数学建模论文-企业退休职工养老金制度改革方案.doc

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从a/b/c/d中选择一项填写）： c 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 太原大学教育学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 郭海燕 2. 魏云波 3. 陈丽娟 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 刘改平 日期： 2011年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：企业退休职工养老金制度改革方案摘要 本文根据主成分分析模型，灰色关联分析模型对我国未来经济发展的指标进行了分析,并对山东省未来几十年内的年平均工资进行了预测.我们首先利用查询到的数据,利用spss软件建立了主成分分析模型对影响未来养老金制度改革的12个指标进行了分析,初步筛选出了影响我国养老金制度改革的最大的6个指标；再通过建立灰色关联分析模型同样提取出了最主要的6个指标.比较两种方法各提取的6个指标,我们取其交集,筛选出了影响我国养老金制度改革的4个主要指标.通过模拟多个原始值做基础数据,对原始穷数据进行了扩充,避免了相关数据不足的弱点,为后面的构造精确预测模型做好了准备工作.为了使模型更加精确,我们把经济社会指标与分产业、分地区分别结合起来，对未来中国经济发展和工资增长的形势作出合理的假设，并用excel软件计算出山东省某企业2011年到2045年的年平均工资，2000年到2045年的缴费指数，以及2000年到2035年缴存的养老金与2025年到2045年领取的养老金，为了维持养老保险基金收支平衡，我们采取了合理的措施。 关键词 养老金 基础养老金 个人账户养老金 替代率 缴费指数 增长率一、引言企业退休职工养老金制度我国现行的养老保险制度构成复杂、模式多样，分为城镇职工养老保险和农村养老保险两大类，城镇职工养老保险又分为企业养老保险和机关事业单位退休制度两种，共计有公务员、事业单位、企业、农民工四种养老保障模式。这些养老保障模式费用来源不同、保障程度不一，彼此独立，缺乏衔接，具有明显的“碎片化”特点。“碎片化”的制度设计，无助于体现公平公正，妨碍了不同职业群体之间的人员流动，不能有效发挥养老保险的社会互济功能，也不能有效应对养老保险面临的财务困境，革弊图新已呈必然之势。 养老金制度是国家为保障特定公民在退休或丧失劳动能力，之后能够维持正常生活水平而实行的一种退休养老的福利制度。特定公民在劳动者年老或丧失劳动能力后，根据国家有关文件规定及他们对社会所作的贡献和所具备的享受养老保险资格或退休条件，按月或一次性以货币形。养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。二、问题重述养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。建立数学模型，解决如下问题：问题一：通过对未来中国经济发展和工资增长的形势做相应简化、合理的假设，并参考附件1，建立数学模型预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。问题二：根据附件2的数据计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比（n）。并把这些(n)值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率（t）。问题三：假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。1、 计算养老保险基金的缺口情况。2、 计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。三、模型的假设1. 山东省某企业职工的工资为平均工资。2. 山东省年平均工资的增长率保持不变。3. 每个季度里的gdp在统计的3个月内变化很小.4. 预测期间内无战争或自然灾害发生.5. 预测期间的国家货币政策和财政政策不会有较大的变动.6. 假设提取的四个主要指标在未来几十年内只发生单调性的变化7. 假设未来几十年内提取的四个主要指标的波动和前十年的波动幅度基本相同.8. 假设未来几十年内消费者信心指数（cci）每年以1.2%的速度递增.9. 假设未来几十年内货币和总货币（m2）以10000 (亿元)的速度递增.10. 假设未来几十年内生产者物价指数（ppi）每年以1.2%的速度递减.