 2 0 ( ) t Vfx dx 2 0 2( ) 1( ) t Sf xfx dx 22 00 ( )( ) 1( ) tt fx dxf xfx dx 上式两端对 求导得 ， 即 t 22 ( )( ) 1( )ftf tft 2 1yy O 0.5 2 x D1 D3 D2 O 0.5 2 x D1 D3 D2 万学教育公共课事业部 北京市海淀区北四环西路 66 号第三极创意天地 A17 层 100080 全国公共课客服电话：01062682299 关注您的未来关注您的未来 关注中国的未来关注中国的未来 - 3 - 由分离变量法解得 ， 即 2 1 ln(1)yytC 2 1 t yyCe 将代入知，故，(0)1y1C 2 1 t yye 1 () 2 tt yee 于是所求函数为 1 ( )() 2 xx yf xee 本题的难度值为 0.497. (20)【详解】(I) 设与是连续函数在上的最大值与最小值，即Mm( )f x , a b ( )mf xM , xa b 由定积分性质，有 ，即 ()( )() b a m baf x dxM ba ( ) b a f x dx mM ba 由连续函数介值定理，至少存在一点，使得 , a b ( ) ( ) b a f x dx f ba 即 ( )( )() b a f x dxfba (II) 由(I)的结论可知至少存在一点，使 2,3 3 2 ( )( )(32)( )x dx 又由 ，知 3 2 (2)( )( )x dx 23 对在上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到，得( )x1,22, (1)(2)( )(2) 1 (2)(1) ( )0 2 1 1 12 2 ( )(2) ()0 2 1 23 在上对导函数应用拉格朗日中值定理，有 12 , ( )x 21 21 ()( ) ( )0 12 ( ,)(1,3) 本题的难度值为 0.719. (21)【详解】 方法一方法一：作拉格朗日函数 22222 ( , , , , )()(4)F x y zxyzxyzxyz - 4 - 令 22 220 220 20 0 40 x y z Fxx Fyy Fz Fxyz Fxyz 解方程组得 111222 ( ,)(1,1,2),(,)( 2, 2,8)x y zxyz 故所求的最大值为 72，最小值为 6. 方法二方法二：问题可转化为求在条件下的最值 224224 2uxyxx yy 22 4xyxy 设 44222222 ( , , )2(4)F x yuxyx yxyxyxy 令 32 32 22 442(12 )0 442(12 )0 40 x y Fxxyxx Fyx yyy Fxyxy 解得，代入，得 1122 ( ,)(1,1),(,)( 2, 2)x yxy 22 zxy 12 2,8zz 故所求的最大值为 72，最小值为 6. 本题的难度值为 0.486. (22)【详解】(I)证法一证法一： 2 2 2 21 2 2 21 21 3 2101 2 2 1 2 2 1 1 2 2 a a a aa aa aa Arar aa aa 1 21 3 01 2 4 0134(1) 2(1)3 23 1 (1) 0 n nn a a a naana rarana nn na n 证法二证法二：记，下面用数学归纳法证明| n DA(1) n n Dna 当时，结论成立1n 1 2Da 万学教育公共课事业部 北京市海淀区北四环西路 66 号第三极创意天地 A17 层 100080 全国公共课客服电话：01062682299 关注您的未来关注您的未来 关注中国的未来关注中国的未来 - 5 - 当时，结论成立2n 2 2 2 21 3 2 a Da aa 假设结论对小于的情况成立将按第 1 行展开得n n D 2 2 1 2 1 021 21 2 1 2 nn a a aa DaD aa 2122 12 22(1)(1) nnn nn aDa Danaanana 故 | (1) n Ana 证法三证法三：记，将其按第一列展开得 ，| n DA 2 12 2 nnn DaDa D 所以 2 11212 () nnnnnn DaDaDa Da DaD 22 2321 ()() nn nn aDaDaDaDa 即 12 122 ()2 nnnn nnnn DaaDaa aaDaa D 21 21 (2)(1) nnnn naaDnaaD 1 (1)2(1) nnn naaana (II)因为方程组有唯一解，所以由知，又，故AxB0A (1) n Ana0a 由克莱姆法则，将的第 1 列换成，得行列式为 n Db 2 22 1 1 22 (1) (1) 1121 02121 22 11 22 n n n nnn a aaa aaaa Dna aaaa - 6 - 所以 1 1 (1) n n Dn x Dna (III)方程组有无穷多解，由，有，则方程组为0A 0a 1 2 1 011 010 010 00 n n x x x x 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为，所以方程组有无穷多解，其通解为1n 为任意常数10000100, TT kk 本题的难度值为 0.270. (23)【详解】(I) 证法一证法一：假设线性相关因为分别属于不同特征值的特征向量，故线性无关，则 123 , 12 , 12 , 可由线性表出，不妨设，其中不全为零(若同时为 0，则为 3 12 , 31122 ll 12 ,l l 12 ,l l 3 0，由可知，而特征向量都是非 0 向量，矛盾) 323 A 2 0 11, A 22 A ，又 32321122 All 311221122 ()AA llll ，整理得： 112221122 llll 112 20l 则线性相关，矛盾. 所以，线性无关. 12 , 123 , 证法二证法二：设存在数，使得 (1) 123 ,k k k 112233 0kkk 用左乘(1)的两边并由得A 11, A 22 A (2) 1123233 ()0kkkk (1)(2)得 (3) 1132 20kk 因为是的属于不同特征值的特征向量，所以线性无关，从而，代入(1) 12 , A 12 , 13 0kk 得，又由于，所以，故线性无关. 22 0k 2 0 2 0k 123 , (II) 记，则可逆， 123 (,)P P 万学教育