构造法在中学数学中的应用初探 毕业论文.docx

构造法在中学数学中的应用初探 摘要 构造法是一种富有创新性的解题方法，它很好的体现了数学中的发现、猜想、试验、探索、归纳等重要的数学方法，对学生的发展是极其有利的。构造法在解三角函数题中的运用是此文的关键之所在。纵观人类历史的发展，每一种理论的产生都有它的背景，并且这些理论的产生都是为实践服务的，构造法也不例外。自从数学诞生的那一天开始，无数数学志士就对数学中的问题进行了无数次探索，不仅仅在理论上进行创新，而且在方法上大胆地进行创新。伴随着数学的发展，数学也出现了未曾有过的难题，这不仅仅是数学理论趋向复杂所造成的，而且还是数学本身的结构所固有的特点。因此，需要无数热爱数学的人对解题的方法进行大胆的尝试。俗话说的好：“数学历史是一部充满曲折的人类文明史，不仅仅是数学难题层出不穷，而且是数学家涌现出人类历史上未曾有过的数量，但数学史仍然未铺平道路”。我的这篇论文，从数学中最容易出现的问题着手，来初步探索中学数学问题中最容易出现的问题，这样不但可以提高解决数学问题的能力，而且还可以提高数学休养，究竟什么是数学中的构造法呢？又该这样去构造将是论文的难点所在，要让我们在解决数学问题时不要拿到题就做的好习惯，要冷静地去分析所给题的结构特点，认真分析，找到恰当的方法。不但可以顺利地完成，而且达到简便易懂的目的，达到一箭双雕的作用。这里利用构造函数，方程，复数，数列，几何图形等诸多方面来充分地论述构造法在中学数学中的应用。并且论述了构造法的产生背景，构造法在数学方面和非数学方面的区别。来充分地体现数学构造法的重要性，表现出非构造也能完成数学问题的解决，但也同时表现了数学构造法的独特的优点。因此，构造法有着重要的发展前景，更需要人们对她进行探索，来进一步拓宽她在数学方面的应用。summary : construction law is a very innovative approach improves, it reflects well the mathematical discovery, guess, test, explore, and summarize important mathematical methods for the development of students is extremely beneficial. construction law in xie trigonometrical function and the use of the article is critica throughout human history, each generation has its theoretical background, and these theories are generated for the practice services, construction law is no exception. since the birth of mathematics that day onwards, numerous mathematical person of integrity on the issue of mathematics numerous exploration, innovation not only in theory but also in the methods boldly innovate. accompanied by the development of mathematics, mathematics has not had a problem, not only as a result of mathematics is complex, but also the structure of mathematics itself inherent characteristics. therefore, the need to solve the numerous people who love mathematics methods bold attempt. now the good : mathematics is a history full of ups and downs in the history of human civilization, is not just math problems are, but mathematician emerged in the history of mankind has not had the number, but still did not pave the way mathematics history.i the paper, from the most easy math problems to, the initial exploration secondary math problems to the most prone to problems, not just to enhance mathematical problem solving ability, but also can enhance the understanding of mathematics, what is mathematics, construction law? what this