四、符号说明 国内生产总值 生产资料价格指数 消费者物价指数 消费者信心指数 流通中现金 货币 广义货币供应量 主成分分析中第i个方差贡献 综合描述原始指标的第k个公因子 s 本人指数化平均缴费工资（average indexed monthly earnings）xi 参保人员退休1年、2年、m年本人缴费工资额：ci 参保人员退休前1年、2年、m年全国/省/地市“社会平均工资”n 企业和职工实际集纳基本养老保险费的月数合计xi/ci 退休前第i年缴费指数(i=1,2,3,m)五、问题分析针对题目中所提出的影响养老金制度改革的主要指标问题,建立养老金制度改革的数学模型.我们考虑运用两种模型和两种软件进行分析.在分析影响养老金制度改革的主要指标问题中,由于题中所提供的数据不够充分,我们为了提高精度,首先在权威网站和数据库中搜集了大量的数据,也同时对题目中所提供的数据进行了筛选,最后整理出了12个待分析的指标,但是对于数据量仍然很小的情况下,我们采用了灰色理论模型进行了数据预测,使生成数据序列呈现一定规律,避免了相关数据不足的弱点,同时避免了宏观因素的影响而造成的主观臆断,能够较好地把握系统的自我演变规律.我们运用spss软件对12个指标进行了主成分分析,比较了运行结果的误差和可接受度,最后得到了初步的6个主要指标.然后我们对这6个主要指标再次进行了分析,发现有些指标包含的信息有所重合,所以我们舍弃了含信息量较小的2个指标,最后得到了影响企业退休职工养老金制度改革的4个主要指标.根据已建模型预测出了2011年到2045年山东省年平均工资和2000年到2035年缴存的养老保险金以及2025年到2045领取的养老金.最后我们从影响影响养老金制度改革的4个主要指标出发,对所预测出的2011年到2045年山东省年平均工资和2000年到2035年缴存的养老保险金以及2025年到2045领取的养老金进行分析，提出了维持养老保险基金收支平衡的建议.六、模型的建立与求解6.1、主成分分析原理及分析影响养老金的发放的主要指标6.1.1、主成分分析法原理 主成分分析是将多个指标化为少数指标且能保持最大原始数据的相关性的一种方法.在主成分分析中较为重要的方差贡献,表示第i个公因子在消除i-1个公因子影响后,使方差贡献取到的最大值.用它主要衡量第i个公因子的重要程度.因此我们可以以为权重,建立相应的评价模型：,其中为相应的用来综合描述原始指标的k个公因子,计算综合得分并排序.6.1.2、应用spss进行主成分分析打开spss软件,激活数据管理窗口,定义变量名（12个）：分别为消费物价指数（cpi）, 货币和准货币m2, 生产者物价指数（ppi）, gdp, 消费者信心指数（cci）, 房价增长率, 贸易顺差, 投资, 流通中现金m0, 货币m1, 出口变化率, 进口变化率,按顺序输入相应数值23（见附表1）,建立数据库.spss操作过程：激活statistics菜单选data reduction的factor.命令项,弹出factor analysis对话框.在对话框左侧的变量列表中选所有12个变量,点击钮使之进入variables框.点击descriptives.钮,弹出factor analysis:descriptives对话框,在statistics中选univariate descriptives项要求输出各变量的均数与标准差,在correlation matrix栏内选coefficients项要求计算相关系数矩阵,并选kmo and bartletts test of sphericity项,要求对相关系数矩阵进行统计学检验.点击continue钮返回factor analysis对话框.点击extraction.钮,弹出factor analysis:extraction对话框，系统提供如下因子提取方法：我们此问选用principal components方法,之后点击continue钮返回factor analysis对话框.点击rotation.钮,弹出factor analysis:rotation对话框,系统有5种因子旋转方法此问选正交旋转法,之后点击continue钮返回factor analysis对话框.点击scores.钮,弹出factor analysis:scores对话框,系统提供3种估计因子得分系数的方法,本例选regression（回归因子得分）,点击display factor score coefficient matrix,之后点击continue钮返回factor analysis对话框,再点击ok钮即完成分析.6.1.3、结果解释及提取影响养老金发放的主要指标在输出结果窗口中将看到如下统计数据：系统首先输出各变量的均数（mean）与标准差（std dev）,并显示共有30例观察单位进入分析；接着输出相关系数矩阵（correlation matrix）和kmo and bartletts test一栏,kaiser-meyer-olkin measure of sampling adequacy是用于比较观测相关系数值与偏相关系数值的一个指标,其值愈逼近1,表明对这些变量进行因子分析的效果愈好.