大学物理第9章习题解答

第第 9 章章真空中的静电场真空中的静电场 习题解答习题解答 9 91 1 精密的实验已表明，一个电子与一个质子的电量在实验误差为的e 21 10 范围内是相等的，而中子的电量在的范围内为零。考虑这些误差综合的最坏e 21 10 情况，问一个氧原子（含8 个电子、 8 个质子、 8 个中子）所带的最大可能净电荷是 多少？若将原子看成质点，试比较两个氧原子间的电力和万有引力的大小，其净力是 引力还是斥力？ 解：解：（1）一个氧原子所带的最大可能净电荷为 eq 21 max 1024 （2）两个氧原子间的电力和万有引力的大小之比为 6 2 227 11 2 21921 12 2 2 2 2 max 0 108 . 2 )1067 . 1 16( 1067 . 6 )106 . 11024( 1085 . 8 4 1 4 1 r r r m G r q f f G e 氧 其净力是引力。 92 如习题 92 图所示，在直角三角形 ABC 的 A 点处，有点电荷 q1 = 1.810- 9C，B 点处有点电荷 q2 = 4.810-9C，AC = 3cm，BC = 4cm，试求 C 点的场强。 解：解：根据点电荷场强大小的公式 ， 22 0 1 4 qq Ek rr 点电荷 q1在 C 点产生的场强大小为 1 1 2 0 1 4 q E AC 9 94-1 22 1.8 10 9 101.8 10 (N C ) (3 10 ) 方向向下。 点电荷 q2在 C 点产生的场强大小为 2 2 2 0 |1 4 q E BC ， 9 94-1 22 4.8 10 9 102.7 10 (N C ) (4 10 ) 方向向右。 C 处的总场强大小为 22 12 EEE E2 E E1 q2 A C q1 B ， 44-1 0.9 13 103.245 10 (N C ) 总场强与分场强 E2的夹角为 1 2 arctan33.69 E E 93 半径为 R 的一段圆弧，圆心角为 60，一半均匀带正电，另一半均匀带负电， 其电荷线密度分别为+ 和-，求圆心处的场强。 解：解：在带正电的圆弧上取一弧元 ds = Rd， 电荷元为 dq = ds， 在 O 点产生的场强大小为 ， 22 000 1d1d dd 444 qs E RRR 场强的分量为 dEx = dEcos，dEy = dEsin。 对于带负电的圆弧，同样可得在 O 点的场强的两个分量由于弧形是对称的，x 方向 的合场强为零，总场强沿着 y 轴正方向，大小为 2d sin y L EEE /6/6 0000 sin d( cos ) 22RR 。 0 3 (1) 22R 94 均匀带电细棒，棒长 a = 20cm，电荷线密度为 = 310-8Cm-1，求： （1）棒的延长线上与棒的近端相距 d1 = 8cm 处的场强； （2）棒的垂直平分线上与棒的中点相距 d2 = 8cm 处的场强。 解：解：（1）建立坐标系，其中 L = a/2 = 0.1(m)，x = L+d1 = 0.18(m)。 在细棒上取一线元 dl，所带的电量为 dq = dl， 根据点电荷的场强公式，电荷元在 P1点产生的场强的大 小为 1 22 0 dd d 4() ql Ek rxl 场强的方向沿 x 轴正向因此 P1点的总场强大小 通过积分得 1 2 0 d 4() L L l E xl Ex x E R ds Ey O y ds Exx E R Ey O y o l x x dl y P1 r -L L d1 0 1 4 L L xl 0 11 () 4xLxL 22 0 12 4 L xL 将数值代入公式得 P1点的场强为 8 9 1 22 2 0.1 3 10 9 10 0.180.1 E = 2.41103(NC-1) 方向沿着 x 轴正向。 （2）建立坐标系，y = d2。 在细棒上取一线元 dl，所带的电量为 dq = dl 在棒的垂直平分线上的 P2点产生的场强的大小为 2 22 0 dd d 4 ql Ek rr 由于棒是对称的，x 方向的合场强为零，y 分量为 dEy = dE2sin。 由图可知：r = d2/sin，l = d2cot 所以 dl = -d2d/sin2 因此 02 dsin d 4 y E d 总场强大小为 02 sin d 4 L y lL E d 02 cos 4 L lL d 22 02 2 4 L lL l d dl 22 0 22 12 4 L ddL 将数值代入公式得 P2点的场强为 o l x x dl r -LL y P2 dEy dE2 dEx d2 8 9 22 1/2 2 0.1 3 10 9 10 0.08(0.080.1 ) y E = 5.27103(NC-1) 方向沿着 y 轴正向 讨论：讨论：（1）由于 L = a/2，x = L+d1，代入式，化简得 1 011011 1 44/1 a E d dad da 保持 d1不变，当 a时，可得 1 01 4 E d 这就是半无限长带电直线在相距为 d1的延长线上产生的场强大小 （2）由式得 22 02 2 4 ( /2) y a E d da 22 02 2 1 4 (/ )(1/2) d da 当 a时，得 ， 02 2 y E d 这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式。 