毕业论文-群的扩张与群的上同调的研究.doc

安庆师范学院数学与计算科学与2013届毕业论文各专业全套优秀毕业论文图纸群的扩张与群的上同调的研究作者： 指导老师：摘要: 确定哪些g是给定群h通过群n扩张是群扩张问题,从19世纪来就被广泛研究.上同调是使用一系列函子hn研究这个问题的重要方法。本文综述群的中心扩张与循环扩张的概念以及上同调群的定义，最后列出上同调在群扩张问题上的基本应用。关键词:上同调群 群扩张 群上同调1 引言在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一，它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科，如拓扑群、李群、代数群、算术群等。群的扩张是群论中的一个重要问题，其自诞生之后就进行着不断的发展和演变，近代研究者们讨论了由群扩张构成的群系 ,给出它为饱和群系的几种情况及局部定义组。在本文中，将主要就群扩张的基本类型进行综述，介绍相关的概念和性质。群的上同调是一套研究群及其表示的代数工具，其源于代数拓扑，并在代数数论上也有重要的作用，它是现代类域论的基本构件之一。本文在群扩张的基础上，给出上同调群的相关定义，最后通过一些定理和实例详述上同调在群扩张问题上的基本应用。2 群的扩张2.1 正规子群和商群的合成一般的说，包含已知群的任何群都叫做的扩张.本文将只讨论是的正规子群的情形.施赖尔最先考虑构造所有这样的群的问题，具有已知的正规子群和已知的商群至少总存在一个这样的群，因为和的直积就具有这个性质.我们先假定给了这样的群，设商群的元素记做的每个元素对应于在内的一个傍系.设对应于的傍系在内的代表是，而且约定用的单位元素作为的代表.于是 (2.1.1)而且同态使得 (2.1.2)于是对于所有，映射 (2.1.3)是的自同构，因为是正规子群.又因为在从到上的同态下，所以， (2.1.4)这里.由（2.1.4）给定的所有元素的集合我们叫做因子组，于是在的构造中出现下列四个已知条件： 正规子群. 商群. 的自同构: 由组成的因子组，这里必须强调的是，一般地说，由（2.1.3）和（2.1.4）定出的自同构和因子组依赖于与对应的傍系的代表的选取. 定理2.1.1 给了具有正规子群和商群的群.如果选取傍系代表，这里而且取，则就决定满足下列条件的自同构和因子组： 反之，如果对于每个，给定的自同构，而且对于这些自同构和因子组，上述条件成立，则元素连同乘法规则决定具有正规子群和商群的群.如果略去的要求，则取作为的单位元素时定理仍然成立.由和因子组决定的唯一扩张将记做如果更换在的傍系代表，取 (2.1.5)而且规定即，则自同构就更换成 (2.1.6)而因子组更换成因子组，使得 . (2.1.7) 定义2.1.1.两个扩张和是等价的，加入在自同构和因子组之间有关系这里是元素的在内取值的函数，而且.我们记做与的等价性取决于更换同一个群内子群的傍系代表，因而它显然是对称的、自反的和传递的真等价关系.如果在内的傍系代表能取成使 (2.1.8)即，则傍系代表组成同构于的群，可以把它与等同起来.如果这种情形出现，则我们说是的可裂扩张，或说是和的半直积.定理2.1.2. 是的可裂扩张，必要而且只要存在函数使得对于所有，都有证明. 如果所取的傍系代表使成为的可裂扩张，则，而且当取时，就有 (2.1.9)反之，如果函数存在，使得（2.1.9）成立，利用条件决定对应于的自同构.于是存在，而且等价于对所有都有的扩张，因而是的可裂扩张.2.2 中心扩张假定在群借助于群的扩张中，所有因子都属于的中心.