2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题(二)含答案

2016 年浙江省高中数学竞赛模拟试题 (2)及参考答案第一试 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分 . 1 若对任意 ,2x a a均有 2x a x ，则实数 a 的取值范围是 解： 22 32 3 2 0 4 6 02x a x x a x a a a 2 已知 222 4 1 4 2 0x x y y ，则 的最小 值为 解： 22224 2 4 2 12 4 1 1 1 2 4 1 1x x x x xy y y y y （利用函数单调性） 1 2x y ，等号当且仅当 1时等号成立，所以 的最小值为 2 3 用 x 表示不超过 x 的最大整数 等 于 解：221 1 10 s i n 2 0 1 4120142014 s i ， 2221 1 1 1t a n 1 2 0 1 51120142014 s i n t a 1 4 2 0 1 4 ，所以21 20141s i 4 已知 21, , ( )21 x f x f x f x f f 个则 12解： 12 2 22 11 1 11 1 1 11 1 1 121n n f f f x ，所以 21 32 5 在正方体1 1 1 1A B C D A B C D中，已知棱长为 1，点 E 在11 F 在 ，112 , 2A E E D D F F C体积为 解：如图，作1 1 1 D,连接11 三棱锥1B 体积为1153 2 7 S 6 已知等腰直角 三个顶点分别在等腰直角 三条边上， 记 面积分别为 S S 则 的最小值为 解 ：（ 1） 当 的直角顶点在 的斜边上，则 , , ,P C Q R 四点共圆， 1 8 0 ,A P R C Q R B Q R 所以 s i n s i n R B Q R 在 , 中分别应用正弦定理得 ,s i n s i n s i n s i A R Q R B P R B B Q R. 又 4 5 , 故 R ,故 R 即 R 为 中点 作 C 于 H ， 则 12P R R H B C,所以 22221()124P Q C B C ,此时 的最小值为 14. （ 2） 当 的直角顶点在 的直角边上，如图所示， 设 1 , ( 0 1 ) , ( 0 )2B C C R x x B R Q , 则 9 0 R P R C B R Q 在 中， ,s i n s i 在 中， 31 , ,s i n 4 x R Q P R R Q B Q R B B , 由正弦定理 , 1s i i n s i n s i n s i n ( )44 R B Q B 1s i n c o s 2 s i ， 因此 2 2 21 1 1 1( ) ( )2 2 s i n 2 c o s 2 s i R R . 这样， 2 2 2 21 1 1()c o s 2 s i n ( 1 2 ) ( c o s s i n ) 5 ，当且仅当 取等号， 此时 的最小值为 15. 7 设 P 为抛物线 2 2上的一个动点，过 P 作抛物线的切线与 22:1O x y交于点 ,M N O 在 , ，则点 Q 的轨迹方程是 8 选择集合 *1 , 2 , ,S n n N的两个不同的非空子集 A 和 B 则使 B 中最小数大于 A 中最大数的概率是 设 A 中的最大数为 k，其中 11 ,整数 n 3， 则 A 中必含元素 k，另元素 1， 2， k 1 可在 A 中，故 A 的个数为： 0 1 1 11 1 1C C C 2k k ， B 中必不含元素 1， 2， k，另元素 k 1， k 2， n 可在 B 中，但不能都不在 B 中， 故 B 的个数为： 12C C C 2 1n k n kn k n k n k ， 从而 集合对 (A， B)的个数为 12 2 1k n k 1122 ， 所以 所有满足 A 中最大数小于 B 中最小数的集合对 (A， B)的个数为 1 11 1 1 11 122 2 ( 1 ) 2 ( 2 ) 2 112n nn k n nk 而所有的 集合对 (A， B)的个数为 2 1 2 2 所以使 B 中最小数大于 A 中最大数的概率是 1( 2 ) 2 12 1 2 2 二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分 . 9.（ 本小题满分 16 分） . 