如果 d1=d2，则有大小关系 Ey = 2E1。 95 一无限长均匀带电细棒被弯成如习题 95 图所示的对称形状，试问 为何值时， 圆心 O 点处的场强为零。 解：解： 设电荷线密度为 ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的 场强。 在圆弧上取一弧元 ds =R d 所带的电量为 dq = ds 在圆心处产生的场强的大小为 22 00 dd dd 44 qs Ek rRR 由于弧是对称的，场强只剩 x 分量，取 x 轴方向为正，场强为 dEx = -dEcos 总场强为 R O P b a Ox dx y 2/2 0/2 cos d 4 x E R 2/2 0/2 sin 4R 0 sin 22R 方向沿着 x 轴正向。 再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强 根据上一题的公式可得半无限长带电直线在延长上 O 点产生的场 强大小为 0 4 E R 由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在 O 点产生的合场强为 0 2coscos 222 x EE R 方向沿着 x 轴负向 当 O 点合场强为零时，必有，可得 tan/2 = 1 xx EE 因此 /2 = /4， 所以 = /2 96 一宽为 b 的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为 ，如习题 96 图所示。 试求 平板所在平面内，离薄板边缘距离为的点处的场强。aP 解：解： 建立坐标系。在平面薄板上取一宽度为 dx 的带电直线， 电荷的线密度为 d = d x 根据直线带电线的场强公式 0 2 E r 得带电直线在 P 点产生的场强为 00 dd d 22( /2) x E rbax 其方向沿 x 轴正向。 R O x d dE O E E x R 由于每条无限长直线在 P 点的产生的场强方向相同，所以总场强为 /2 0/2 1 d 2/2 b b Ex bax /2 0/2 ln( /2) 2 b b bax 0 ln(1) 2 b a 场强方向沿 x 轴正向。 97 有一半径为的半球面 ,均匀地带有电荷 ,电荷面密度为,求球心处的电r 场强度。 解解: 如图所示，在球面上任取一面元 ，其上带电量为ddsind 2 rS ，电荷元在球心处产ddsindd 2 rSqqd 生的场强的大小为 2 2 0 2 0 ddsin 4 1d 4 1 d r r r q E 方向如图。由对称性分析可知，球心处场强方向竖直向 下，其大小为 0 2 0 2 0 0 4 dcossin 4 dcosd EEE z 98（1）点电荷 q 位于一个边长为 a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方 体一面的电通量是多少？ （2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是 多少？ 解：解：点电荷产生的电通量为 e = q/0 （1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过 6 个面，通过每一面的电通量为 1 = e/6 = q/60 （2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过 8 个卦限，立方体的 3 个面在一个卦限 中，通过每个面的电通量为 1 = e/24 = q/240； 立方体的另外 3 个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零 99 面电荷密度为 的均匀无限大带电平板，以平板上的一点 O 为中心，R 为半径 作一半球面，如习题 99 图所示。求通过此半球面的电通量。 解：解：设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成 一个球面。