那么我们说是借助于群的中心扩张.例如如果是阿贝尔群，则，因而的所有扩张都是中心扩张.对于中心扩张，简化成， (2.2.1)这说明的自同构组成一个群，它是的同态像.设表示从到的自同构群的同态.再有，如果傍系代表由属于的因子来更换，则自同构不变.因此，对于扩张，自同构是固定的而且组成一个群，它是的同态像.对于中心扩张，这就取消了条件，而只需要考虑.这时对于等价的扩张有， (2.2.2)这里.如果因子组和都满足，而且组成决定的扩张的因子组.在因子组乘积的这个定义下，存在着单位元素，即所有的因子组，还存在逆，即把换成的因子组.再有，对于等价的因子组，如果和，则.因此全体因子组是一个阿贝尔群，即使把等价的因子组等同起来也是如此.把等价的因子组等同起来而得到的群叫做扩张群.设是有限的，我们定义. (2.2.3)对于所有的乘起来，我们得出, (2.2.4)这里是的阶.与（2.2.2）比较，. (2.2.5)又如果是的所有元素的阶的倍数，则因为，所以. (2.2.6)因此得到如下定理:定理 2.2.1. 扩张群的任意元素的阶整除的阶和的元素的阶的最小公倍数.推论2.2.1. 如果和是互素的，则的所有扩张都等价于和的半直积.定理2.2.2. 设阶有限群包含阶正规子群而且具有阶的商群，这里和是互素的.那么是的可裂扩张.证明. 只要证明具有阶的子群.我们对施行归纳法，当时定理是显然成立的.设而且是整除的素数.中对应于的所有西罗子群是的子群，因为至少包含一个西罗子群，而且是正规的，因而的共轭者也属于.因此内的西罗子群的个数与内的个数相同.再由（表示不想交的共轭类，而且的每一个元素恰好是一个共轭类的元素），因而，和分别是在和内的正规化子.这时当然有，且是的正规子群.如果是的真子群，则根据归纳假设，它包含阶的子群.因此可以假定，于是.如果是的真子群，则根据归纳假设，包含阶为而且同构于的子群，因而包含同构于的阶子群，这就证明了定理.因此问题归结为的情形.这时如果是阿贝尔群，则是的中心扩张，因而根据定理3的推论，是的可裂扩张，证明了定理.如果不是阿贝尔群，则的中心是的真子群，而且是的特征子群，它必定是的正规子群.因此，根据归纳假设，包含阶子群.于是在的对应子群内是正规的而且有指数，因而根据归纳假设，包含阶子群，这就对最后这种情形证明了定理.2.3 循环扩张假设是由元素生成的阶的有限循环群；的元素是 (2.3.1)设，取作为映成的的傍系代表，还可以取作为分别映成的的傍系代表，因而 (2.3.2)这时， (2.3.3)这里是的元素.于是对于的自同构，必定有 (2.3.4)其次从恒等式 (2.3.5)得出 (2.3.6)我们来证明，（2.3.4）和（2.3.6）完全决定了借助于的扩张.定理 2.3.1. 设是阶的有限循环群.那么群借助于的扩张存在，必要而且只要存在的自同构和元素，使得（2.1.1）这自同构的次方次幂是由作变形而得出的的内自同构，而且（2.1.2）在这自同构下不变.证明. 我们已经知道，如果扩张存在，则自同构和元素满足（2.3.4）和（2.3.6）.反之，我们来证明（2.3.4）和（2.3.6）足以决定一个扩张.的元素是，或我们按下列方式定义自同构和因子组： (2.3.7) 如果 (2.3.8) 如果 (2.3.9)利用这些定义我们容易验证和满足，因而根据定理2.1.1，决定了一个扩张.如果是无限阶的循环群，我们可以令对于所有和都成立，而且我们发现自同构不必加以限制.这说明对于所有都成立.3 群的上同调3.1 二重模设是任意乘法群而且是二重模，即是满足下列条件的加法阿贝尔群: 以作为左右两边算子的群，使得对于给定的和，和是的唯一决定的元素. 