paper is to be constructed in the difficult, let us solve mathematical problems do not get you on the good habit to analyse calmly to the structure and characteristics of serious analysis and find appropriate ways. not only can successfully complete, but easy to understand the purpose to kill two birds with one role.construction of a function here that equation, the number series, geometric figure, and many other aspects of construction law to adequately address the applications of mathematics in secondary schools. construction on the law and have a background in mathematics and construction act, the distinction between non-mathematical.关键词：多元化思维 互不相等 构造法 构造主义 构造性，一、绪论传统的解题方法只是一味地机械式的练习，很少有创新的意识，不能发挥学生的创造性，这对学生的发展是不利的，构造法是一种富有创新性的解题方法，它很好的体现了数学中的发现、猜想、试验、探索、归纳等重要的数学方法，对学生的发展是极其有利的。在中学数学教学中加强构造法解题训练，并将构造思维形成途径展示给学生，增强学生应运构造法解题的意识，这对培养学生的多元化思维和创新精神，提高学生分析问题和解决问题的能力有所帮助。二.构造法的介绍1.构造法的简述：所谓“构造法”就是依据题目自身的特点，通过构造辅助函数，基本不等式，数列，几何图形等辅助工具，铺路架桥，促进转化，从而达到解题的目的的一种方法。是以已知条件为载体，以所求结论为方向构造出一种新的数学形式使得问题在这种形式下简捷解决。能够掌握一定的构造性的方法的解题技巧，不仅是问题简单化，而且还可以解决难度比较高的问题，使问题迎刃而解，开阔思路。“要什么，求什么，给什么，用什么”是最基本的，最常规的解题思路。而应用“构造思想”解题则另辟蹊经。对于如何解题g.波利亚曾说明“解题的成功靠正确的选择”用构造法也不例外。构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型从而使问题得以解决。构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法，及基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法。在解题过程中，若按习惯定势 思维去探求解题途径比较困难时，可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学生的解题能力也有所帮助，后面我们通过举例来说明通过构造法解题训练学生发散思维，谋求最佳的解题途径，达到思想的创新。2.构造法与构造主义：从数学产生那天起，数学中的构造性的方法也就伴随着产生了。但是构造性方法这个术语的提出，以至把这个方法推向极端，并致力于这个方法的研究，是与数学基础的直觉派有关。直党派出于对数学的“可信性”的考虑，提出一个著名的口号：“存在必须是被构造”。这就是构造主义。近代对构造性方法的研究，大致经历了如下三个阶段;1，直觉数学阶段，2，算法数学阶段，3，现代数学构造阶段.3.构造性数学与非构造性数学的区别与联系：为了充分认识构造性数学与非构造性数学之间的差别，数学的构造性方法的进展始终是直接因袭标准的非构造数学想法而得到的。因此人们往往产生一种错觉，以为构造数学“寄生”于非构造数学而发展。其实不然，往往构造数学比非构造数学能为某些定理提供更加自然、更加简单的证明，甚至可能得出一些新的非构造数学的定理。所以，这两种类型的数学之间的关系是相辅相成的共生性关系。美籍中国数学家王浩认为“构造性数学是做的数学，非构造性数学是在的数学”。数学的在是信息模式和结构的在，数学的做是信息加工。我国数学家胡世华先生认为构造性数学的倾向是用数学取得结果把结果构造出来，侧重于思维的构造实践，有限制地使用排中律；非构造性数学的倾向是数学地理解问题和规律，建立数学模型形成数学理论体系。追求科学理想，可以自由地使用排中律。构造性与非构造性数学既有区别，又有一定的联系，它们是相辅相成的。数学的构造性方法的进展自觉不自觉地直接因袭非构造性数学想法而得到的；非构造性数学中又总包含有构造性数学的因素，纯粹的非构造性数学是不存在的。三.数学构造法的应用大致说来，数学构造法有两类用途：1用于对经典数学的概念、定理寻找构造性解释。在大多数情况下，猜测经典定理。2用于开发构造性数学的新领域，组合数学、计算机科学中所涉及的数学，都是构造性数学的新领域，尤其是图论更是构造数学发展的典型领域之一。因为图的定义就是构造性的，同时图的许多应用问题，如计算机网络，程序的框图，分式的表达式等，也都是构造性很强的问题。