学习复变函数的体会

学习复变函数的体会 我们都知道复变函数是数学专业的基础课之一，又是数学分析的后继课，所以如果数 学分析没有学得透彻，明显感觉复变中有一些知识学得会很吃力。 首先，第一章就让我了解到将实数域扩大到复数域，可以解决很多我们用实数无法解 决的问题。其实复数和实数有联系也有区别。联系是复数的实部和虚部都是实数。区别是 复数不能比较大小，而且复数表现形式多样，有代数形式、三角形式和指数形式，可以互 相转换，使用上也各有其便。此外，如果规定非零复数 z 的主辐角 arg z 合条件 0arg z2，则它与 Arctgy/x 的主值 arctgy/x 的关系如下： argtgy/x 当 z 在第一象限时； /2 当 x=0,y0 时； argtgy/x+ 当 z 在第二、三象限时； argz= -/2 当 x=0,y0 时； argtgy/x- 当 z 在第四象限时； 和实数不同，复数还可以表示向量，Z1-Z2 表示 Z2 到 Z1 这个向量，Z1-Z2表示这 两点的距离。显然它可以引出邻域这个概念，也是复变函数极限论的基础。这里，三角不 等式就不多说了。复数在代数和几何上的应用，主要是灵活的应用复数的一些基本性质与 复数的向量表示，适当的旋转一个向量，即是此向量所表示的复数适当地乘以一个单位复 数。接着便是曲线的概念，特别是简单闭曲线、光滑或逐段光滑曲线和区域单连通和多连 通几个基础几何概念，容易记不住。此外，通过学习复变函数 W=f(z)，可看成从 Z 平面上 的点集 E 到 W 平面上的点集 F 的满变换，使一些问题形象化。复变函数的极限概念与事变 函数的概念形式上尽管一样，但实际上前者比后者要求苛刻的多。复变函数极限存在，等 价于其实部和虚部极限都存在，复变函数连续，等价于其实部和虚部都连续。最后，我还 初步了解到复球面和无穷远点的概念。 相比于第一章，第二章就有点渐渐走进复变函数这门学科的感觉。解析函数，一个之 前从未听过的数学名词。它和实变函数一样，也有导数，虽然定义形式上，二者情形一样， 但从实质上讲，复变函数在一点可导可比实变函数严格的多。在实变函数中找一个处处连 续却处处不可导的函数很不容易，但在复变函数中却很简单。最最重要的是，实函中的微 分中值定理不能直接用到复函中。解析函数有很多很好的性质，C.-R.条件是判断函数可微 和解析的主要条件。函数 f(z)在区域 D 内可微等价于 D 内解析，但是在一点可导推不出在 那一点解析。定理 2.2 是判断可微的充要条件，我觉得很好用。此外，定理 2.4 是刻画函 数 f(z)在区域 D 内解析的充要条件，定理 2.5 是充分条件，这些定理到后面经常要用到。 初等单值函数和初等多值函数是数学分析中基本函数的延伸。指数函数令人印象深刻的就 是它 2i 的周期， 正、余弦函数在复数域内不能在断言：|sinz|1,|cosz|1。单值函数学 起来较为简单，多值函数却让人有点迷糊。如根式函数及对数函数 它们 n z Lnz 出现多值的原因就是 z 确定后其辐角不唯一确定。因此适当割破 z 平面（如沿着负实轴割 破） ，就能将它们分成单值连续解析分支，从而能取出适合指定条件的单值解析分支。而这 里支割线的确立，对我而言，是一个难点，经常难以把握。对于复对数，我知道了一个非 零复数的对数仍是复数，而且是无穷多值的， “负数无对数”的说法，如今在复数域内应该 为“负数无实对数” 。反三角函数和一般幂函数都是以对数函数表示的，就不再多说。幂函 数 的单叶性区域，是顶点在原点 Z=0，张度不超过 2/n 的角形区域。指数函数 n z 的单叶性区域，是 Z 平面上平行于实轴的宽不超过 2 的带型区域。 z e 下面的学习就跟数学分析联系的相当紧密。如复曲线积分仍是作为一种和的极限来定 义的，它的积分问题，可以转化为两个二元实函数的积分问题，但这个通过后面的学习， 我不常用这个。从积分路径 C 入手，运用参数方程的方法才是我们常用的。关于路径 C:| |=可代之包围 a 的任意曲线。此外，积分估值定理也很有用，掌握的好的话，对于az 做证明题，是得心应手的。最重要的一点是数学分析中的积分中值定理不能推广到复数域 当中来。柯西积分定理及从两个方面的推论更是学习复变的重要基础，通过后面的学习， 我发现这几个定理是被反复利用的。此外，柯西积分公式是解析函数的积分表达式，因而 是研究解析函数的重要工具，它告诉我们解析函数在区域内部的值可以通过它在区域边界 上的值来表示。而且它的证明方法也是我们学习复变函数需要掌握的一种方法。复连续函 数的原函数和不定积分同数学分析中一样引入，从而我们也得到了复数域中的牛顿莱布尼 兹公式，这样便可以将积分问题转化为找原函数问题。解析函数的高阶导数公式是以柯西 积分公式为工具来证明的，由此我了解到解析函数的无穷可微性以及它各阶导函数的解析 性。借助连续函数的原函数和解析函数的无穷可微性，还得出了柯西积分定理的逆定理。 柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计，说明了与解析区域的大小密切相关，并且还 得到了刘维尔定理，一个用于证明的很好的定理。 二十世纪以来，复变函数已被广泛的应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面， 与数学的其他分支也日系密切，并且还开辟了一些新的分支，如复变函数逼近论、黎曼曲 面、单叶解析函数论等等。复变函数也是我