球面内包含的电荷为 q = R2 通过球面的电通量为 e = q/0 通过半球面的电通量为 e = e/2 = R2/20 910 两无限长同轴圆柱面，半径分别为 R1和 R2(R2 R1)，带有等量异号电荷，单位 长度的电量分别为 和-，求（1）r R2处各点的场强。 解：解：由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性。 （1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以 E = 0， （r R2） 911 一厚度为 d 的均匀带电无限大平板，电荷体密度为 ，求板内外各点的场强。 解：方法一：高斯定理法解：方法一：高斯定理法 （1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E 在板内取一底面积为 S，高为 2r 的圆柱面作为高斯面， 场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高 斯面的电通量为 d e S ES 20 ddd SSS ESESES 1 02ESE SES 高斯面内的体积为 V = 2rS， 包含的电量为 q =V = 2rS 根据高斯定理 e = q/0 S2 S1 E S1 S2 E E d 2rS0 E S0 R O 可得场强为 E = r/0，(0rd/2) （2）穿过平板作一底面积为 S，高为 2r 的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为 e = 2ES 高斯面在板内的体积为 V = Sd， 包含的电量为 q =V = Sd， 根据高斯定理 e = q/0， 可得场强为 E = d/20，(rd/2) 方法二：场强叠加法方法二：场强叠加法 （1）由于平板的可视很多薄板叠而成的，以 r 为界， 下面平板产生的场强方向向上，上面平板产生的场强方向向 下。在下面板中取一薄层 dy，面电荷密度为 d = dy， 产生的场强为 dE1 = d/20 积分得 1 00/2 d () 222 r d yd Er 同理，上面板产生的场强为 /2 2 00 d () 222 d r yd Er r 处的总场强为 E = E1-E2 = r/0 （2）在公式和中，令 r = d/2，得 E2 = 0、E = E1 = d/20 E 就是平板表面的场强。 平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场叠加的结果，是均强电场，方向 与平板垂直，大小等于平板表面的场强，也能得出式。 9 91 12 2 一个均匀带电圆盘，半径为，电荷面密度为，求：R (1) 轴线上任一点的电势（用表示该点至圆盘中心的距离）；x (2) 利用电场强度与电势的关系求轴线上的场强分布。 解解：如图所示，将均匀带电圆盘视为一系列连续分布 的同心带电细圆环所组成，距点处取一宽为的Ordr 细圆环，其带电量为，在rdrddq 2S dq 点处产生的电势为P 22 1 222 1 2 00 1d12d d 4()4() qr r V rxrx 所以，整个带电圆盘在点产生的电势为P 22 22 1 2 0 00 2d d() 4()2 R r r VVRxx rx E2 dyr y o E1 d 轴线上的场强分布为 )1 ( 2d d 22 0xR x x V Ex 913 一半径为 R 的均匀带电球体内的电荷体密度为 ，若在球内挖去一块半径为 R 的小球体，如习题 913 图所示，试求两球心 O 与处的电场强度，并证明小球空 R O 腔内的电场为均强电场 解：解： 挖去一块小球体，相当于在该处填充一块电荷体密度 为- 的小球体，因此，空间任何一点的场强是两个球体产生的场 强的叠加。 对于一个半径为 R，电荷体密度为 的球体来说，当场点 P 在球内时，过 P 点作一半径为 r 的同心球形高斯面，根据高斯定 理可得方程 23 0 1 4 4 3 Err P 点场强大小为 0 3 Er 当场点 P 在球外时，过 P 点作一半径为 r 的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程 23 0 1 4 4 3 ErR P 点场强大小为 3 2 0 3 R E r O 点在大球体中心、小球体之外大球体在 O 点产生的场强为零，小球在 O 点产生的 场强大小为 3 2 0 3 O R E a 方向由 O 指向 O。 O点在小球体中心、大球体之内小球体在 O点产生的场强为零，大球在 O 点产生 的场强大小为 0 3 O Ea 方向也由 O 指向 O 证明：证明：在小球内任一点 P，大球和小球产生的场强大小分别为 0 3 r Er O R a R O 0 3 r Er 方向如图所示 设两场强之间的夹角为 ，合场强的平方为 222 2cos rrrr EEEE E 222 0 () (2cos ) 3 rrrr 根据余弦定理得 222 2cos()arrrr 所以 0 3 Ea 可见，空腔内任意点的电场是一个常量。