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关于数学分析中极限求解的若干方法 摘要： 在数学分析中,极限是一个蕴含深刻辩证法的数学概念,其中渗透着常数与变数、有限与无限、精确与近似等.研究函数的性质实质上是研究各种类型的极限,如连续、导数、定积分、级数等等.因此,极限是数学分析中非常重要的一个概念.本文主要探讨了数学分析中极限求解的几种思路和方法,结合具体的例子分析了一般极限的求解过程,给出了一般极限求解的方法和技巧,揭示了极限求解的解题思路关键词：函数；极限；方法some solutions of getting limit in mathematical analysis abstract: limit contains profound dialectical mathematical concepts, it contains constan- t and variable, limited and infinite, precise and approximate .in the mathematical analysis, it h- as a variety of forms of limits.this paper mainly discusses some ideas and methods in solving the limits of mathematical analysis , analysis the solving process of a general limit,gives the g-eneral solution and skill of limit, and also reveals the thoughts of geting the limit,which is co-mbined with concrete examples. key words: function; limit; solution1引言极限是数学分析中最基本的概念之一,用以描述变量在一定变化过程中的终极状态.纵观数学的发展,我们可以看到人们对于极限概念的认识经历了一段漫长的过程.它把初等数学扩展为一个新的阶段变量数学,整个数学分析都是以极限为基础而展开的一门数学学科.从不同的数学角度去体验和理解极限这一数学概念,对于学好数学分析和其他相关课程具有很重要的意义.本文主要结合相关概念、定理、性质和例题,对数学分析中极限求解的相关的方法予以归纳总结.2 数学分析中极限求解的方法2.1 利用定义求极限定义 1 设函数在点的某个空心邻域内有定义,为定数.若对任给的,存在正数,使得当时有 ，则称函数当趋于时以为极限,记作 或 .例 1 用极限的定义证明.证 由于,因此 .于是,对任给的,取 则当时,有 注 用极限的定义时,只需要证明存在,故求解的关键在于不等式的建立.在求解的过程中往往采用放大、缩小等技巧,但不能把含有的因子移到不等式的另一边再放大,而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大,有时还需加入一些限制条件,限制条件必须和所求的(或)一致,最后结合在一起考虑.2.2 利用极限的运算法则求极限 定理 1 已知,都存在,极限值分别为,则 (1) ； (2) ； (3) （此时需成立). 例 2 求.解 原式 . 注 1 对于和、差、积、商形式的函数求极限,可以采用极限运算法则,使用时需要先对函数做某些恒等变换或化简,变换的方法通常有分式的通分、约分、分解因式、分子分母有理化、三角函数的恒等变化、拆项消去法、比较最高次幂法等. 注 2 运用极限法则时,必须注意只有各项极限都存在(对商,还要分母极限不为零)时才能适用.2.3 利用单调有界准则求极限定理 2 在实数系中,有界的单调数列必有极限. 例 3 证明数列（n重根式)的极限存在.分析 显然,故数列单调增加.下面证有界.由于数列由递推关系给出,解题时通常先估计出它的上下界,再用数学归纳法证明.下界显然是,取上界时考虑单调递增数列的极限是它的最小上界,可先假设极限存在,且设,再由,易得,对其两边求极限得,解得,显然所有大于的实数都是的上界,为便于计算,取的上界为3,然后用数学归纳法加以证明.证明 (1) 显然,故数列单调增加； (2) 显然0,假设,则，再对式子两边求极限得 ,从而 . 注 利用单调准则证明极限存在,主要针对递推数列,必须验证数列两个方面的性质：单调性和有界性.解题的难点在于判断单调性,一般通过数学归纳法、减法、除法比较前后项2.4 利用夹逼准则求极限定理 3 设,且在某一空心邻域内有 ，则. 例 4 求.解 当时,有 ,从而 ,由夹逼准则得 ,所以 . 注 1 夹逼准则多适用于所考虑的函数比较容易适度放大或缩小,而且放大和缩小的函数是容易求得相同的极限.基本思想是把要求解的极限转化为求放大或缩小的函数或数列的极限. 注 2 利用夹逼准则求函数极限的关键： （1）构造函数,使； （2）,由此可得.2.5 利用两个重要极限求极限 两个重要极限:（1)； (2). 根据复合函数的极限运算法则,可将以上两个公式进行推广:(1) ()； (2) . 例 5 . 解 .2.6 利用无穷小的性质和等价无穷小代换求极限 定理 4 设函数在内有定义,且有 . (1) 若,则； (2) 若,则. 性质1 有限个无穷小量的代数和为无穷小量； 性质2 有限个无穷小量的乘积为无穷小量； 性质3 常数与无穷小量的乘积是无穷小量.定理 5 设,均为无穷小,且,且存在,则 . 例 6 计算.解 由于,而 ,，故有 . 注 1 对于分子或分母中的两个无穷小之差不能直接用无穷小代换. 