已知椭圆 22:1的左、右焦点分别为1F，2F， 直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 M，且交 y 轴于点 P，过点 M 作垂直于 l 的直线交 y 轴于点 Q . 求证：12, , , ,F Q F M （略） 10.（本小题满分 20 分） 已知函数 22() 1x ， 12, nx x x, 为正实数，且 12 . . . 1nx x x ， 证明：12( ) ( ) . . . ( ) 0n n n nf x f x f x （略） 11.（本小题满分 20 分） . 已知数列 , *1111 ,0 , 0 , ,1b n 证明 :50 50 20 证明：因为2 2 2 211 2211 2 ( )n n nn n n b a ba b b a ， 所以 4 9 4 92 2 2 25 0 5 0 1 1 221111( ) 2 ( )i i b a ba b b a 2211 221111 2 2 4 9 4 4 4 9 2 0 0 又111 2n n n n b a b ， 所以 495 0 5 0 1 1 1 11 11112 4 9 9 8 1 0 0i b a b a ba b a b . 所以 2 2 25 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0( ) 2 2 0 0 2 0 0 4 0 0a b a b a b 0 202016 年浙江省 高中数学竞赛模拟试题 (2)及参考答案 加试 （本小题满分 40 分） 已知数列 a， 21 3 2 2 1n n na a a ， * (I) 证明： (是否存在 *，使得 2015说明理由 （ ）由 21 3 2 2 1n n na a a 得 22116 4 0n n n na a a a ，（ 1） 同理可得 222 2 1 26 4 0n n n na a a a ，（ 2），由（ 1）（ 2）可知，2,方程 22116 4 0a x a 的两根，又2， 即有216n n na a a，即216.n n na a a因为121, 5,所以 （）不存在 *，使得 ，使得 2015 31一方面， 2214m m ma a a，所以 2131 4 ,即 21 4 ( m o d 3 1 ) ，所以 3 0 1 5 3 01 4 2 ( m o d 3 1 ) . 由费马小定理知 302 1(m o d 3 1) ，所以 301 1 ( m o d 3 1 ) ，另一方面，1( , 31) 1 假设1( , 3 1) 1，则 31d ，即 31d ，所以131， 而 2131 4 ，这样得到 314 所以，由费马小定理得 301 1( m o d 3 1) 1(m o d 3 1) 所以不存在 *，使得 2015（本小题满分 40 分） 如图，在等腰 中， C ， D 为 内一点，满足 B 边 的外角平分线交于点 P ，边 中垂线与 的外角平分线交于点 Q . 证明： B C P Q、 、 、 四点共圆 . 三、 （本小题满分 50 分） 设 p 为大于 3 的素数，证明：（ 1） 11至少含有一个不同于 p 的素因子； （ 2）设 111 ，其中 12, , , np p p 是互不相同的素数， 12, , , n 为正整数， 则 21 2 . 四、（本小题满分 50 分） 设 X 是非空有限集合，12, , , A是 X 的 k 个子集，满足下列条件： (1) 3 , 1, 2 , ,iA i k ; (2) X 中任意一个元素属于12, , , A中的至少 4 个集合 . 证明：可从12, , , A中选出 37k个集合，使得它们的并集为 X . 解：令 12, , , A A集合得这些集合的并集 个，选出所有这样的集合后，不妨设 33 1 2, , , A A，3 0a ，又设33其中333因为3对于剩下的任意集合3,iA i a，有 3 2 X. 类似地，在集合3依次选定集合得这些集合的并集 个，不妨设这些集合 3 3 3 22 1 2, , ,a a a A A 全部被选出，则有 2 3 2S X X X ，且222同理，对于剩下的任意集合23,iA i a a，有 32 1 X X . 类似地， 3 2 3 2 3 2 11 1 2, , ,a a a a a a A A ，以及3 2 1X X X X ， 注意到3 2 1 1 2 323X X X X a a a ，323S S S X 且3 2 1 1 2 3S S S a a a m 即为上述选定集合所满足的关系，现说明 37 注意到1少出现 4 次，但1 132i a a，因此有：3 2 14k a