对应的构造性内容，即使构造性内容确实存在的话也绝非易事。还是让我们在后面举例来说明。构造是一种重要的数学思想，它是创造能力较高的表现形式，没有固定的模式可循。构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、丰富的联想，灵活的构思，综合运用能力和创造能力为前提，根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带“构造法”作为一种重要的化归手段，在数学中有着极为重要的作用，现举例谈谈其在数学解题中的运用。（一）构造函数：构造恰当的函数，以此作为映射关系，然后利用函数的性质，如奇偶性，单调性，周期性等性质使问题变得非常敏捷。函数在我们整个中学数学是占有相当重要的内容，学生对于函数的性质也比较熟悉。选择烂熟于胸的内容来解决棘手问题，同时也达到了训练学生的思维，增强学生的思维的灵活性，开拓性和创造性。理解和掌握函数的思想方法有助于实现数学从常量到变量的这个认识上的飞跃。很多数学命题繁冗复杂，难寻入口，若巧妙运用函数思想，能使解答别具一格，耐人寻味。 构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型从而使问题得以解决。构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法。基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法。在解题过程中，若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学生的解题能力也有所帮助，下面我们通过举例来说明通过构造法解题训练学生发散思维，谋求最佳的解题途径，达到思想的创新。已知a， b， mr+，且a b 求证：（高中代数第二册p91）分析：由已知，若用 x代替m呢？可以得到 是关于x 的分式，若我们令f(x)=(a+x)(b+x) 是一个函数，且x r+联想到这时，我们可以构造函数上述函数，而又可以化为判断函数的单调性，而我们又知道 f(x)在0， 内是增函数，从而便可求解。证明：构造函数f(x)=(a+x)(b+x) 在0， 内是增函数， 即可得证。有些数学问题与函数毫不相干,但是根据题目的特点，巧妙地构造一个函数，利用函数的性质得到了简捷的证明。解题过程中不断挖掘学生的潜在意识而不让学生的思维注意到某一点上，把自己的解题思路搁浅了。启发学生思维多变，从而达到培养学生发散思维.已知x,y,z（0，1），求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)1（第15届俄罗斯数学竞赛题）分析：此题条件、结论均具有一定的对称性，然而难以直接证明，不妨用构造法一试。证：构造函数f(x)=(y+z-1)x+(yz-y-z+1) y,z(0,1),f(0)=yz-y-z+1=(y-1)(z-1)0。f(1)=(y+z-1)+(yz-y-z+1)=yz0。而f(x)是一次函数，其图象是直线，由x(0,1)恒有f(x) 0 即(y+z-1)x+(yz-y-z+1) 0 整理可得x(1-y)+y(1-z)+z(1-x) 1。这样以地于解决问题是很简捷的,通过这样的知识转移，使学生的思维不停留在原来的知识表面上，加深学生对知识的理解，掌握知识更为牢固和知识的运用能力。有利于培养学生的创新意识。（二）构造方程方程是解数学题的一个重要工具，许多数学问题，根据其数量关系，在已知和未知之间搭上桥梁，构造出方程，使解答简洁、合理。已知a,b,c为互不相等的实数，试证：bc(a-b)(a-c) +ac(b-a)(b-c) +ab(c-a)(c-b) =1 (1)证：构造方程(x-b)(x-c)(a-b)(a-c) +(x-a)(x-c)(b-a)(b-c) + =1 (2)。显然a,b,c为方程的三个互不相等的实根。而对任意实数x均满足（2）式。特别地，令x=0，即得（1）式。设x,y为实数，且满足关系式：(x-1)3+1997(x-1)=-1，(y-1)3+1997(y-1)=1则x+y= .（1997年全国高中数学联赛试题）分析：此题用常规方法，分别求出x和y的值后再求x+y则既繁又难，三次方程毕竟不熟悉。若将两方程联立构造出方程(x-1)3+1997(x-1)= (1-y)3+1997(1-y)=1，利用函数f(t)=t3+1997t的单调性，易得x-1=1-y，自然、简洁。通过上面的例子我们在解题的过程中要善于观察，善于发现，在解题过程中不墨守成规。大胆去探求解题的最佳途径，我们在口头提到的创新思维，又怎样去创新?创新思维是整个创新活动的关键，敏锐的观察力，创造性的想象，独特的知识结构及活跃的灵感是其的基本特征。这种创新思维能保证学生顺利解决问题，高水平地掌握知识并能把知识广泛地运用到解决问题上来，而构造法正从这方面增训练学生思维，使学生的思维由单一型转变为多角度，显得积极灵活从而培养学生创新思维。在解题的过程中，主要是把解题用到的数学思想和方法介绍给学生，而不是要教会学生会解某一道题，也不是为解题而解题，给他们学会一种解题的方法才是有效的授之以鱼，不如授之以渔。在这我们所强调的发现知识的过程，创造性解决问题的方法而不是追求题目的结果。运用构造 方法解题也是这样的，通过讲解一些例题，运用构造法来解题的技巧，探求过程中培养学生的创新能力。