今 kmo值 = 0.7360.7,意味着因子分析可以容易地接受.经bartlett检验表明：bartlett值 = 553.233,p0.0001,即相关矩阵不是一个单位矩阵,故考虑进行主成分分析.kmo and bartletts testkaiser-meyer-olkin measure of sampling adequacy.736bartletts test of sphericityapprox. chi-square553.223df66sig.000在communality中显示了各因子解释掉方差的比例,共同度从0到1,0为因子不解释任何方差,1为所有方差均被因子解释掉.一个因子越大地解释掉变量的方差,说明因子包含原有变量信息的量越多.communalities initialextraction消费物价指数(cpi)1.000.817货币和准货币m21.000.951生产者物价指数（ppi）1.000.898gdp1.000.843消费者信心指数(cci)1.000.954房价增长率1.000.882贸易顺差1.000.950投资1.000.762流通中现金m01.000.564货币m11.000.945出口1.000.890进口1.000.936extraction method: principal component analysis.在此栏中我们可以知道前6个共同度最靠近1的变量,它们是：消费者信心指数,贸易顺差,进口,. 利用灰色关联分析理论再次对主成分分析的结果进行优化，得出与养老金发放的最大的6个指标分别是：cci,贸易顺差,cpi,m2,ppi,对外投资.综合主成分分析的运行结果和灰色关联分析的结果,我们不难发现cci,贸易顺差,m2,ppi和失业率的关联度始终排列在前六位,因此我们选取cci,贸易顺差,m2,ppi作为影响我国养老金制度改革的主要指标.具体求解过程如下：问题一 随着gdp的增长，未来中国经济发展水平总体曾递增趋势，基本达到发达国家的水平，工资的增长梯度先缓慢再快速后逐渐平稳，最后实现共产主义的理想状态。特别是党的十七大对我国经济发展产生重大影响。未来十年，我国经济发展将呈现以下特征：市场体系将更加完备，市场机制的作用将得到充分发挥；国家对经济的宏观调控政策将更加健全和配套；企业自主权将进一步扩大，企业制度将更加充满活力；城乡一体化发展将加速；消费在较长一段时期将得到持续稳定增长；对外开放广度和深度将得到进一步拓展。影响职工平均工资的主要因素有四个：是否是西部大开发地区地区人均国民生产总值、性别比例、抚养比例。根据前几年的参考值和以上模型的分析，可见人均地区生产总值逐年增加，男性比例降低与抚养比例升高，从而平均工资增高。 由下列图表可以形象直观的反应出中国经济发展和工资增长的形势。 由上图可知，未来中国经济在前几年内增长的速度相对稳定，gdp增长的幅度和中国经济增长的幅度是相对一致的。年平均工资的增长率围绕12.5%上下波动。增长率=（本年度的社会平均工资-上年度的社会平均工资）上年度的社会平均工资社会平均工资=上年度的社会平均工资+上年度的社会平均工资增长率由此我们预算处了在未来25年的社会平均工资,具体如下表;问题二养老金替代率是职工刚退休时的养老金水平占退休前工资的比率。养老金=基础养老金+个人账户养老金个人账户养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均工资）2缴费年限1 本人指数化月平均缴费工资（s）=全省上年度在岗职工月平均工资本人平均缴费指数1、 职工缴费指数参考值的计算（即2009年该企业各年龄段职工工资之比）首先，要求2009年该企业各年龄段职工工资=每个年龄段 不同工资段的人数该工资段的平均工资如下操作： 取工资段的加权平均数,然后这个数乘以相应人数，再求和，最后取其平均数。这样得到了，所要求的年龄段工资。其次，求该企业的平均工资企业的平均工资=企业工资总额/职工总数 如下操作：最后，由该企业各年龄段职工工资和企业的平均工资之比得到缴费指数参考值。 如下操作:j3为20-24岁年龄段职工缴费指数参考值。 2.不同情况下养老金替代率的计算替代率=职工刚退休时的养老金/刚退休前的工资 =（基础养老金+个人账户养老金）/退休前的工资=（全省上年度在岗职工的月平均工资+s）/2*缴费年限*1%+个人账户储存额/计发月数/退休前的工资(1)30-55岁 替代率 =（13903+1800.61/2*25*1%+116741/170）/13903=0.1906(2)30-60岁 替代率=（25054+4190）/2*30*1%+215972/139/25054=0.2371(3)30-65岁 替代率=（45147+9845）/2*35*1%+394791/101/13903 =0.2997(4)40-55岁 替代率=（4281+343）/2*15*1%+31469/170/4281=0.1242(5)40-60岁 替代率=（7715+781）/2*20*1%+61674/139/7715=0.1676(6)40-65岁 替代率=（13903+1801）/2*25*1%+116741/101/13903 =0.2243 由上表可知：2000年起从30岁开始缴养老保险，55岁退休的养老金替代率为19.0%，60岁退休的养老金替代率为23.2%，65岁养老金的替代率为28.4%。