分配性，因而， ， . ,这里是的单位元素. 结合性 , 这些定律对于所有和所有都成立.实质上，二重模就是这样的加法阿贝尔群，它以的元素作为可分配的算子.在应用中常常出现在一边（例如左边，是恒同地作用的，这是说对于所有和都有）.这种情形下，我们简单的略去左边算子，而且把它说成单边的模.举例说，设是群的正规的阿贝尔子群而且记作如果，则只取决于和，而不依赖于在傍系中的选取.因而可以记而不致引起误会.这就是单边模的例子，只不过是用乘法表出的.在展开上同调的一般定理时，用加法记号表出是比较方便的做法.3.2 上链，上边缘和上同调群给了二重模，我们定义为个变量的所有函数组成的加法群，这个变量独立地在内取值，函数数值在内取，而且满足条件：如果至少有一个，则. (3.2.1)的元素叫做维上链.根据定义，而零维上链根本就是的任意元素.上边缘算子是指从到的下列映射： . (2.3.2)这里，而且容易验证.映射对于加法说是同态.在群论中特别有用的是的情形.这时上边缘公式是因为 , ， (2.3.3)定理 3.2.1. 如果是任意上链，则证明. 取使.那么.因此，当我们根据定义用的值来表示时，我们得到正负交替的项：这里每个在用的值表出时是正负交替的项，我们可以写成： .因此，这里和取到的值.然后容易验证，对于所有和都有.因此上述等式的右边等于零.如果有条件，则叫做维上圈，这些上圈组成由导出的从到的同态的核.如果而且存在元素使得，则叫做维上边缘.这些上边缘组成在映射下的像.我们定义.根据定理3.2.1，每个上边缘都是上圈，因而对于所有.商群叫做二重模的维上同调群.我们把它记做.在上链的定义中，我们用（3.2.1）限定在有一个或更多的元是单位元素时上链取零值.在很多情形里这种限制是能满足的，例如在应用到前面提到过的因子组时就是如此.我们把这种上链叫做正规化的.当（3.2.1）这个限制被略去时，我们说成未正规化的上链.定理3.2.1当然对这两种情形都成立，因为在证明时并未用到定理6.它们的区别是为了某种便利，因为我们可以证明，关于未正规化的上链的各维上同调群都同构于正规化的上链的对应的上同调群.定理 3.2.2. 关于未正规化的上链的维上同调群同构于关于正规化的对应的上同调群.证明. 我们把维正规化的上链、上边缘和上圈分别记做，和，而且在未正规化的情形使用记号，和.对于和，容易验证和，因而和在这两种情形里都相等这时主要的验算是：如果，则，因而在取时有，因而是正规化的，即.现在假定.显然有和.因此关于的上同调类，即在内的傍系，对应于关于的唯一地同调类，即的包含它的傍系.这个对应当然是从到的同态.当两个上链的差是上边缘时，我们说这两个上链是上同调的.因而两个上圈上同调，必要而且只要它们属于同一个上同调类.引理3.2.1. 每个未正规化的上圈总上同调于一个正规化的上圈.引理3.2.2. 如果某个上链的上边缘是正规化的，则它是正规化的上链和上边缘.引理3.3.3. 如果是正规化的，则是正规化的.4 上同调对扩张理论的应用设是群的正规阿贝尔子群而且是商群.如果傍系是的元素,则对于只取决于和而不依赖于在傍系中的选取.因此可以记而不会有误会，在这种记号下，是作用于的右侧的算子群，而且我们认为在左侧是恒同地作用的.设是具有固定算子群的加法群，而且对于因子组使用记号，那么变成. (4.1)移项后我们得出， (4.2)因而因子组是二维上圈.根据（11）.两个因子组和等价的条件是， (4.3)即和相差上边缘.这里我们说过在左侧是恒同地作用的.