注 2 常用等价代换公式:当时，,等.2.7 利用连续性求极限定理 6 一切连续函数在其定义区间内的点处都连续,即如果是连续函数的定义区间内的一点,则 . 例 7 求.解 由于0在初等函数的定义域之内,由的连续性,有 .2.8 利用罗必达法则求极限 2.8.1 型不定式极限 定理 7 若函数和满足： (1) ； (2) 在点的某空心邻域内两者都可导,且； (3) (可为实数,也可为),则 .2.8.2 型不定式极限 定理 8 若函数和满足： (1) ； (2) 在点的某空心邻域内两者都可导,且；(3) (可为实数,也可为),则 . 注 罗必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限的,在同一运算过程中可连续使用,直到求出所求极限.但是，对于其他不定式的极限（如等类型）如果无法判断其极限状态,则罗必达法则失败,但只需经过简单变换,它们一般可以化为型和型的极限. 例 8 计算.解 这是一个型的不定式极限,直接应用罗必达法则得: 原式 . 例 9 . 解 这是一个型的不定式极限,用恒等变形将它转化为 型不定式极限;并应用罗必达法则得到 .2.9 利用导数的定义求极限定义 2 设函数在点的某个邻域内有定义,若极限 存在,则称函数在点处可导,并称该极限为函数在点处的导数,记作. 例 10 设存在,求. 解 = = = =. 例 11 求.解 这是型极限,先转化成，其指数是型极限,由数列极限于函数极限的关系及导数的定义知 ，因此由复合函数求导得 原式=. 注 对于一般抽象函数求极限时,如果已知它的导数是存在的,则经常利用导数的定义求极限.2.10 利用微分中值定理求极限2.10.1 用拉格朗日中值定理求极限（或柯西中值定理） 定理 9 (拉格朗日中值定理)若函数满足如下条件： (1)在闭区间上连续； (2)在开区间上可导；则在上至少存在一点,使得 . 例 12 求,其中. 解 由题意,可对和分别应用拉格朗日中值定理,则 原式= = =（其中). 例 13 计算.解 设,由于在上连续,在内可导.于是 由微分中值定理知 .当,所以 .2.10.2 用泰勒展式求极限（或麦克劳林展式) 例 14 计算 . 解 因为, ；所以 .注 1 常用展式： , 等. 注 2 在计算过程中,要注意高阶无穷小的运算及处理.2.11 利用定积分求极限2.11.1 利用定积分的定义及性质求极限 定义 3 设在上的一个函数,是一个确定的实数.若对任给的正数,总存在某一正数,使得对的任何分割,以及其上任意选取的点集,只要,就有 ,则称函数在区间上可积;数称为在上的定积分,记作 . 若用极限符号表达定积分,可写作. 例 15 计算.解 令函数,把等分为n份,考虑在上的定积分. 由定积分的概念可知 .所以 . 注 由定积分的定义我们知道,定积分是某一和式的极限,因此,如果关于的某一和式可以表示成某一积分的形式时,则可利用定积分,求出这个和式的极限;显然,若要利用定积分求极限,其关键在于将和式化成某一函数的积分形式.2.11.2 利用积分中值定理求极限定理 10 设与都在上连续,且在上不变号,则至少存在一点,使得 .例 16 求极限.解 取,则在上的最小值,最大值,由积分中值定理知 ,因为,所以 .2.12 利用级数求解极限2.12.1 利用级数展开式求极限 例 17 . 解 利用幂级数的展开式,可得 原式 .注 从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运算、逐项求导、逐项求积定义法等直接或间接地求得函数的幂级数展开式.2.12.2 利用级数收敛的必要条件求极限定理 11 若级数收敛,则它的一般项趋于零.例 18 求. 解 研究级数 ,令,用比值法: 所以级数收敛,从而 . 注 对某些极限可将函数作为级数的一般项,只需证明此级数收敛,便有.2.13 利用黎曼引理求极限定理 12 若在上可积,是以为周期的函数,且在上可积,则有 . 例 19 计算. 解 因为的周期为,.3 结束语 极限的思想是近代数学的一种重要思想，其思想方法贯穿于微积分学的始终.可以说微积分学的几乎所有概念都离不开极限.本文在有关极限概念定理及性质的基础之上,通过详实的例题对于有关极限求解问题予以归纳总结.对函数和数列极限求法的讨论我们可以发现,在计算极限时,其方法是多种多样的，技巧性很强,因此,本文通过一些典型例题对求极限的方法加以归纳、总结,以帮助初学者深刻地理解极限的概念并熟练掌握求极限的方法.参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析m.北京:高等教育出版社,2001.2 高等数学辅导m.北京:高等教育出版社,2003.3 数学分析中的典型问题与方法m.北京:高等教育出版社,1995.4 丁家泰.微积分解题方法m.北京:北京师范大学出版社,1981.5 刘三阳.高等数学典型题解m.西安:西北工业大学出版社,2003.6 吉米多维奇.数学分析习题集解题m.济南:山东科学技术出版社,1999.7 王阳,刘云,催春红.浅谈泰勒公式的应用j.和田师范专科学校学报,2008,28(1):197-201.8 张敏捷.函数极限的几种特殊求法j.黄石理工学院学报,2008,4(24):56-58. 9 程鹏,张洪瑞,李占现.求函数极限的方法j.河南科技学院学报,2008,9(36):133-134. 10 rudin w.principle of mathematical analysism.new york:john pearson edution,1990.谢 辞 在论文完成之际,我要特别感谢我的指导老师李顺琴老师的热情关怀和悉心指导.在