2000年起从40岁开始缴养老保险，55岁退休的养老金替代率为12.4%，60岁退休的养老金替代率为16.8%，65岁养老金的替代率为22.4%。问题三 对养老金的求解养老金=基础养老金+（全省上年度在岗职工月平均工资+）2缴费年限1 如下图的方法; 下表为50岁，60岁，65岁退休至75岁死亡分别领取的养老金 年份 养老金由上养老金发放示意图：可观察到此曲线的波动情况大致与指数函数图像一致，所以函数可设为：y=ax蓝线 代入坐标点（32，,435）（36,6555）（40,9951）(44,15392)(48,22106)(52,38064)求的a值分别为a32=1.3001 a36=1.2765 a40=1.2588 a44=1.245 a48=2.1979 a52=1.2249取a的平均值a，=1.4172同理 红线函数的a，值为1.2542 黄线函数的a，值为1.2123根据函数可得 蓝线y=1.4172x (x取整)55岁退休缴存养老金为1400890(即y的值)所以 1400890=1.4172x(x取整)得 x=41所以年份为 41-2=39 （即2039年）同理 红线年份为65-2年（即2063年） 黄线年份为80-2年（即2078年）具体结果如下（用excel处理过的数据）： 由上表可知：从55岁，60岁，65岁退休一直领取养老金至75岁死亡的缺口情况分别为多领639228元，少领184756元，少领2382996元。从55岁，60岁，65岁退休，达到缴存与领取养老金平衡的年龄分别为69岁，93岁，108岁。 问题 四 （措施） 解决上述难题的办法是提高退休年龄，各企业平均65岁退休为理想状态，由于提高退休年龄可以提高在职工（包括在职职工和已达退休年龄职工）总数中的比重，降低退休职工在职工总数中的比重，从而使抚养比降低。根据前面建立数学模型以及本文中山东省职工历年平均工资统计表,预计消费增长不会大幅减速,同时进口的减速可以部分抵消出口放缓带来的对gdp 的冲击，在未来几年内,防止经济下滑和通货紧缩仍然是宏观经济政策的出发点.坚定不移地实施积极的财政政策和适度宽松的货币政策.要抓住关键、突出重点、统筹兼顾、全面落实.要坚持扩大内需为主和稳定外需相结合,采取更强有力的措施扩大国内需求特别是扩大消费需求,以拉动经济增长，从而带动养老金的发放，要坚持保增长和调结构、增效益相统一,把保增长建立在提高质量、优化结构、增加效益、降低消耗、保护环境的基础之上,努力形成新的经济增长点和竞争优势.通过改革创新增强应对国际金融危机冲击能力、增强解决我国发展深层次矛盾和问题能力.要坚持把改善民生作为保增长的出发点和落脚点,注重把保增长、扩内需同改善民生紧密结合起来,急群众所急,解群众所难,进一步解决好人民最关心最直接最现实的利益问题,切实维护社会稳定.在未来几十年内,政策着力点则可作相应调整,一部分转移到优化结构方面,比如扩大出口扶持、增加消费投入,优化贷款结构. 七、模型的评价与推广本文主要采用了主成分分析模型,灰色关联分析模型(提取影响我国养老金制度改革的主要指标), 利用spss软件筛选出了影响我国养老金制度改革的4个主要指标.并用excel软件计算出山东省某企业2011年到2045年的年平均工资，2000年到2045年的缴费指数，以及2000年到2035年缴存的养老金与2025年到2045年领取的养老金，为了维持养老保险基金收支平衡，我们采取了合理的措施。7.1、模型的优点对于主成分分析模型,我们可以利用查询到的历年12个影响指标的数据（按月）运用spss软件直接进行因子分析,从而提取出影响我国养老金制度改革最大的6个指标（主成分）,在此模型中我们仅运用spss软件就直接运算出了我们想要的结果,操作简单是该模型最大的优点.对于灰色关联分析模型,我们通过计算出参考序列和比较序列的关联度来反映各比较因素对参考因素的接近程度,找出各比较因素中对系统参考因素影响最大的因素,即与系统参考因素关联度最大的因素. 由于灰色关联分析不需要大量的样本及数据的典型分布,所以计算简单.7.2、模型的缺点对于主成分分析模型,由于所得结果失掉了部分原信息,所以所得数据精度不是太高.对于灰色关联分析模型,由于我国养老金制度改革的数据很难找全,所以在运行此模型时样本质量问题成为了影响其结果的薄弱环节.7.3、模型的推广我国养老金制度的改革是一个十分复杂的问题,我们所见的模型是在简化后进行预测,实际上,很多因素都可能会影响到养老金替代率的变化,从而影响我国养老金制度的改革.