还可以证明，场强的方向沿着 O 到 O的方向。因 此空腔内的电场为匀强电场。 914 如习题 914 图所示，在 A、B 两点处放有电量分别为+q 和-q 的点电荷， ，现将另一正试验电荷 q 0从 O 点经过半圆弧路径移到 C 点，求移动过程 ROBAO 中电场力所做的功。 解：解：正负电荷在 O 点的电势的和为零 UO = 0； 在 C 点产生的电势为 000 4346 C qqq U RRR 电场力将正电荷 q0从 O 移到 C 所做的功为 W = q0UOD = q0(UO-UD) = q0q/60R 915 真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面 A 和 B。A 平面的电荷面密度为 2，B 平面的电荷面密度为 ，两面间的距离为 d当点电荷 q 从 A 面移到 B 面时，电场力 做的功为多少？ 解：解：两平面产生的电场强度大小分别为 EA = 2/20 = /0，EB = /20， 两平面在它们之间产生的场强方向相反，因此，总场强大小为 E = EA - EB = /20 方向由 A 平面指向 B 平面。 两平面间的电势差为 U = Ed = d/20 当点电荷 q 从 A 面移到 B 面时，电场力做的功为 W = qU = qd/20 -q+q O B D C A O a r O r Er Er E P 916 一半径为 R 的均匀带电球面，带电量为 Q。若规定该球面上电势值为零，则无 限远处的电势为多少？ 解：解：带电球面在外部产生的场强为 ， 2 0 4 Q E r 由于 dd R RR UUE r El 2 00 d 44 RR QQ r rr 0 4 Q R 当 UR = 0 时， 0 4 Q U R 917 电荷 Q 均匀地分布在半径为 R 的球体内，试证明离球心 r（rR）处的电势为 。 22 3 0 (3) 8 QRr U R 证明：证明：球的体积为 3 4 3 VR 电荷的体密度为 3 3 4 QQ VR 利用 913 题的方法可求球内外的电场强度大小为 ， （rR） 3 00 34 Q Err R ， （rR） 2 0 4 Q E r 取无穷远处的电势为零，则 r 处的电势为 ddd R rrR UE rE r El 32 00 dd 44 R rR QQ r rr Rr 2 3 00 84 R rR QQ r Rr 22 3 00 () 84 QQ Rr RR 22 3 0 (3) 8 QRr R 918 在 y = -b 和 y = b 两个“无限大”平面间均匀充满电荷，电荷体密度为 ，其他 地方无电荷。 （1）求此带电系统的电场分布，画 E-y 图； （2）以 y = 0 作为零电势面，求电势分布，画 U-y 图。 解： 平板电荷产生的场强的方向与平板垂直且对称 于中心面：E = E，但方向相反 （1）在板内取一底面积为 S，高为 2y 的圆柱面作为 高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直， 通过高斯面的电通量为 d e S ES 0 ddd2 SSS ES ESESES 12 高斯面内的体积为 V = 2yS 包含的电量为 q = V = 2Sy 根据高斯定理 e = q/0 可得场强为 E = y/0 (-byb) 穿过平板作一底面积为 S，高为 2y 的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为地 e = 2ES 高斯面在板内的体积为 V = S2b 包含的电量为 q = V = S2b 根据高斯定理 e = q/0 可得场强为 E = b/0， (by) E = -b/0， (y-b ) E-y 图如左图所示 （2）对于平面之间的点，电势为 0 dd y Uy El ， 2 0 2 y C 在 y = 0 处 U = 0，所以 C = 0，因此电势为 o-b E S2 S2 E y b E b b E S1 S0 S0 S1 o y E -b b o y U -bb ，(-byb) 2 0 2 y U 这是一条开口向下的抛物线。 当 yb 时，电势为 ， 00 dd nqbnqb UyyC El 在 y = b 处 U = -b2/20，所以 C = b2/20，因此电势为 ，(by) 2 00 2 bb Uy 当 y-b 时，电势为 00 dd bb UyyC El 在 y = -b 处 U = -b2/20，所以 C = d2/20，因此电势为 2 00 2 bb Uy 两个公式综合得 ，(|y|d) 2 00 | 2 bb Uy 这是两条直线。 