因此扩张群是二维上同调群.我们得出以下定理：定理 4.1. 阿贝尔群借助于群的扩张群是二维上同调群，这里： 在左侧是恒同地作用的. 在右侧的作用导出的自同构. 因子组是的上圈. 等价的因子组相差的上边缘.在把写成的傍系的和时取单位元素作为的代表就导出正规化性质.在（4.1）中令，我们得出， (4.4)因此. (4.5)同理，令，我们得出， (4.6)因而还有， (4.7)这说明我们处理的是正规化的上圈.定理4.2. 如果，则.推论4.2.1 如果，则.事实上，是说，因而是的上边缘.我们的结论是：如果的阶是，则上同调群的每个元素的阶都整除.定理3是这个结果当时的特殊情形.关于因子组有伽许兹的进一步的结果，其实关于一个群和它的子群的上同调的.这时假定在内的指数是有限数. (4.8)这时如果是的元素，则我们记，这里加杠表示元素所属的傍系的代表.同理记 . (4.9)我们用下列公式定义的转移: . （4.10）注意总有，因而对于，属于子群.定理4.3（伽许兹定理）. 如果而且是在内有指数的子群，则.伽许兹定理的群论形式如下：定理4.4（伽许兹定理）. 设，是阿贝尔群借助于有限群的扩张的因子组.设是的指数为的子群，而且.那么 .其中的元和当然是的元素.推论4.2.2. 如果当时有， 则.这个定理有很多推论，而其中最有用的是连系的的扩张的，这里是的西罗子群.设的阶是，而的阶是.设是的扩张的群，就像在本文之前所定义的那样.的每个元素是等价的因子组的类.根据定理2.2.1，的每个元素的阶整除.因而是周期阿贝尔群而且是它的西罗子群的直积.定理4.5. 设是的扩张的群.那么的西罗子群同构于群，是把的扩张的因子组限制成取元，而决定的扩张的群，这里是的西罗子群.证明. 对于的扩张的因子组，我们定义等价，假如在限定元而导出扩张时有.这确实是等价关系.其次，设是的由这种因子组组成的子群，对于它在限定时，有.于是的元素对应于等价的因子组，必要而且只要它们属于的同一个傍系.因此同构于群，是限定因子组的元而得到的扩张的群.根据伽许兹定理的推论，取作为子群，的每个元素的阶都整除的指数，又根据前文，的每个元素都整除.因为，所以和的西罗子群都同构于，因而它们彼此同构，这就证明了定理.定理4.6. 的扩张在上可裂，必要而且只要对于整除的阶的每个素数，限定于西罗子群的扩张可裂.证明. 从借助于的扩张可裂显然得出借助于每个的扩张可裂.我们来证明逆命题.设是由扩张决定的因子组.根据假设，这里当时有.根据推论有，这里.这对于整除的每个都成立.使的不同的最大公约数是，因而，所以借助于的扩张可裂.定理得以证明.结束语 本文在群扩张的问题上给出了中心扩张和循环扩张两种基本的类型的概念和性质并综述了上同调群的定义，最后介绍了上同调对扩张理论的应用。扩张属于群论中一个很重要的小领域，我们知道群论在很多领域中都有着重要的作用，随着社会和科技的快速发展,人们对群的的研究越来越深入,在理论研究方面，学者们已经取得了一定的研究成果，但这只算是起步，这个领域还需要我们花费更多的精力去求知。 参考文献1m.赫尔，群论m,北京：人民教育出版社，19812胡冠章，应用近世代数（第3版），北京：清华大学出版社，20063刘国华. 广义thullen域上的上同调群消灭定理j. 同济大学学报(自然科学版) , 2001(06)4杨新松, 刘春艳. 本原元之像幂单的二元生成自由群幂单性j. 哈尔滨商业大学学报(自然科学版) , 2010,(04)5杨恒云, 叶鑫. 两类6维幂零李代数的上同调群j. 上海海事大学学报 , 2012,(01)6张秀丽，边平西.群扩张构