（三） 构造复数来解题：复数是实数的延伸，复数有其自身的优越性，联想到复数的概念和性质，构造复数模型，比直接法要简便得多。一些难以解决的实数问题通过构造转化为复数问题，虽然数的结构会变复杂，但常使问题简明化，正所谓“退一步海阔一空”。由于复数是中学数学与其他内容联系密切最为广泛的一部分，因而对某些问题的特点，可以指导学生从复数的定义性质出发来解决一些数学难题。具有点,向量,代数,三角等多种形式.而且复数的意义又把数与形结合起来.因此,许多非复数的问题,如果能改变原题的结论或条件,变成一个与原命题相关的复数问题,利用复数良好的运算的性质和明晰的几何意义来解,可以达到简化,巧解的作用。证明：arctg1/2+arcctg1/3=3/4证明：设a=1+2i,b=1+3i.则arca=arctg1/2,arcb=arcctg1/3。arctg1/2+arcctg1/3=arc(ab)因为ab=(1+2i)(1+3i)=-5+5i.所以arc(ab)=3/4例5若a,b,x,y正实数,且x2+y2=1,求证：a2x2+b2y2 +a2y2+b2x2 =a+b证：设z1=ax+byi， z2=bx+ayi，则a2x2+b2y2 +a2y2+b2x2 =z1+z2z1+z2=(a+b)x+(a+b)yi=(a+b) =a+b 不等式得证。（四）构造代数式：代数式是数学的重要组成要素之一，有许多性质值得我们去发现和应用。证明：对于同样的整数x和y，表达式2x+3y和9x+5y能同时被17整除。（首届imo试题）分析：构造代数式9（2x+3y）-2(9x+5y)，其值等于17y，能被17整除，结合2与9均与17互素，结论易证。（五）构造数列高中数学涉及到许多递推数列都是以等差数列，等比数列这些基本数列为背景设计而成的。往往可以通过构造新数列，建立与等差，等比数列这些基本数列的联系来实现问题的转化而获得解决的。相当多的数学问题，尤其是证明不等式，尝试一下“构造数列”能产生意想不到的效果。证明：(n=1,2,3)分析:此命题若直接证明，颇具难度，倘若构造数列x1=x2=xn=1+,xn+1=1利用平均值不等式 ，顿使命题明朗化。（六）构造几何图形一般来讲，代数问题较为抽象，若能通过构造将之合理转化为几何问题，利用“数形结合”这一重要思想方法，对于一些题目，可借助几何图形的特点来达到解题目的，我们可以构造所需的图形来解题。往往可增强问题的直观性，使解答事半功倍或独具匠心。数形结合的思想方法是数学中的主要思想方法之一，。在解题中充分应用这种思想方法。对提高解题能力，发展思维会有很大的帮助。构造立体几何图形是解决与边角有关问题的常用方法，解决的常规思维是由条件到结论的定向思考，但有些问题按这些思维方式，寻求解题途径比较困难，甚至无从下手。在这种情况下，经常需要我们改变思维方向，换个角度思考，以找到一条饶过障碍的新的途径。（见）证：构造边长为1的正abc，d，e，f为边上三点 图1:并设bd=x，ce=y， af=z，如图1显然有sbde+scef+sadf sabc 两边乘于4，即得：这道竞赛题能如此简洁、直观地证明，真是妙不可言。解不等式|x-5|-|x+3|6 分析：对于这类题目的一般解法是分区间求解，这是比较繁杂的。观察本题条件可构造双曲线，求解更简捷。解：设f(-3，0) f(5，0)则|f1f2|=8 ，f1f2的中点为o(1，0)，又设点p(x，0)，当x的值满足不等式条件时，p点在双曲线的内部 1-3x1+3 即 -2x4 是不等式的解。运用构造法就可以避免了烦杂的分类讨论是不是方便得多了，引导学生掌握相关知识运用到解决问题上来。利用定义的特点，把问题的难点转化成简单的问题，从而使问题得以解决。在不少的数学竞赛题，运用构造来解题构造法真是可见一斑。（七） 利用构造函数图象法巧解选择题选择题是我们常见的题型，有些题需要通过计算得出结果，但有些题不需要大量的计算，我们可以根据题意，构造出函数图象，极其容易得出答案，方便我们的解题，为解题节省了时间。：若sinq cosq 0, 则 q 在 （ b ）（a）第一、二象限 （b）第一、三象限（c）第一、四象限 （d）第二、四象限解：此题，我们可以根据题意构造图象解决首先，我们在同一坐标系中作出 sinq 和 cosq 在 0 ，2p 的图象 图2: 在图中，要使 则可以看出，在第一象限 ，所以，而在第三象限 ，所以，故选（b）（八） 构造函数解不等式：解不等式 解：构造函数 f（x）= 那么不等式即为：f（sinx） f(cosx), 又知 f（x）在区间 r 上的增函数，故原不等式同解于不等式sinx cosx ,解之，可得原不等式的解集 x | ，kz。：已知函数 y=sinx + ，求函数的最大值和最小值。分析：学生拿到此题最大的困惑是去根号，我们观察 和 的关系，可发现 =2 ，则可令： , , 这样 而 所以，函数的最大值为 2 ，最小值为 0 。：求函数 的最大值与最小值。解：易知x 的取值范围是 ，构造参变量 于是根号被 所化解。，当 时，ymax=2， 时，ymin=1。（九） 构造图形巧解证明题证明题对大多数学生来说是比较头痛的事，大多数人看到题就会从已知出发，直接去找结果，习惯于从正面直接入手，但有些三角函数证明题，我们不妨改变思路，尝试用构造法，也许会“柳暗花明”。：已知：、 是互不相等的锐角，且 求证： 证：因为 ，、 是互不相等的锐角bac 所以，可构造