在实际生活中运用模型进行预测替代率时,应考虑多方面的因素(例如,消费物价指数（cpi）,gdp,房价增长率,工业生产),并对模型进行进一步的完善. 八、模型检验本文所构建模型是基本符合现实，对于未来的预测和政策调整希望能起到积极作用。九、参考文献资料1 马燕,主成分分析法在学生成绩评价中的作用j,乐山师范学院学报，2009-01，24(1):131-133.2 国研网宏观经济研究部,宏观经济的月度数据, ,2009-9-18.3 周春生,各地区居民消费价格指数, ,2009-9-19.4 刘晨辉,半刚性基层抗裂性评价指标的灰色关联度分析j, 河南科学,2009-01,27(1):88-90.5 李林 姜德义,基于灰色理论的工伤事故死亡率预测模型研究,矿业安全与环保j,2007-04,34(2):80-81.6 网易，未来几年中国经济形势分析预测， http:/www.51zjxm. com/new s/20 099/new_8204748.html,2009-9-20. 十、附件附件3时间消费物价指数（cpi）%货币和准货币m2(亿元)生产者物价指数（ppi）%gdp(亿元)消费者信心指数（cci）房价增长率（%）贸易顺差（亿美元）投资（亿元）流通中现金m0(亿元)货币m1(亿元)出口变化率（%）进口变化率（%）2007012.2351498.84.11711898.65.1158.8326827949.1128484.13327.52007022.7358659.35.21711897.25.3237.6326830627.9126258.151.713.12007033.3364104.77.451711898.35.468.7800927388127881.36.914.52007043367425.6819186.497.56168.5805127813.9127677.826.821.32007053.4369718.28.119186.4977.2224.7945026728130275.828.719.12007064.4377832.21019186.497.57.5269.11403326881.1135847.427.114.22007075.6383884.99.0520049.596.78243.61062027326.3136237.434.226.92007086.53872059.520049.597.38.2249.7996127822.4140993.222.720.12007096.2393098.910.120049.5978.9238.11158829030.6142591.622.716.12007106.5394204.25.626822.896.59.5270.51070728317.8144649.322.325.52007116.9399757.96.226822.89610.5262.81165128987.9148009.822.825.32007126.5403401.3426822.896.910.5226.91680930334.3152519.221.625.52008017.1417846.23.820496.998.611.3194.7406136673.2154872.626.727.62008028.7421037.86.1220496.996.810.985.5406132454.5150177.96.535.12008038.3423054.5820496.994.810.7134.11019630433.1150867.530.624.62008048.5429240.98.0223042.99410.1166.71009330789.9151681.421.826.32008057.7436221.68.1523042.994.39.2202.11185430169.3153344.828.1402008067.1443141923042.994.18.22101817230181.3154820.217.6312008076.3446362.21023670.694.57254.31372430687.2154992.426.933.72008084.9448846.710.123670.693.75.3293.91276030851.6156889.921.123.12008094.6452898.79.123670.693.43.5299.71495131724.915574921.521.32008104453133.36.63301392.41.6357.81331831317.8157194.419.215.62008112.4458644.723301389.20.2403.31442531607