U-y 图如右图所示U-y 图的斜率就形成 E-y 图，在 y = b 点，电场强度是连续的，因 此，在 U-y 图中两条直线与抛物线在 y = b 点相切。 注意：根据电场求电势时，如果无法确定零势点，可不加积分的上下限，但是要在积 分之后加一个积分常量。根据其他关系确定常量，就能求出电势，不过，线积分前面要加 一个负号，即 dU E l 这是因为积分的起点位置是积分下限。 919 两块“无限大”平行带电板如习题 919 图所示，A 板带正电，B 板带负电并 接地（地的电势为零） ，设 A 和 B 两板相隔 5.0cm，板上各带电荷 =3.310-6Cm-2，求： （1）在两板之间离 A 板 1.0cm 处 P 点的电势； （2）A 板的电势。 AB P 解：解：两板之间的电场强度为 E=/0 方向从 A 指向 B。 以 B 板为原点建立坐标系，则 rB = 0，rP = -0.04m，rA = -0.05m （1）P 点和 B 板间的电势差为 dd BB PP rr PB rr UUE r El 0 () BP rr 由于 UB = 0，所以 P 点的电势为 =1.493104(V) 6 12 3.3 10 0.04 8.84 10 P U （2）同理可得 A 板的电势为 =1.866104(V) 0 () ABA Urr 920 电量 q 均匀分布在长为 2L 的细直线上，试求： （1）带电直线延长线上离中点为 r 处的电势； （2）带电直线中垂线上离中点为 r 处的电势； （3）由电势梯度算出上述两点的场强。 解：解：电荷的线密度为 = q/2L （1）建立坐标系，在细线上取一线元 dl，所带的电量为 dq = dl 根据点电荷的电势公式，它在 P1点产生的电势为 1 0 1d d 4 l U rl 总电势为 1 0 d 4 L L l U rl 0 ln() 4 L lL rl 0 ln 8 qrL LrL （2）建立坐标系，在细线上取一线元 dl，所带的电量为 dq = dl，在线的垂直平分线 上的 P2点产生的电势为 AB P ro ox dl y L r -L P1 l ， 2 22 1/2 0 d d 4() l U rl 积分得 2 22 1/2 0 1 d 4() L L Ul rl 22 0 ln() 4 L lL rll 22 22 0 ln 8 qrLL L rLL 22 0 ln 4 qrLL Lr （3）P1点的场强大小为 1 1 U E r 0 11 () 8 q L rLrL ， 22 0 1 4 q rL 方向沿着 x 轴正向。 P2点的场强为 2 2 U E r 2222 0 1 4 () qr L r rLrLL 22 0 1 4 q r rL 方向沿着 y 轴正向。 921 如习题 921 图所示，一个均匀带电，内、外半径分别为 R1和 R2的均匀带电 球壳，所带电荷体密度为 ，试计算： （1）A，B 两点的电势； （2）利用电势梯度求 A，B 两点的场强。 解：（1）A 点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此 A 点的电势就等于球心 O 点的电势。 在半径为 r 的球壳处取一厚度为 dr 的薄壳，其体积为 o l x x x dl -LL y r P2 A O R1 B R2 rA rB dV = 4r2dr 包含的电量为 dq = dV = 4r2dr 在球心处产生的电势为 00 d dd 4 O q Ur r r 球心处的总电势为 2 1 22 21 00 d() 2 R O R Ur rRR 这就是 A 点的电势 UA。 过 B 点作一球面，B 的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的。 球面外的电荷在 B 点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可 得 22 12 0 () 2 B URr 球面内的电荷在 B 点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在 B 点产生的电势。球壳在球面内的体积为 33 1 4 () 3 B VrR 包含的电量为 Q = V 这些电荷集中在球心时在 B 点产生的电势为 33 21 00 () 43 B BB Q UrR rr B 点的电势为 UB = U1 + U2 3 22 1 2 0 (32) 6 B B R Rr r （2）A 点的场强为 0 A A A U E r B 点的场强为 3 1 2 0 () 3 B BB BB UR Er rr 讨论：讨论： 过空腔中 A 点作一半径为 r 的同心球